Desimal, Kalkulator, dan Penaksiran

Kita telah membahas bilangan real adalah objek dari kalkulus. Tentu memahami refresentasi bilangan real akan mencerahkan dalam kuliah kalkulus kita. Tidak kalah pentingnya membahas Cara Membuktikan Teorema-teorema dalam Kalkukus yang nantinya banyak kita temui. Kali ini kita akan membahas desimal, kalkulator, dan penaksiran.

Bilangan Desimal

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Karena hasil bagi dua bilangan bulat akan diperoleh suatu desimal. Misalnya, 3/8=0,375. Bilangan-bilangan tak-rasional ternyata dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal. Contohnya adalah $\sqrt{2}=1,4142135623...$. Apakah yang membedakan dari keduanya?

Bilangan Rasional atau Tak-Rasional?

Apabila bilangan desimal itu berakhir maka pasti ia bilangan rasional. Contohnya 0,375 yang merupakan hasil dari 8 dibagi 3. Namun, apabila bentuk desimalnya tak berakhir maka ada dua kasus yang harus diperhatikan, yaitu apakah ia berulang atau tak berulang.

0,375 sebenarnya dapat dinyatakan sebagai desimal berulang yakni $0,375000...$. Jadi, setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Pertanyaannya, apakah setiap bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional? Jawabannya ialah benar. Perhatikanlah contoh berikut ini!

Tunjukkan bahwa $x=0,136136...$ merupakan bilangan rasional!

Penyelesaian: Kita kurangkan  $x$ dari $1000x$ kemudian selesaikan untuk $x$ diperoleh:

Adapun bilangan tak-rasional merupakan anti dari bilangan rasional sehingga bilangan yang tak berulang bukan merupakan bilangan rasional. Contohnya $0,101001000100001...$ bukan merupakan bilangan rasional karena tidak berulang menurut suatu daur yang tetap seperti pada $0,136136136...$. Sudah jelaskan perbedaannya?

Kalkulator dan Penaksiran

Kalkulator sangat penting dimiliki dalam kuliah kalkulus. Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma). Jika mampu, kami rekomendasikan versi grafik karena akan banyak dijumpai penggunaan kalkulator dalam penyelesaian soal-soal kalkulus. Lakukan perhitungan yang mudah tanpa memakai kalkulator, khususnya jika dapat menghasilkan jawaban yang sebenarnya. Namun, dalam perhitungan yang rumit dianjurkan penggunaan kalkulator tetapi dengan cara yang benar.

Dalam menghadapi suatu soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh akan dengan gembira menekan sedikit tombol kalkulator dan melaporkan jawaban, tanpa menyadari bahwa tanda kurung yang hilang atau jari yang terlewat telah merusak jawaban secara total. Mahasiswa yang teliti dengan kepekaan bilangan akan menekan tombol-tombol yang sama, segera mengenali jawaban menyimpang (terlalu besar atau terlalu kecil) dan menghitung ulang secara benar. Sehingga, penting untuk mengetahui bagaimana membuat taksiran dalam hati untuk mengetahui jawaban yang diharapkan.

Penaksiran adalah keterampilan penting yang harus dimiliki untuk menghitung sebuah soal. Kita menerka, mengira-ngira berapakah jawaban yang menghampiri dan segera membuat taksiran. 

Contohnya hitung $(\sqrt{430}+72+^3 \sqrt{7,5})/2,75$

Penyelesaian: $(20+72+2)/2 \approx 30$

Silahkan lanjut pada pembahasan Ketaksamaan.