Belajar Matematika Online

PERHATIAN: Mohon maaf, jika ada tampilan iklan atau iklan yang tidak syar'i, jangan diteruskan! Kami akan melakukan upaya pemblokiran, terima kasih!

Cara Agar Kode Latex Menjadi Responsive

Cara Agar Kode Latex Menjadi Responsive
Bagi sobat blogger sekalian yang memiliki blog yang bertemakan tentang matematika atau yang berkaitan dengan matematika tentu tidak asing lagi dengan yang namanya kode latex dimana dengan kode latex ini kita dapat menampilkan simbol-simbol, persamaaan, dan rumus-rumus matematika di blogspot dimana ketika kita mengetik kode ax^2+bx+c dengan cara yang telah dibahas pada tulisan Cara Menulis Simbol-simbol dan Persamaan Matematika di Blogspot maka akan tampil $ax^2+bx+c$.

Salah satu manfaat menggunakan kode latex dalam artikel matematika adalah tidak terlalu banyak menggunakan gambar-gambar untuk menuliskan persamaan atau rumus matematika yang akan membuat loading blog menjadi lebih lambat. Selain itu, artikel kita menjadi rapih dan menyenangkan untuk dilihat dan akan lebih menyenangkan lagi apabila kode latex yang kita buat menjadi ikut menyesuaikan tampilan ukuran layar perangkat browser pembaca blog kita. 

Perlu diketahui oleh sobat blog sekalian bahwa umumnya template blog kita yang menggunakan desain yang resvonsive tidak menyebabkan kode latex yang kepanjangan ke samping kanan terlihat keseluruhannya karena tidak menyesuaikan dengan ukuran layar. Alasannya, karena si pembuat template responsive tidak meletakan kode yang membuat kode latex juga ikut menyesuaikan ukuran layar. Untuk itu Cara Agar Kode Latex Menjadi Responsive maka kita perlu menambahkan kode yang bisa di download DISINI


Kode di atas di letakan sebelum kode ]]></b:skin> sebagaimana tampak pada gambar berikut ini.
 

Demikian pembahasan kali ini tentang Cara Agar Kode Latex Menjadi Responsive. Semoga bermanfaat untuk blogger sekalian.

Pengalaman dan Cara Beli Domain di Namecheap

Pengalaman dan Cara Beli Domain di Namecheap
Namecheap dot com merupakan salah satu tempat yang bisa kita kunjungi jika kita ingin membeli domain. Saya membeli domain di tempat itu karena banyak blogger yang merekomendasikannya karena dua alasan. Pertama, karena domainnya murah dan yang kedua mudah prosesnya. Karena Namecheap dot com berasal dari luar negeri maka pembayaran saya pada waktu itu menggunakan mata uang dollar melalui akun paypal yang saya miliki.

Kamu tahu apa itu domain? Domain itu seperti .com, .info, .co.id, dan sebagainya yang terletak pada alamat blog/website kita misalnya matematikakubsa.info. Saya juga kurang tahu manfaat utama memiliki domain selain memperpendek alamat blog kita agar mudah diingat dan agar terlihat lebih profesional. Apalagi jika Anda ingin membuat blog yang akan digunakan untuk jualan, maka sebaiknya mengunakan domain-domain level atas yang telah dikenal seperti contoh sebelumnya di atas untuk menambah kepercayaan pengunjung Anda.

Jika tertarik membeli domain, silahkan kunjungi situsnya di alamat aslinya www.namecheap.com untuk melakukan pendaftaran atau di https://affiliate.namecheap.com/?affId=122958 yang merupakan link affiliasi saya di Namecheap dot com. Jadi, jika berkenan daftarnya lewat link tersebut, maka saya akan mendapat komisi dari hasil mengajak orang membeli domain di Namecheap dot com tersebut. Anda pun juga bisa mendaftar program affiliasi namecheap dan mereferensikan kepada orang-orang untuk melakukan pembelian melalui link affiliasi Anda di Namecheap dot com. Setelah mengunjungi link tersebut akan tampil seperti gambar berikut ini.


Ketik nama alamat blogmu yang akan dipasangi domain misalnya blog saya matematikakubisa.blogspot.com maka saya mengetik matematikakubisa. Setelah mengklik tombol search pada kotak pencarian nama domain maka akan tampil seperti gambar berikut ini. Misalnya saya ingin membeli yang berdomain dot com maka saya mengklik gambar keranjang belanja yang dilingkari tersebut.



Setelah itu klik View Chart untuk melihat detail pesanan domain kita. Setelah itu, jika dirasa sudah cocok dengan domainnya maka klik Comfirm Order untuk mengkonfirmasi orderan kita. Maka, akan tampil seperti gambar berikut ini.


Jika belum punya akun maka lakukan pendaftaran akun dulu dengan mengisi password, nama depan, nama belakang, dan email Anda. Karena saya sudah punya akun jadi saya tinggal login saja dengan mengisi username dan password. Setelah itu, isi kontak informasi akun kemudian klik Continue sebagaimana pada gambar di bawah! Perhatikan ICANN Fee, itu adalah biaya tahunan wajib sebesar $ 0,18 untuk setiap tahun pendaftaran domain, perpanjangan atau transfer.apabila berlaku untuk suatu domain.
Setelah mengisi kontak informasi dan mengklik continue, ceklis  Save the configuration above to my default checkout settings kemudian klik lagi continu yang ada di bawahnya. Setelah itu lakukan pembayaran untuk menyelesaikan pesanan Anda dan tunggu konfirmasi selanjutnya. Sampai di sini saja tulisan tentang Pengalaman dan Cara Beli Domain di Namecheap, semoga bermanfaat.

Isi Landasan Teori dalam Proposal Penelitian Skripsi

Bab II, Landasan Teori, berisis pendekatan-pendekatan atau teori-teori relevan dengan judul dan rumusan masalah yang akan digunakan untuk mengupas, menganalisis, dan menjelaskan variabel yang akan diteliti. Pendekatan atau teori yang akan digunakan, tentunya dikutip dari pendapat para ahli di bidangnya dari berbagai sumber bacaan yang telah teruji kebenarannya.

