Belajar Matematika Online

PERHATIAN: Mohon maaf, jika ada tampilan iklan atau iklan yang tidak syar'i, jangan diteruskan! Kami akan melakukan upaya pemblokiran, terima kasih!
Showing posts with label Matematika SMA. Show all posts
Showing posts with label Matematika SMA. Show all posts

Ekspansi Kofaktor dan Determinan Matriks

Minor dan Kofaktor Matriks telah dibahas pada artikel sebelumnya dan kalian boleh baca-baca dulu sebentar agar materi ini bisa dimengerti. Setelah anda cukup memahaminya, barulah anda melanjutkan bacaan ini. Seperti yang kita alami menghitung determinan ordo 3x3 tidak semudah determinan ordo 2x2, yang kita gunakan di SMA adalah menggunakan Aturan Sarus dalam menentukan determinan ordo 3x3. Kali ini kita coba gunakan Eksfansi Kofaktor.

Definisi:
Misalkan $A_{nxn}=[a_{ij}]$, determinan dari matriks A didefinisikan sebagai:

$det (A)=|A|=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}$
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

$det (A)=|A|=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+...+a_{nj}C_{nj}$
(ekspansi kofaktor sepanjang kolomke-j)


Kasus 3x3
Misalkan:
$A=\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}$
maka: (Ekspansi Kofaktor Sepanjang Kolom ke-1)
$|A|=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}$
$|A|=a.(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix}+d.(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}
b & c \\
h & i
\end{vmatrix}+g.(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}
b & c \\
e & f
\end{vmatrix}$
$|A|=a.\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i
\end{vmatrix}-d.\begin{vmatrix}
b & c \\
h & i
\end{vmatrix}+g.\begin{vmatrix}
b & c \\
e & f
\end{vmatrix}$

Contoh Soal: Carilah determinan dari matriks berikut dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-1!
$A=\begin{bmatrix}
2 & -3 & 4 \\
0 & 5 & 6 \\
-5 & 3 & 1
\end{bmatrix}$

Solved:
$|A|=2.\begin{vmatrix}
5 & 6 \\
3 & 1
\end{vmatrix}-0.\begin{vmatrix}
-3 & 4 \\
3 & 1
\end{vmatrix}+(-5)\begin{vmatrix}
-3 & 4 \\
5 & 6
\end{vmatrix}$
$|A|=2.(5-18)-0.(-3-12)+(-5).(-18-20)$
$|A|=2.(-13)-0.(-15)+(-5).(-38)$
$|A|=-26+190$
$|A|=164$

Latihan: Cari determinan matriks dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-1 untuk matriks yang sama di atas!

Minor dan Kofaktor Matriks

Definisi Matriks dan Kesamaan Dua Matriks merupakan materi prasyarat yang wajib dibaca untuk dapat memahami penjelasan mengenai materi Minor dan Kofaktor dari sebuah matriks yang diketahui. Dengan menguasai materi ini, diharapkan kalian dapat menggunakan dengan lancar dalam menentukan determinan matriks berordo 3x3 dengan cara ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom tertentu.

Definisi Minor dan Kofaktor
Misalkan $A_{nxn}=[a_{ij}]$, maka:

1. Minor dari $a_{ij}$ yang dilambangkan oleh $M_{ij}$ adalah determinan dari submatriks A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2. Kofaktor $a_{ij}$, yang dilambangkan oleh $C_{ij}$ adalah $(-1)^{i+j}.M_{ij}$.


Contoh Soal: Carilah minor dan kofaktor dari dari entri $a_{11}$ dan $a_{32}$ dari matriks A dibawah!

$A= \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 4 & 5 & 4 \\ \end{bmatrix}$

Solved:
$M_{11}=\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 5 & 4 \\ \end{vmatrix}=-1.(-4)-(-2.5)=14$

$M_{32}=\begin{vmatrix}
2 & 1 \\ 0 & -2 \\ \end{vmatrix}=2.(-2)-(1.0)=-4$

$C_{11}=(-1)^{1+1}.M_{11}=M_{11}=14$

$C_{32}=(-1)^{3+2}.M_{32}=-M_{32}=-(-4)=4$


Latihan: Cari Minor dan kofaktor dari entri $a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{33}$ !