Pendapat para ahli tersebut berfungsi untuk menguatkan argumentasi kita dalam menganalisis masalah yang kita kaji dalam penelitian skripsi yang kita lakukan. Sebagai seorang mahasiswa atau yang berkecimpung dalam dunia akademik merupakan suatu keharusan terhadap kode etik keilmiahan untuk mencantumkan sumber bacaan tersebut di dalam proposal penelitian skripsi kita.

Pencantuman sumber bacaan ini merupakan penguat dan pengahargaan kita terhadap karya orang lain. Terdapat teknik yang mengatur cara-cara pencantuman sumber bacaan yang shahi, baik sumber bacaan yang beasal dari makalah, laporan, skripsi, tesis, disertasi, buku, majalah, surat kabar, antologi, maupun website di internet yang diatur dalam teknik notasi ilmiah yang terdiri atas catatan teks dan catatan kaki. Perlu diingat bahwa tidak semua sumber bacaan dapat dicantumkan dalam landasan teori, seperti diktat perkuliahan.
(Sumber: Niknik M. Kuntaro, Cermat dalam Berbahasa Teliti dalam Berpikir, 2007, hlm.185)

Ditulisan lain, telah dijelaskan bagaimana  Cara Menulis Latar Belakang Masalah Pendidikan Matematika. Pada tulisan ini, admin akan memberikan contoh bagaimana menyusun sub-sub judul dalam Bab II Landasan Teori.

Contoh Judul Admin: Pengaruh Pemahaman Konsep Limit dan Turunan Fungsi terhadap Hasil Belajar Integral Substitusi Siswa Kelas XII IPA SMAN 1 Wawotobi

Maka, isi landasan teori yang admin gunakan sebagai berikut.
A. Landasan Teori, berisi:
  1. Pembelajaran Matematika
  2. Karakteristik Pembelajaran Matematika
  3. Pengertian Pemahaman Konsep
  4. dst
B. Hasil Penelitian yang Relevan
C. Kerangka Berpikir
D. Hipotesis Penelitian

Demikian tulisan mengenai Isi Landasan Teori dalam Proposal Penelitian Skripsi, semoga dapat bermanfaat.

Sinopsis Buku Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi

Sinopsis Buku Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi

12 tahun waktu yang telah Anda gunakan untuk mempelajari  matematika di sekolah. Apa kesan-kesan yang Anda dapatkan setelah belajar matematika selama itu? Masih ingatkah pelajaran-pelajarannya? Setelah Anda tamat dan ingin melanjutkan ke perguruan tinggi, siapkah Anda bertemu dengan matematika lagi?

Buku ini sengaja ditulis untuk membantu mengatasi kesulitan belajar matematika sebagai persiapan bagi Anda masuk ke perguruan tinggi karena apapun jurusan Anda, matematika tetap akan Anda pelajari.
Bagian ke-1 (pendahuluan) dalam buku ini dijelaskan gambaran tentang apa itu matematika, apa yang harus dipelajari, bagaimana cara belajar, dan apa target yang harus dicapai. Bagian ke-2 dan ke-3 dijelaskan tentang bilangan dan operasi dasar bilangan sebagai materi matematika dasar yang harus dikuasai oleh setiap siswa baik siswa yang suka ataupun tidak suka dengan matematika. Bagian ke-4 dijelaskan langkah-langkah dalam menyelesaikan soal secara umum dan secara khusus untuk materi-materi tertentu. Bagian ke-5 dijelaskan bagaimana membuktikan dalam matematika beserta contohnya. Terakhir, sebagai tambahan pada bagian ke-6 dijelaskan tentang landasan dalam bermatematika yang merupakan pondasi dibangunya bangunan matematika. 

Informasi Buku
  • Judul       : Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi 
  • Penulis    : Fredi Batauga
  • Tebal       : iv+114 halaman
  • Ukuran    : $14 \times 20 \ cm$

Untuk melihat daftar isi dan sebagian isi buku ini, Anda bisa melihatnya pada Google Book >> Matematika Dasar ke Perguruan Tinggi. Untuk mendapatkan versi cetakannya silahkan melakukan pemesanan dengan mengisi Formulir PESAN BUKU MKB agar segera dicetak dan dikirimkan ke alamat Anda karena buku ini masih dalam bentuk ebook. Untuk membeli versi ebooknya silahkan kunjungi Google Play >> Book >> Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi.

EPPOS Mini Printer Bluetooth Mencetak Struk PLN Melalui HP

Assalamualaikum untuk pembaca muslim sekalian, pada kesempatan ini, admin akan melanjutkan tulisan yang sebelumnya mengenai Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa dan Mudahnya Mendapat Untung dari Jual Pulsa Listrik, yang admin beri judul dengan EPPOS Mini  Printer Bluetooth Mencetak Struk PLN Melalui HP.

Kegunaan dan kaitan dari EPPOS Mini  Printer Bluetooth dengan dua artikel kita sebelumnya, alat ini akan kita gunakan sebagai alat untuk mencetak struk pembayaran listrik PLN, yang akan melengkapi bisnis jual beli pulsa all operator dan pulsa listrik Anda. Untuk pemesanan silakah klik  gambar EPPOS Mini  Printer Bluetooth atau Mini Printer  EPPOS   di bawah ini!

Adapun kelebihan dari EPPOS Mini  Printer Bluetooth adalah ukurannya kecil dan menggunakan baterai sehingga bisa dibawa-bawa kemanapun. Syarat HP yang bisa digunakan tentunya HP android yang memiliki bluetooth.