$A=\begin{bmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & -1 & -2 \\
4 & 5 & 4 \\
\end{bmatrix}$

Soal Persamaan Kuadrat SNMPTN/SIMAK UI/UM UGM

Soal SPMB/SNMPTN/MatDas

1. Persamaan kuadrat x² - ax + a + 1 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Jika x₁ - x₂ = 1 maka nilai a = ...

A. -5 atau 1
B. 5 atau -1
C. 5 atau 1
D. -5 atau -1
E. ⅕ atau 1


Soal SNMPTN/MatDas

2. Persamaan (x² - 3x + 3)/(x-2) = p mempunyai akar real sama, maka nilai p sama dengan ...

A. -3 atau 1
B. -1 atau 3
C. 1 atau 3
D. 1 atau -2
E. -2 atau 3



Soal UM UGM

3. Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar dari persamaan 3²ˣ + 3³⁻²ˣ - 28 = 0 maka jumlah kedua akar itu sama dengan ...

A. 0
B. 1
C. ³/₂
D. 3
E. ⁹log 28


Soal SIMAK UI

4. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² - 3x +
n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x² + x - n =
0. Maka nilai n adalah ...
A. -10
B. -6
C. 8
D. 10
E. 12



Soal SNMPTN

5. Jika α dan β adalah solusi persamaan
√(1 + 4x) - √(2x) = 1 maka α + β = ...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5 



Soal UM UGM/SIMAK UI

6. Garis y = 2x + k memotong parabola y = x² - x + 3 dititik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂). Jika x₁² + x₂² = 7 maka nilai k = ...

A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3



7. x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x² - 5x + 2p = 0.
Jika x₁, x₁x₂, x₂ suatu deret geometri, maka nilai dari x₁x₂³ + x₂x₁³
adalah ...
A. 4
B. 4⅛
C. 4¼
D. 5
E. 5¼

  

Thanks For:

Muhammad Yusuf

Rumus Suku Ke-n dan Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika dan Geometri

1. Pengertian Barisan
Barisan adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.

Penggolongan Barisan
Barisan berdasarkan Jumlah suku yang membentuknya, dapat dibedakan menjadi :
1. Baris berhingga
2. Baris tak berhingga.
Berdasarkan Pola perubahannya, barisan dapat dibedakan menjadi
1. Barisan Aritmatika (Hitung)
2. Barisan Geometri (Ukur)
3. Baris Harmoni

2. Barisan Aritmatika (Hitung)
Barisan Aritmatika (Hitung) yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya.
Contoh :

U1(suku ke-1)=4
U2(suku ke-2)=4+2=6
U3(suku ke-3)=6+2=8
U4(suku ke-4)=8+2=10
. . .
+2
Dari contoh barisan ini, kita misalkan a=4 dan b=2. Kita dapat menuliskan kembali contoh di atas dengan:
U1=a
U2=a+b
U3=a+b+b=a+2b
U4=a+b+b+b=a+3b
...
U8=a+(8-1)b=a+7b
...
Un=a+(n-1)b
Diperoleh Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika (Hitung) yaitu:
Un=a+(n–1) b
Dimana a= suku pertama, b= pembeda dan Un=suku ke-n

UN SMP/Mts 2014:
Diberikan suku ke-6 dan suku ke-9 masing-masing sebesar 17 dan 26. Carilah suku-10 dari barisan aritmatika tersebut!
Penyelesaian:
Un=a+(n–1)b
U6=a+5b=17
U9=a+8b=26
Dit: U10=a+9b=....??? Cari nilai a dan b .

a+5b=17
a+8b=26 -
(a-a)+(5b-8b)=17-26
<=>-3b=-9
<=> b = 3
Untuk b=3 diperoleh a=2. Jadi U10 =a+9b=(2)+9(3)=29

3. Deret Aritmatika (Hitung)
Baris hitung: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Deret hitung: 2, 6, 12, 20, 30, ...

D1=U1= 2,
D2=U1+U2=2+4=6,
D3=U1+U2+U3= 2 + 4 + 6 = 12
D4=U1+U2+U3= 2 + 4 + 6 + 8 = 20
...
Dn=U1 + U2 + U3 + U4 + ... + + Un

Dengan Dn=( a + Un)
atau Dn= { 2a + ( n – 1 ) b}

UN SMP/Mts 2014 :
Sebuah baris hitung mempunyai suku-3 yang bernilai 18. Suku ke-7 nya 38. Berapakah Jumlah 24 suku pertamanya ?
Penyelesaian:
U3= a + 2b =18
U7= a + 6b = 38
D24= {2a + (n-1)b}=...???
Cari a dan Un !
a + 2b = 18
a + 6b = 38 -

-4b = -20
b=5
Untuk b=5 diperoleh a=8.
Jadi. Dn={ 2a + (n-1) b}
D24={2.8 + 23.5}
D24=12 (16+115)=12 (131)=1572
= 140 + 45 = 185

4. Barisan Geometri (Ukur)
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya.
Contoh :
2, 6, 18, 54, ... Un
U1(suku ke-1)= 2
U2(suku ke-2)= 6
U3(suku ke-3) = 18
U4(suku ke-5) = 54
...
Un

Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3.
Jika kita misalkan a=2 dan r=3 penulisan contoh di atas menjadi:

U1=a= 2
U2=ar= 2.3 = 6
U3=arr= 2.3.3= 18
U4=arrr= 2.3.3.3= 54
...


5. Deret Geometri (Ukur)
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ...
Deret Ukur : 2, 8, 26, 80, 242, ...

D1= 2
D2= 2 + 6 = 8
D3= 2 + 6 + 18 = 26
...
Dn

Dn Dapat dirumuskan: dengan r>1.

Jika r < 1 maka

Contoh Soal:
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
Penyelesaian:
a=20, r=2
.
Karena r=2 >1 maka

Geometri

1. Arti Kata Geometri

Geometri berasal dari bahasa Yunani Kuno: γεωμετρία, "geo-" yang artinya bumi, dan "-metron" yang artinya pengukuran. Sehingga berdasarkan asal katanya geometri ialah ilmu ukur bumi. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur.

2. Perkembangan Ilmu Geometri

Geometri merupakan cabang matematika yang berkaitan dengan bentuk, ukuran, posisi dan sifat ruang (Wikepedia). Pada mulanya Geometri muncul sebagai ilmu yang berdiri sendiri tanpa ikut campur ilmu lain. Munculnya ilmu geometri sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, karena pada saat itu manusia dituntut haruslah dapat melakukan ilmu ukur pada tanah-tanah mereka misalnya dalam kegunaan pertanian. Geometri dirintis pertama kali di Yunani oleh Thales (abad 6 SM). Dialah yang pertama menggunakan metode deduktif untuk membuktikan kebenaran pernyataan-pernyataan dalam geometri. Pada abad ke-3 SM oleh Euclides, Geometri dibangun berdasarkan seperangkat definisi, aksioma, dan pengertian-pengertian umum. Geometri Euclides sampai sekarang masih dipakai dan diajarkan, baik di sekolah maupun di perguruan tinggi. Contohnya segitiga dan segiempat.

3. Perkembangan Geometri dengan Ilmu Lain

Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan volume, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Pada Bidang astronomi, terutama pada pemetaan posisi bintang dan planet pada falak serta menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit.

René Descartes memperkenalkan sistem koordinat Cartesius dan Aljabar yang semakin berkembang yang pertama kali ditemukan oleh Alkhwarizmi menandai tahap baru untuk geometri sehingga geometri dapat dinyatakan secara analitis dengan fungsi dan persamaan. Analitis geometri pada tingkat universitas itu dikenal dengan Geometri Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya Kalkulus di abad ke-17.

Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekedar sifat metrik angka: perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dari Euler dan Gauss sehingga menyebabkan munculnya topologi dan geometri diferensial.

Sejak penemuan abad ke-19 geometri non-Euclid, konsep ruang telah mengalami transformasi radikal, dan muncul pertanyaan: mana ruang geometris paling sesuai dengan ruang fisik? Dengan meningkatnya matematika formal dalam abad ke-20, ruang, titik, garis, dan bidang kehilangan isi intuitif, jadi hari ini kita harus membedakan antara ruang fisik, ruang geometris dan ruang abstrak.

Geometri modern memiliki ikatan yang kuat dengan beberapa fisika, dicontohkan oleh hubungan antara geometri pseudo-Riemann dan relativitas umum. Salah satu teori fisika termuda, teori string, juga sangat geometris dalam rasa. Sedangkan sifat visual geometri awalnya membuatnya lebih mudah diakses daripada bagian lain dari matematika, seperti aljabar atau Teori Bilangan, bahasa geometrik juga digunakan dalam konteks yang jauh dari tradisional, asal Euclidean-nya misalnya, dalam Geometri Fraktal dan Geometri Aljabar.