Sinopsis Buku Metode Berhitung Alif: Melatih Kekuatan Otak pada Anak

Sinopsis Buku Metode Berhitung Alif: Melatih Kekuatan Otak pada Anak
Masih ingatkah Anda cara mengerjakan operasi pengurangan bersusun dengan bahasa utang-piutang? Masihkah Anda menggunakan atau mengajarkannya? Ini bahasa yang kurang baik karena mengajarkan mental berhutang (angka) dan tidak membayar utangnya tersebut. Begitu juga bahasa ingat-mengingat dalam operasi penjumlahan bersusun, mengajarkan mental mengingat-ingat apa yang telah  diberikan kepada (angka) yang lain.

Sudah saatnya berganti bahasa dengan bahasa yang lebih baik, seperti "memberi lebih baik daripada menerima". Tidak dianjurkan bermudah-mudahan dalam berhutang dan tidak boleh meminta-minta (ngemis) kecuali dalam keadaan darurat, serta mengingat utang untuk segera dibayarkan.

Metode Berhitung Alif: Melatih Kekuatan Otak pada Anak adalah sebuah metode berhitung untuk mengubah kebiasaan yang kurang baik dalam berhitung, yaitu berhutang tetapi tidak untuk dilunasi dan mengingat-ingat apa yang telah diberikan kepada yang lain. Tidak hanya itu, metode berhitung ini dapat digunakan untuk melatih kekuatan atau kemampuan otak pada anak karena menggunakan kebiasaan baru yang berbeda dari biasanya dalam berhitung. Di dalamnya, diperkenalkan Metode Alif, suatu metode yang menerapkan cara membaca al-Qur’an, yaitu membaca dari kanan ke kiri dan menggunaan bahasa akhlak yang dikaitkan dengan pelajaran matematika. Tidak hanya bisa diterapkan pada bilangan desimal, tetapi juga pada basis bilangan lain. Penerapkan Metode Alif dalam operasi dasar matematika di berbagai basis bilangan bulat ini disebut Metode Berhitung Alif. 

Metode Berhitung Alif sangat sederhana untuk digunakan, tidak mengurangi logika dalam berhitung meskipun menggunakan bahasa yang tidak matematis. Dalam Metode Berhitung Alif, anak diajarkan bahasa akhlak “memberi lebih baik daripada menerima” dalam aturan penyaluran kelebihan bilangan dari sebelah kanan ke sebelah kiri notasi alif sehingga setiap di sebelah kanan notasi alif hanya boleh terdapat satu angka. Selain itu, tidak boleh ada bilangan negatif di sebelah kanan notasi alif sehingga angka yang di sebelah kirinya harus membantu untuk mencukupinya.

Buku Metode Berhitung Alif ini berbeda dari yang lain, berusaha menyatukan berbagai aspek dalam pembelajaran matematika, tidak hanya pada aspek pengetahuan dan keterampilan, tetapi juga aspek sikap. Metode ini mudah dan sederhana, metode yang diharapkan dapat meningkatkan kemampuan berhitung, kemampuan berimajinasi, dan dapat digunakan untuk mengajarkan akhlak kepada anak. Metode Berhitung Alif ini cocok untuk digunakan untuk semua orang baik yang sedang menempuh pendidikan formal pada tingkat dasar, menengah pertama, menengah atas, mahasiswa, atau pun masyarakat umum. 

Metode Berhitung Alif memiliki kekurangan dalam hal penulisan. Akan tetapi, jika sudah terbiasa menggunakannya maka anak hanya perlu berimajinasi tanpa harus menuliskan angkanya. Kunci dari metode ini adalah kebiasaan membaca dari kanan ke kiri (biasakan membaca al-Qur’an untuk mengubah kebiasaan), membiasakan dengan latihan, kecepatan menulis, dan memahami logika berhitung.

Kesimpulan:

Dengan adanya Metode Berhitung Alif, diharapkan dapat menambah pengetahuan dan wawasan kepada para pengajar bahwa aspek apektif, kognitif, dan psikomotorik dapat dijalankan secara bersama-sama dalam waktu yang bersamaan dalam pembelajaran misalnya pembelajaran matematika dalam rangka mencapai tujuan pendidikan yaitu mencerdaskan kehidupan bangsa yang berakhlak mulia sesuai nilai-nilai yang di anut oleh bangsa Indonesia yang berbudi pekerti baik serta tidak bertentangan dengan syariat agama Islam. 


Untuk melihat daftar isi dan sebagian isi buku ini, Anda bisa melihatnya pada Google Book >> Metode Berhitung Alif. Untuk mendapatkan versi cetakannya silahkan melakukan pemesanan dengan mengisi Formulir PESAN BUKU MKB agar segera dicetak dan dikirimkan ke alamat Anda karena buku ini masih dalam bentuk ebook. Untuk membeli versi ebooknya silahkan kunjungi Google Play >> Book >> Metode Berhitung Alif

Denikian postingan kami ini, semoga dapat bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya!

Mudahnya Mendapat Untung dari Jual Pulsa Listrik

Pulsa Listrik oleh istilah orang-orang adalah pulsa yang digunakan untuk membayar tagihan pemakaian listrik.  Bayar tagihan pulsa ini ada dua macam, bayar sebelum dan sesudah pemakaian. Dulunya hanya ada tagihan listrik sesudah pemakaian, tapi sekarang ada yang membayar terlebih dahulu sebelum menggunakan listrik.

Tidak bisa dipungkiri bahwa kebutuhan listrik menjadi kebutuhan primer, karena segala peralatan yang ada dirumah hampir seluruhnya membutuhkan listrik. Misalnya, lampu, mesin pemompa air, kipas angin, kulkas, dan lain-lain.

Karena hal tersebut merupakan kebutuhan yang harus ada di setiap rumah, maka Anda bisa memanfaatkan peluang ini dengan berjualan pulsa listrik, baik prabayar maupun pasca bayar. Lalu bagaimana caranya?

Pertama, baca artikel ini Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa. Jika Anda yakin hal tersebut bukan penipuan, maka mulailah menjadi agen jual pulsa melalui situs tersebut. Insya Allah, bukan penipuan karena admin sudah mencoba bergabung di sana. Tapi jika Anda ragu, tidak perlu meneruskannya atau carilah yang terpercaya.