Rujukan:
Wikepedia
Susilo, Frans. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Definisi Matriks dan Kesamaan Dua Matriks

Kegunaan Matriks

Matriks merupakan bahasan dari Aljabar Linear yang materinya diperoleh secara mendalam pada saat kita menempuh pendidikan matematika universitas. Aljabar Linear merupakan bidang aljabar yang khusus membahas persamaan Linear dan cara menyelesaikannya. Matriks mulai dipelajari pada Matematika SMA kelas XI. Pada Matematika SMP pemecahan persamaan linear hanya melibatkan satu dan dua variabel dengan cara subsitusi dan eliminasi sehingga materi matriks tidak diajarkan. Sedangkan pada matematika SMA pemecahan persamaan linear sudah melibatkan 3 variabel yang tidak mudah diselesaikan dengan metode subsitusi-eliminasi. Olehnya itu diperkenalkan Konsep Matriks sebagai landasan kita dalam menyelesaikan persamaan linear bahkan dengan n variabel sekalipun. Apakah yang dimaksud dengan matriks ?

Definisi Matriks

Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan atau fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom serta diapit oleh kurung siku. Udah tahu kan? Bilangan atau fungsi tersebut dinamakan entri atau elemen dari matriks. Dalam penulisan, kita menggunakan huruf besar untuk melambangkan sebuah matriks sedangkan entri (elemen) matriks kita menggunakan huruf kecil.

Contoh:


Elemen matriks adalah suatu elemen yang berupa bilangan atau fungsi.




Pada matriks B elemen matriksnya berupa bilangan real sedangkan matriks C mempunyai elemen yang berupa fungsi.

Ordo

Dalam matriks ukuran matriks disebut dengan ordo yaitu banyak baris X banyak kolom (tanda X bukan menyatakan perkalian, tetapi hanya sebagai tanda pemisah).

Contoh:

Pada contoh tersebut Matriks A berordo 2 X 3 yang artinya banyaknya baris ada 2 dan banyaknya kolom ada 3.

Bentuk Umum Matriks

Secara umum sebuah matriks A berordo m X n dapat ditulis :



atau penulisan yang lebih singkat: dengan i=1, 2, ... , m dan j=1, 2, ... , n. Indeks pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j

Apakah Artikel ini bermanfaat ?

Kesamaan Dua Himpunan

Misal dua matriks A dan B dikatakan sama jika:
1. Mempunyai ordo sama. 2. Entri-entri yang bersesuaian atau seletak sama.
Contoh:



Matrik A=B yaitu:

Contoh Soal:
1. Diketahui dan Tentukan nilai x dan y jika P = Q !

JAWAB:$
X-1=5
<=> x=5+1
<=> x=6


12=2y
<=> 2y=12
<=> y=12/2
<=> y=6
$Jadi diperoleh $x=6$ dan $y=6$.


Artikel ini ditulis dalam bentuk yang dapat mudah untuk dipahami, jadi jika artikel ini kurang dipahami, mohon dimaafkan, wassalam....

Sifat-Sifat Perpangkatan Bilangan

Bilangan pangkat didefinisikan sebagai dengan a disebut bilangan pokok atau basis dari bilangan berpangkat dan n disebut pangkat atau eksponen.
Contoh: dll.


Sifat-SifatPerpangkatan Bilangan


Misalkan a dan b sebarang Himpunan Bilangan Real dan n suatu Bilangan Bulat maka berlaku:

$1) a^m + a^n =a^{m+n}$



Contoh Penerapan:

$1) 3^3 \times 3^2 =3^{3+2} =3^5$



Selain dengan sifat-sifat perpangkatan di atas dikenal pula Sifat-Sifat Operasi Dasar Matematika yang harus dipelajari oleh siswa SMP. Demikian sampai disitulah bahasan dalam mempelejari materi Bilangan Bulat. Semoga pembahasan materi rangkuman ini dapat bermanfaat buat adik-adik sekalian.