Kedua, setelah Anda sudah mendaftar di PORTAL PULSA, dan sudah mempunyai saldo pulsa yang akan digunakan untuk transaksi pembayaran listrik maka langkah selanjutnya adalah promosi kepada orang-orang di sekitar Anda dan menyediakan fasilitas yang dibutuhkan, yaitu buku catatan dan pulpen sebagai alat tulis Anda nantinya ketika menuliskan ID PLN Pelanggan, no HP pembeli, dan hal-hal yang diperlukan, tetapi ini tidak cukup jika untuk melayani listrik pasca bayar (tagihan PLN) karena Anda harus mencetak struk pembayarannya sebagai bukti pembayaran. Untuk itu Anda harus menyiapkan print, laptop, dan koneksi internet.

Ketiga, setelah Anda menyiapkan hal-hal yang dibutuhkan dan diperlukan maka pelajari cara transaksinya sebagai berikut.
Listrik Pra-Bayar
  • Mintalah nomor meter / ID PLN yang akan diisi dengan panjang 11 digit kepada pembeli. Minta juga nomor HP pembeli untuk keperluan pengiriman TOKEN PLN yang selanjutnya akan dimasukkan ke KWH meter. Nantinya Anda sebagai penjual juga akan menerima kode token PLN tersebut sebagai backup jika pembeli tidak menerima maka Anda dapat membantu mengirimkan kode token PLN yang Anda terima ke pembeli
  • Kemudian beli token pln dengan format: KODE IDPLN NOHP PIN contoh PLN50 11223344556 081234567890 1234, lalu kirim ke center transaksi dan tunggu hingga mendapat reply sukses.
  • Setelah transaksi berhasil, pembeli akan menerima kode token PLN dengan panjang 20 digit yang harus dimasukkan ke KWH Meternya. Anda juga akan mendapat reply sukses serta kode token PLN Termurah tersebut sebagai backup.
  • Adapun kode produknya sebagai berikut. 
Voucher PLN 20000 kodenya adalah PLN20Voucher PLN 50000 kodenya adalah PLN50
Voucher PLN 100000 kodenya adalah PLN100
Voucher PLN 500000 kodenya adalah PLN500
Voucher PLN 1000000 kodenya adalah PLN1000

Listrik Pasca-Bayar
  • Ketika ada yang ingin membayar tagihan listrik PLN melalui Anda, maka minta ID Pelanggan yang bisa dilihat di struk pembayaran yang ada ketika dia membayarkan ke pihak PLN langsung; dan Nohp Pembeli yang nanti digunakan untuk info bahwa tagihan telah dibayar.
  • Cek berapa tagihan yang harus dibayarkannya, dengan mengetik via sms dengan format: TG KODE IDPEL NOHP PIN contoh TG PLN 11223344556 081234567890 1234, lalu kirim ke center transaksi. Anda akan mendapatkan reply rincian tagihan yang harus dibayar dan TRXID/IDTAGIHAN.
  • Setelah tahu berapa yang harus dibayarkan melalui sms balasan, maka selanjutnya lakukan transaksi pembayaran dengan cara ketik via sms dengan format:  BY IDTAGIHAN PIN contoh BY 16011520008 1234, lalu kirim ke nomor sms center yang dipakai seperti pada transaksi pengiriman pulsa.
  • Cetak struk pembayarannya, dengan mengunjungi Cara Cetak Struk PLN, kemudian nyalakan printer dan print, selesai.
  • Akhirnya, Anda tinggal meminta bayaran berupa pulsa yang terpotong+biaya admin, misal kalau pulsa yang terpotong adalah 20.000 maka Anda bisa meminta pembeli Anda untuk membayar sebesar 25.000. 
Semoga informasi dan tutorial singkat ini bermanfaat. 

Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa

Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa
Assalamu'alaikum, sobat MKB sekalian. Kali ini admin akan memposting artikel mengenai agen pulsa  melalui Portal Pulsa. Mungkin, bagi Anda yang sedang mencari situs online yang terpercaya untuk menjadi agen pulsa, dan kebetulan Google yang Anda jadikan tempat bertanya mengantarkan kepada PORTAL PULSA untuk menjadi agen pulsa all operator, tetapi masih ragu apakah  portal pulsa penipu atau tidak, maka saya sarankan lakukan pencarian di Google dengan mengetik  "Portal Pulsa Penipu" kemudian cari. Ketika Anda tidak menemukan artikel yang membahas hal tersebut, maka bisa dibilang tidak pernah ada penipuan dari Portal Pulsa atau belum ada yang menuliskan artikel tentang penipuan yang dilakukan oleh Portal Pulsa di internet khususnya yang mensubmit blog/situsnya ke Google dan juga jangan langsung percaya artikel-artikel yang ada di Internet, jika Anda meragukan penulisnya.

Ketika Anda menemukan artikel ini yang disarankan oleh Google untuk dibaca, maka saya akan memberikan pengalaman saya tentang Portal Pulsa karena saya telah bergabung menjadi member sejak 17/10/2017 dan alhamdulillah BUKAN PENPUAN. Selama ini transaksinya berjalan lancar, meskipun saya tidak terlalu serius untuk menjadi agen, hehe. Tapi, bisa mengisi pulsa sendiri dengan harga yang lebih murah daripada membeli kepada orang lain, itu sudah menghemat pengeluarkan untuk beli pulsa.

Cara Daftar Menjadi Agen?
 
Bagaimana caranya menjadi member Portal Pulsa? Caranya gampang, Anda tinggal menuju ke link pendaftarannya yang merupakan link referal admin, KLIK DISINI. Maka akan tampil Form Pendaftarannya sebagimana pada gambar berikut ini.
  
Silahkan isi data yang diperlukan, mulai dari no. HP Anda sebagai tempat transaksi Anda, email Anda yang aktif, nama lengkap, kota Anda, NIK KTP, serta mengisi pertanyaan keamanan 1 dan 2. Setelah  selesai, masukan captcaha yang ada, kemudian klik daftar sekarang. Seteleh itu tunggu konfirmasinya melalui SMS atau di email yang Anda daftarkan tadi. Di situ akan ada informasi mengenai akun anda seperti PIN, dll.

Selanjutnya, Anda tinggal melakukan deposit saldo. Setelah memiliki saldo, artinya Anda sudah bisa memberi tahu kepada orang lain, untuk memberi pulsa kepada Anda. Adapun transaksinya sebagai berikut.

Cara Transaksi Mengirim Pulsa

KETERANGAN FORMAT CONTOH
Isi Pulsa Tanpa Kode       NOMINAL NOHP PIN     10 081329111222 1234
Isi Pulsa Tanpa Kode Dobel     NOMINAL NOHP PIN URUTAN 10 081329111222 1234 2
Kirim Ke Nomor Center 082324433107/085326603455. Untuk cara transaksi yang lain silahkan klik DISINI.
 
Selain berjualan pulsa, Portal Pulsa juga menyediakan transaksi yang lain, misalnya untuk pulsa listrik, dll. kalau tidak percaya silahkan baca sendiri di PORTAL PULSA.   Apabila Anda kesulitan dalam mendaftar dan ingin dipandu cara deposit saldonya, nanti saya yang daftar dan ajarkan, jika ingin didaftarkan silahkan langsung WA Ke +6285246493737 

Demikian tutorial singkatnya, semoga bermanfaat.

Bukti Identitas |cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)

Bukti identitas $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$, ini dipertanyakan oleh salah satu teman saya yang kebetulan sedang mengambil mata kuliah Analisis Kompleks pada program studi pendidikan matematika, Universitas Lakidende, Unaaha. Agar dapat bermanfaat bagi pembaca blog ini, saya menulis buktinya di sini. Sebelumnya terima kasih telah berkunjung!

Tulisan ini diperuntuhkan bagi mahasiswa yang sedang mencari cara memuktikan identitas tersebut. Entah itu tugas dari dosen atau kebutuhan mahasiswa sendiri. Sehingga, bagi Anda yang sedang atau telah mengambil mata kuliah Analisis Kompleks, bukalah kembali buka Anda yang membahas tentang fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan modulus pada pelajaran analisis kompleks karena kali ini hanya akan dibuktiktikan identitas di atas saja, tidak membahas materi-materi yang disebutkan sebelumnya. Pada bukti di bawah ini, saya hanya memberikan ide cara membuktikannya, selebihnya Anda tinggal mempelajarinya mengapa langkah-langkah yang ada bisa terjadi. Itu adalah tugas Anda. 

Untuk membuktikan kesamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara merubah salah satu ruas (ruas kiri atau ruas kanan) sehingga sama dengan ruas lainnya menggunakan kesamaan-kesamaan yang telah diketahui atau dibuktikan sebelumnya. 

Perhatikan kesamaannya, dari ruas kiri yaitu $|cosh (z)|^2$ akan ditujukkan $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$ sebagai berikut.

$ \begin{align} & |cosh (z)|^2 & = (cosh (z))(cosh ( \overline{z})) \\ & = (cosh (x+iy))(cosh (x-iy)) \\ & = (cosh (x) cosh (iy) + sinh (x) sinh (iy)) \\ & (cosh (x) cosh (iy) - sinh (x) sinh (iy)) \\ & = (cosh (x) cos (y) + sinh (x) i sin (y)) \\ & (cosh (x) cos (y) - sinh (x) i sin (y)) \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 - (sinh (x) i sin (y))^2 \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 + (sinh (x) sin (y))^2 \\ & = cos^2 (y) (cosh^2 (x) - sinh^2 (x)) + sinh^2 (x) cos^2 (y1 \\ & + sinh^2 (x) (sin^2 (y) + cos^2 (y)) - sinh^2 (x) cos^2 (y) \\ & = cos^2 (y) . (1) + sinh^2 (x) . (1) \\ & = cos^2 (y) + sinh^2 (x) \end{align} $.

Kita peroleh ruas kanannya yaitu $sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Karena ruas kiri samadengan ruas kanan maka kita telah membuktikan bahwa $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Demikian bukti singkat ini, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. 

Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi

Setelah mempelajari Pra-Kalkulus dengan baik, memudahkan Anda mempelajari materi kalkulus yaitu limit, turunan, dan integral. Kalkulus dibangun dari konsep dasar berupa limit fungsi. Sehingga, pada kesempatan ini, yang akan dipelajari mula-mula adalah Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi dan dilengkapi dengan Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi. Setelah menguasai materi ini, selanjutnya akan dipelajari Definisi Limit Secara Formal. Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).

Definisi: Misalkan $ f $ sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real ($ f : R \rightarrow R \, $) dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real. Kita katakan bahwa:

$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ 
jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $.

Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $
Syarat suatu fungsi mempunyai limit di titik tertentu:
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .

Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .

Contoh: Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak?

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1?

Penyelesaian:
Keterangan fungsi: jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $

Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka f(x) mendekati 1:
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =1^2= 1$
dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka f(x) mendekati 2:
$ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =1+1=2 $

Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.

Mempelajari definisi limit fungsi, baik secara intuisi maupun seara formal adalah syarat dan dasar memahami materi limit fungsi dan mempelajari teorema-teorema limit. Salah satu teorema yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri adalah teorema substitusi yang akan dibahas berikut ini. 

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi maksudnya adalah  mensubstitusikan/memasukan langsung nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $ tersebut yakni sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ 
Cara substitusi ini bisa dilakukan apabila f(a) memiliki nilai atau dengan kata lain f(x) terdefinisi pada x=a. Apabila tidak memiliki nilai maka cara substitusi ini tidak dapat dilakukan. Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Tentukan nilai limit dari bentuk berikut!
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $

Penyelesaian:

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $.