Cara Cepat Menyelesaikan SPL Dua Variabel

Cara Cepat Menyelesaikan SPL Dua Variabel
Cara cepat menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel? Ada yang tahu nggak? Kalau belum silahkan disimak! Sebelumnya ada cara cepat yang penting untuk diketahui adik-adik semua yaitu Cara Mudah dan Cepat Menyelesaikan Soal Limit.Fungsi Aljabar dan Trigonometri

SPL Dua Variabel merupakan bahasan Aljabar-Matematika yang telah kita pelajari baik pada Matematika SMP maupun Matematika SMA. Seperti yang telah kita pelajari, ada beberapa cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel antara lain:

1. Penyelesaian SPL dengan Metode Subsitusi
2. Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi
3. Penyelesaian SPL dengan Subsitusi-Eliminasi
4. Penyelesaian SPL dengan Metode Grafik, dan
5. Penyelesaian SPL dengan Matriks
6. Penyelesaian SPL dengan Eliminasi Gauss

Cara Cepat Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Misalkan SPL-nya:

ax+by=c ...... (i)
px+qy=r ...... (ii)

Maka HP-nya adalah (x,y)
dengan:





Contoh:

Misalkan diberikan SPL:
2x+6y=12 ...... (i)
4x+4y=16 ...... (ii)

Maka Himpunan Penyelesaiannya adalah :
x=

y=

Jadi Himpunan Penyelesaiannya={(3,1)}


Pembuktian:
x=3 dan y=1 masukkan pada persamaan yang ada sbb:

Pers. (i)
2x+6y=12
2.3+6.1=12
6+6=12 (benar)

Pers. (ii)
4x+4y=16
4.3+4.1=16
12+4=16 (benar)

Demikian untuk Cara Cepat Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.

Related Post:
Logika Menyelesaikan Persamaan.html

Cara Menentukan Gradien dan Persamaan Garis

Gradien (m) menyatakan kemiringan suatu garis terhadap garis horisontal. Misalkan, bayangkan sebuah tangga yang sedang bersandar di sebuah tembok rumah, bayangkan saja tangga itu berwarna merah dan diketahui bahwa jarak tangga diukur dari permukaan tanah dengan tembok adalah 3 meter serta tinggi tembok yang diukur dari ujung tangga ke tanah adalah 4 meter. Jika saya bertanaya, berapa kemiringan tangga tersebut? Belum bisa jawab? Lanjut !

Pada contoh ilustrasi dengan menggunakan tangga  di atas, yang dimaksud dengan garis horisontal adalah permukaan tanah, sedangkan yang dimaksud dengan garis vertikalnya adalah tembok rumah itu. Jadi kemiringan yang dihitung adalah kemiringan tangga tersebut.

Kemiringan tangga tersebut dihitung dengan menggunakan perbandingan jarak/panjang garis vertikal dengan panjang/jarak garis horisontal. Apabila tangganya miring ke kanan (yang artinya temboknya berada di sebelah kanan tangga tersebut) maka gradiennya positif dan apabila tangganya miring ke kiri (yang artinya temboknya berada di sebelah kiri tangga tersebut) maka gradiennya bernilai negatif. Kemiringan atau gradien secara matematika dirumuskan sebagai berikut.
  
Perhatikan rumus di atas, untuk mengetahui gradien suatu garis dengan rumus di atas, harus diketahui minimal dua titik pada garis tersebut. Kita misalkan saja kedua titik itu adalah $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$.

Sekarang, dari pengertian dan definisi yang diberikan dapatkan kamu menjawab pertanyaan saya tadi? Tepat sekali, ternyata kemiringan atau gradien tangga tersebut adalah 4/3. Dari mana 4? Yaitu sebagai berikut.
 
Sedangkan jika diketahui persamaan garisnya, cara menentukan Gradien atau kemiringannya adalah sebagai berikut.
1. Persamaan garis y=mx+c dengan m koefisien dari x dan c suatu konstanta maka gradiennya adalah m.
Contoh:
Misalkan persamaan garis yang diberikan adalah $y=2x+3$. Diketahui bahwa x mempunyai koefisien yaitu 2. Berapakah gradien garis tersebut? Jawabanya adalah 2 sesuai penjelasan dari di atas..