Coba perhatikan jawaban soal pada bagian a), dengan mensubstitusikan x=2 ke fungsi f(x)=2x+1 diperoleh f(2)=5. Oleh karena itu,  $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $. Perhatikan juga jawaban soal pada bagian b), dengan mensubstitusikan x=-1 ke fungsi $ f(x)= \frac{x^2 + 2}{2x - 1 }$ diperoleh f(-1)=-1. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $. Adapaun apabila f(a) tidak memiliki nilai, caranya telah dijelaskan dalam tulisan lain dalam blog ini. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.

Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi

Setelah mahir Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan Fungsi baik untuk fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Sekarang pada tulisan ini, akan diberikan Rumus Dasar Turunan Fungsi yang akan digunakan untuk Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi.

Berikut ini daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi:

1). $ y = c \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ c \, $ adalah konstanta. Jadi, setiap kostanta turunannya adalah nol.

2). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimana $ n \, $ adalah bilangan real.

3). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $

4). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $

5). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.

6). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $

7). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

Contoh-contoh soalnya sebagai berikut.

1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $

Penyelesaian :

a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar 2) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \\ \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} \\ = (-2). 5. x^{(-2) - 1} \\ = -10x^{-3} = \\ \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \\ \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} \\ = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} \\ = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $

2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $

Penyelesaian :

Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar 3. Rumus dasar 3 itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $

Penyelesaian :

Kita gunakan rumus dasar 4. Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar 3 dan 2.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $

4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?

Penyelesaian :
Kita gunakan rumus dasar 5).

Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

Demikianlah Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi, semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi yang sedang membutuhkannya.

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan - Matematika Ku Bisa - Turunan fungsi $f(x)\,$ di $x=a\,$ dinotasikan dengan $f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.

atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ". Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit di atas bisa juga ditulis:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $

Notasi Turunan

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya.

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum

Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".

Contoh Soal:
Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut:
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $

Penyelesaian: (Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $)

a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
¤ Ingat bentuk:
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Sehingga:
$ \begin{align} f(x+h) & = \sin (x + h) \\ & = \sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $

¤ Rumus:
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga :
$ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $.

¤Bentuk :
$ \begin{align} \cos h - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h \end{align} $

¤ Menentukan penyelesaiannya:
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h - \sin x ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) \\ & + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $

Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Demikianlah cara Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi pembaca sekalian.

Some Conjecture of Prima Number

Several other theorems were proved concerning prime numbers. many great mathematicians approached problems that are related to primes. There are still many open problems of which we will mention some.

Conjecture 1. Twin Prime Conjecture There are in?nitely many pairs primes p and p + 2.

Conjecture 2. Goldbach's Conjecture Every even positive integer greater than 2 can be written as the sum of two primes.

Conjecture 3. The n2 + 1 Conjecture There are in?nitely many primes of the form n2 + 1, where n is a positive integer.

Conjecture 4. Polignac Conjecture For every even number 2n are there infinitely many pairs of consecutive primes which differ by 2n.



Conjecture 5. Opperman Conjecture Is there always a prime between n^2 and
(n + 1)^2?

The Function [x]

Definition 1. The function [x] represents the largest integer not exceeding x. In other words, for real x, [x] is the unique integer such that x - 1 < [x] </= x < [x] + 1.

We also define ((x)) to be the fractional part of x. In other words ((x)) =x - [x]. We now list some properties of [x] that will be used in later or in more advanced courses in number theory.
1. [x + n] = [x] + n, if n is an integer.
2. [x] + [y] </= [x + y].
3. [x] + [-x] is 0 if x is an integer and -1 otherwise.
4. The number of integers m for which x < m </= y is [y] - [x].
5. The number of multiples of m which do not exceed x is [x/m].


Using the de?nition of [x], it will be easy to see that the above properties are direct consequences of the definition. We now define some symbols that will be used to estimate the growth of number theoretic functions. These symbols will be not be really appreciated in the context of this book but these are often used in many analytic proofs.

Linear Diophantine Equations

In this section, we discuss equations in two variables called diophantine equations. These kinds of equations require integer solutions. The goal of this section is to present the set of points that determine the solution to this kind of equations. Geo-metrically speaking, the diophantine equation represent the equation of a straight line. We need to ?nd the points whose coordinates are integers and through which the straight line passes.

Definition 1. A linear equation of the form ax + by = c where a, b and c are integers is known as a linear diophantine equation. Note that a solution to the linear diophantine equation ($x_0, y_0$) requires $x_0$ and $y_0$ to be integers. The following theorem describes the case in which the diophantine equation has a solution and what are the solutions of such equations.

Theorem 1. The equation ax + by = c has integer solutions if and only if d | c where d = (a, b). If the equation has one solution x = x_0, y = y_0, then there are infinitely many solutions and the solutions are given by 
x = x_0 + (b/d)t 

y = y_0 - (a/d)t
 

where t is an arbitrary integer.


Proof. Suppose that the equation ax + by = c has integer solution x and y. Thus since d | a and
 d | b, then d | (ax + by) = c. Now we have to prove that if d | c, then the equation has integral solution. Assume that d | c. By theorem 3 (GCD), there exist integers m and n such that

d = am + bn. And also there exists integer k such that c = dk. Now since c = ax + by, we have
c = dk = (ma + nb)k = a(km) + b(nk).

Hence a solution for the equation ax + by = c is x_0 = km and y_0 = kn.
What is left to prove is that we have in?nitely many solutions. Let x = x_0 + (b/d)t and y = y_0 - (a/d)t. We have to prove now that x and y are solutions for all integers t. Notice that
ax + by = a(x_0 + (b/d)t) + b(y_0 - (a/d)t) = ax_0 + by_0 = c.
We now show that every solution for the equation ax + by = c is of the form
x = x_0 + (b/d)tand y = y_0 - (a/d)t.
Notice that since ax_0 + by_0 = c, we have a(x - x0) + b(y - y0) = 0.
Hence a(x - x0) = b(y - y0).
Dividing both sides by d, we get
a/d(x - x0) = b/d(y - y0).