2. Persamaan garis: ax+by+c=0 dengan a, b, c adalah suatu bilangan maka gradien garis tersebut adalah m=-a/b.
Contoh: Jika diberikan persamaan garis 2x+3y-3=0 diketahui bahwa a=2, b=3, dan c=-3. Berapakah gradien garis tersebut? Jawab: m=-a/b=-2/3

3. Suatu garis yang melalui titik $(x_1 , y_1)$ dan $(x_2 , y_2)$ maka gradien garisnya dapat dicari dengan rumus:

Contoh: Tentukan gradien garis yang melalui titik (1,2) dan (2,6) !
Penyelesaian:
Diketehui, $( x_1 , y_1 )=(1,2)$ dan $( x_2 , y_2 )=(2,6)$
maka $m=\frac{6 - 2 }{2 - 1 } \\ m=\frac{4}{1}$

Terakhir, cara menentukan persamaan garis dijelaskan sebagai berikut.
1. Jika diketahui gradien m dan satu titik $(x_1,y_1)$ maka persamaannya garisnya:


2. Jika diketahu dua titik yang dilalui garis tersebut maka persamaan garisnya:

3. Jika garisnya melalui titik (a,0) dan (0,b) maka persamaan garisnya adalah ax+by=ab

Sebagai tambahan, misalkan diberikan garis $g_1 : ax_1 + by_1 + c_1=0$ dan $g_2: ax_2 + by_2 + c_2=0$ maka kedua garis tersebut:
1. Berimpit jika dan hanya jika $\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_2}{b_1}= \frac{c_2}{c_1}$. Apabila diketahui kedua garis tersebut berimpit, maka pasti $m_1=m_2$.

2. Sejajar jika dan hanya jika $\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_2}{b_1} \neq \frac{c_2}{c_1}$. Apabila diketahui kedua garis sejajar maka $m_1=m_2$

3. Tegak lurus jika dan hanya jika $m_1 . m_2 =-1$

4. Membentuk sudut misalkan A maka 

Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,2) dan B(2,4) !

Penyelesaian: 

Persamaan garis yang melalui titik A(1,2) dan B(2,4) adalah
y-2 = 2(x-1)
y-2 = 2x-2
y = 2x

Cara Menetukkan Akar-Akar Polinomial Kuadrat

Persamaan atau fungsi kuadrat adalah persamaan yang variabel x-nya mempunyai pangkat tertinggi yaitu 2. Contoh: . Untuk Cara Menetukkan Akar-Akar Polinomial Kuadrat ada 3 cara dengan syarat merubah persamaan kuadrat ke bentuk umunya : +bx+c=0. Tiga cara tersebut adalah:
1. Hubungan Koefisien Akar Untuk Polinomial Kuadrat
2.Melengkapi Kuadrat Sempurna, dan
3.rumus ABC.

Contoh: Tentukan penyelesaian dari ++ !

Cara 1: Misalkan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah r1 dan r2 maka berlaku hubungan:
(x-r1)(x-r2)=++
(x-r1)(x-r2)= -(r1+r2)x +r1.r2
sehingga:
b=-(r1+r2); dan
c=r1.r2

Karena b=6 dan c=9, maka:
r1 + r2=-6,
r1.r2=9
jadi, r1 dan r2 yang memenuhi adalah r1=-3 dan r2=-3

Dengan demikian:
++
(x-r1)(x-r2)=0
(x+3)(x+3)=0
x+3=0
x=-3
Jadi akar-akarnya real dan kembar, r1=r2=-3

Cara 2: Melengkapi Kuadrat
++
+
+++
++=-9+9
++
Begitulah caranya mendapatkan kuadrat sempurna, yaitu menambahkan pada kedua ruas. Ruas kiri yang mengandung variabel x dan ruas kanan konstanta.

Dari soal di atas, bentuk tersebut sudah merupakan kuadrat sempurna jadi:
++
$(x+3)^2=0$
(x+3)=0
x=-3

Cara 3: Rumus ABC
Pada dasarnya rumus ABC diperoleh dari proses Kuadrat Sempurna dengan mendapatkan langsung akar-akar penyelesaiannya dengan rumus:








Okey, gimana ada yang perluh di komentari ? Silahkan berkomentar di bawah ini !
Demikian Untuk Cara Menetukkan Akar-Akar Polinomial Kuadrat

Layanan

1. Kerja Soal Matematika Mu

2. Buat Blog, Register dan Custom Domain Blogger Mu

3. Beriklan di Blog Kami

4. Jasa Blokir dan Cekal Iklan Google Adsense yang Tidak Diinginkan

5. Jual Ebook di Fradsya Blog dan Google Play Store Kami

Kontak Kami

Name

Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design