Notice that (a/d, b/d) = 1 and thus we get by Lemma (a,b,c are positive integers such that (a, b) = 1 and a | bc, then a | c) that a/d | y - y0. As a result, there exists an integer t such that y = y0 - (a/d)t. Now substituting y - y0 in the equation a(x - x0) = b(y - y0). We get x = x0 + (b/d)t.

Example. The equation 3x+6y = 7 has no integer solution because (3, 6) = 3 does not divide 7.


Example. There are in?nitely many integer solutions for the equation 4x +6y = 8 because
 (4, 6) = 2 | 8. We use the Euclidean algorithm to determine m and n where 4m + 6n = 2. It turns out that 4(-1) + 6(1) = 2. And also 8 = 2.4. Thus x0 = 4.(-1) = -4 and y0 = 4.1 = 4 is a particular solution. The solutions are given by
 
x = -4 + 3t
 
y = 4 - 2t
for all integers t.

Least Common Multiple

We can use prime factorization to ?nd the smallest common multiple of two positive integers.

Definition 1. The least common multiple (l.c.m.) of two positive integers is the smallest positive integer that is a multiple of both. We denote the least common multiple of two positive integers a an b by [a, b] .

Example. [2, 8] = 8, [5, 8] = 40

We can figure out a, b once we have the prime factorization of a and b. To do that, let
$a = p_1^a_1 p_2^a_2 ...p_m^a_n$ and $b = p_1^b_1 p_2^b_2 ...p_m^b_n$ , where (as above) we exclude any prime with 0 power in both a and b. Then [a,b]=$p_1^[max(a1,b1)} p_2^{max(a2,b2)}... p_m^{max(an,bn)}$, where max(a, b) is the maximum of the two integers a and b. We now prove a theorem that relates the least common multiple of two positive integers to their greatest common divisor. In some books, this theorem is adopted as the de?nition of the least common multiple. To prove the theorem we present a lemma

Lemma 1. If a and b are two real numbers, then min(a, b) + max(a, b) = a + b

Proof. Assume without loss of generality that a >/== b. Then
max(a, b) = a and min(a, b) = b, and the result follows.

Theorem 1. Let a and b be two positive integers. Then
1. [a, b] >/= 0;
2. [a, b] = ab/(a, b); where (a,b) is GCD of a and b.

3. If a | m and b | m, then [a, b] | m

The infinitude of Primes

We now show that there are infinitely many primes. There are several ways to prove this result. An alternative proof to the one presented here is given as an exercise. The proof we will provide was presented by Euclid in his book the Elements.

Theorem 1. There are infinitely many primes.

Proof. We present the proof by contradiction. Suppose there are finitely many primes p1, p2, ..., pn, where n is a positive integer. Consider the integer Q such that Q = p1p2...pn + 1. By before Lemma 1, Q has at least a prime divisor, say q. If we prove that q is not one of the primes listed then we obtain a contradiction. Suppose now that q = pi for 1 </= i </= n. Thus q divides p1p2...pn and as a result q divides Q - p1p2...pn. Therefore q divides 1. But this is impossible since there is no prime that divides 1 and as a result q is not one of the primes listed. The following theorem discusses the large gaps between primes. It simply states that there are arbitrary large gaps in the series of primes and that the primes are spaced irregularly.

Theorem 2. Given any positive integer n, there exists n consecutive composite integers.

Proof. Consider the sequence of integers (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, ..., (n + 1)! + n, (n + 1)! + n + 1

Notice that every integer in the above sequence is composite because k divides (n + 1)! + k if 2 </= k </= n + 1 by 4

The Sieve of Eratosthenes

Definition 1. A prime is an integer greater than 1 that is only divisible by 1 and itself.

Example. The integers 2, 3, 5, 7, 11 are prime integers. Note that any integer greater than 1 that is not prime is said to be a composite number. We now present the sieve of Eratosthenes. The Sieve of Eratosthenes is an ancient method of finding prime numbers up to a speci?ed integer. This method was invented by the ancient Greek mathematician Eratosthenes. There are several other methods used to determine whether a number is prime or composite. We first present a lemma that will be needed in the proof of several theorems.

Lemma 1. Every integer greater than one has a prime divisor.

Proof. We present the proof of this Lemma by contradiction. Suppose that there is an integer greater than one that has no prime divisors. Since the set of integers with elements greater than one with no prime divisors is nonempty, then by the well ordering principle there is a least positive integer n greater than one that has no prime divisors. Thus n is composite since n divides n. Hence n = ab with 1 < a < nand 1 < b < n. Notice that a < n and as a result since n is minimal, a must have a prime divisor which will also be a divisor of n.

Theorem 1. If n is a composite integer, then n has a prime factor not exceeding $\sqrt{n}$.

Proof. Since n is composite, then n = ab, where a and b are integers with 1 <a </= b < n. Suppose now that a > n, then $\sqrt{n}$<a </= b and as a result ab > $\sqrt{n}$$\sqrt{n}$=$\sqrt{n}$. Therefore a </= $\sqrt{n}$. Also, by Lemma 1, a must have a prime divisor a1 which is also a prime divisor of n and thus this divisor is less than a1 </=  a </=  n.


We now present the algorithm of the Sieve of Eratosthenes that is used to determine prime numbers up to a given integer.

  1. Write a list of numbers from 2 to the largest number n you want to test. Note that every composite integer less than n must have a prime factor less than $\sqrt{n}$. Hence you need to strike off the multiples of the primes that are less than $\sqrt{n}$
  2. Strike off all multiples of 2 greater than 2 from the list . The first remaining number in the list is a prime number.
  3. Strike off all multiples of this number from the list.
  4. Repeat the above steps until no more multiples are found of the prime integers that are less than $\sqrt{n}$

The Greatest Common Divisor

In this section we define the greatest common divisor (gcd) of two integers and discuss its properties. We also prove that the greatest common divisor of two integers is a linear combination of these integers. Two integers a and b, not both 0, can have only finitely many divisors, and thus can have only ?nitely many common divisors. In this section, we are interested in the greatest common divisor of a and b. Note that the divisors of a and that of |a| are the same.

Definition 1. The greatest common divisor of two integers a and b is the greatest integer that divides both a and b. We denote the greatest common divisor of two integers a and b by (a, b). We also define (0, 0) = 0.

Example. Note that the greatest common divisor of 24 and 18 is 6. In other words (24, 18) = 6.
There are couples of integers (e.g. 3 and 4, etc...) whose greatest common divisor is 1 so we call such integers relatively prime integers.

Definition 2. Two integers a and b are relatively prime if (a, b) = 1. Example. The greatest common divisor of 9 and 16 is 1, thus they are relatively prime. Note that every integer has positive and negative divisors. If a is a positive divisor of m, then ?a is also a divisor of m. Therefore by our definition of the greatest common divisor, we can see that (a, b) = (| a |, | b |). We now present a theorem about the greatest common divisor of two integers. The theorem states that if we divide two integers by their greatest common divisor, then the outcome is a couple of integers that are relatively prime.

Theorem 1. If (a, b) = d then (a/d, b/d) = 1.

Proof. We will show that a/d and b/d have no common positive divisors other than 1. Assume that k is a positive common divisor such that k | a/d and k | b/d. As a result, there are two positive integers m and n such that a/d = km and b/d = kn. Thus we get that a = kmd and b = knd. Hence kd is a common divisor of both a and b. Also, kd > or = d. However, d is the greatest common divisor of a and b. As a result, we get that k = 1.

The next theorem shows that the greatest common divisor of two integers does not change when we add a multiple of one of the two integers to the other.

Theorem 2. Let a, b and c be integers. Then (a, b) = (a + cb, b).

Proof. We will show that every divisor of a and b is also a divisor of a + cb and b and vise versa. Hence they have exactly the same divisors. So we get that the greatest common divisor of a and b will also be the greatest common divisor of a + cb and b. Let k be a common divisor of a and b. By Theorem 4, k | (a + cb) and hence k is a divisor of a + cb. Now assume that l is a common divisor of a + cb and b. Also by Theorem 4 we have , l | ((a + cb) - cb) = a. As a result, l is a common divisor of a and b and the result follows.

Example. Notice that (4, 14) = (4, 14 - 3 · 4) = (4, 2) = 2.
We now present a theorem which proves that the greatest common divisor of two integers can be written as a linear combination of the two integers.


Theorem 3. The greatest common divisor of two integers a and b, not both 0 is the least positive integer such that ma + nb = d for some integers m and n.



Proof. Assume without loss of generality that a and b are positive integers. Consider the set of all positive integer linear combinations of a and b. This set is non empty since a = 1 · a + 0 · b and b = 0 · a + 1 · b are both in this set. Thus this set has a least element d by the well-ordering principle. Thus d = ma + nb for some integers m and n. We have to prove that d divides both a and b and that it is the greatest divisor of a and b. By the division algorithm, we have 
a = dq + r,  0 < or = r < d.

Thus we have r = a - dq = a - q(ma + nb) = (1 - qm)a - qnb.

We then have that r is a linear combination of a and b. Since 0 < or = r < d and d is the least positive integer which is a linear combination of a and b, then r = 0 and a = dq. Hence d | a. Similarly d | b. Now notice that if there is a divisor c that divides both a and b. Then c divides any linear combination of a and b by a before Theorem . Hence c | d. This proves that any common divisor of a and b divides d. Hence c < or = d, and d is the greatest divisor. As a result, we conclude that if (a, b) = 1 then there exist integers m and n such that ma + nb = 1.


Defnition 3. Let a1, a2, ..., an be integers, not all 0. The greatest common divisor of these integers is the largest integer that divides all of the integers in the set. The greatest common divisor of a1, a2, ..., an is denoted by (a1, a2, ..., an).

Definition 4. The integers a1, a2, ..., an are said to be mutually relatively prime if (a1, a2, ..., an) = 1.
Example. The integers 3, 6, 7 are mutually relatively prime since (3, 6, 7) = 1 although (3, 6) = 3.

Definition 5. The integers a1, a2, ..., an are called pairwise prime if for each i = j,we have (ai, aj ) = 1.
Example. The integers 3, 14, 25 are pairwise relatively prime. Notice also that these integers are mutually relatively prime. Notice that if a1, a2, ..., an are pairwise relatively prime then they are mutually relatively prime.

Integer Divisibility

Definition 1. If a and b are integers such that a#0, then we say "a divides b" if there exists an integer k such that b = ka. If a divides b, we also say "a is a factor of b" or "b is a multiple of a" and we write a | b. If a doesn't divide b, we write a / b. For example 2 | 4.

Example:

a) Note that any even integer has the form 2k for some integer k, while any odd integer has the form 2k + 1 for some integer k. Thus 2|n if n is even, while 2 n if n is odd.
b) Every a in Z one has that a | 0.
c) If b in Z is such that |b| < a, and b # 0, then a / b.

Theorem 1. If a, b and c are integers such that a | b and b | c, then a | c.
Proof. Since a | b and b | c, then there exist integers k1 and k2 such that b = k1a and c = k2b. As a result, we have c = k1k2a and hence a | c.


Example. Since 6 | 18 and 18 | 36, then 6 | 36.



The following theorem states that if an integer divides two other integers then it divides any linear combination of these integers.


Theorem 2. If a, b, c, m and n are integers, and if c | a and c | b, then c | (ma + nb).



Proof. Since c | a and c | b, then by de?nition there exists k1 and k2 such that a = k1c and b = k2c. Thus ma + nb = mk1c + nk2c = c(mk1 + nk2), and hence c | (ma + nb).

Layanan

1. Kerja Soal Matematika Mu

2. Buat Blog, Register dan Custom Domain Blogger Mu

3. Beriklan di Blog Kami / Job Review

4. Jasa Blokir dan Cekal Iklan Google Adsense yang Tidak Diinginkan

5. Jual Produk/Jasa Anda di Toko Online Kami

Kontak Kami

Name

Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design