Cara Mengerjakan Soal Bilangan Berpangkat

Mengerjakan soal-soal bilangan berpangkat ialah bagaimana menerapkan sifat-sifat yang ada pada bilangan berpangkat.

Karena itu, untuk dapat mengerjakan soal bilangan berpangkat kita harus memahami definisi bilangan berpangkat dan mengetahui bagaimana sifat-sifat bilangan berpangakat tersebut .

Definisi Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat bulat positif ($n \in Z^+$) berikut ini, $a$ disebut basis bilangan atau bilangan pokok  dan $n$ disebut pangkat didefinisikan sebagai berikut.
$a^n=\underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{\mbox{n faktor}}$ ; $a \in R$
Sedangkan pangkat bulat negatif  didefinisikan sebagai berikut.
$\begin{align} a^{-m} &=(\frac{1}{a})^m \\ &=\frac{1}{a^m} \end{align}$ ;$a \in R$

Contoh:
$2^3=2 \times 2 \times 2 =8$
$(-4)^3=(-4) \times (-4) \times (-4)=-64$
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$


Pangkat Nol

Tidak semua bilangan real yang dipangkatkan dengan $0$ hasilnya adalah 1.

Akan tetapi, ada pengecualian bahwa hal tersebut tidak berlaku untuk $0$. Jadi, untuk setiap $a \in R$; $a \neq 1$ berlaku: $a^0=1$

Bukti:
$\begin{align} \frac{a^n}{a^n} &=1 \\ \Leftrightarrow a^{n-n} &=1 \\ \Leftrightarrow a^{0} &=1 \end{align}$


Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Jika $a \in R$, m dan n bilangan asli maka
  1. $a^m \times a^n=a^{m+n}$
  2. $a^m : a^n=a^{m-n}$
  3. $(a^m)^n=a^{mn}$
  4. $(a \times b)^n=a^nb^n$
  5. $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}; \ \ b \neq 0$


Sifat-sifat Pangkat Pecahan

  1. $(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}})=a^{\frac{m+p}{n}}$
  2. $(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}})=a^{\frac{m}{n} +\frac{p}{q}}$


Contoh Soal

1. $2^2 \times 2^5=2^{2+5}=2^{7}$
2. $(2^3)^2=2^6$
3. $(\frac{2}{3})^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$
Jawab:
$\begin{align} \frac{a^{-2}b^{-3}c}{ab^{-4}c^{-3}} &= a^{-2-1}b^{-3-(-4)}c^{1-(-3)} \\ &= a^{-3}b^{1}c^4 \\ &= \frac{bc^4}{a^3} \end{align}$

$\begin{align} 7a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{3}{2}}c^{-1} &= 7(27)^{\frac{1}{3}}(4)^{\frac{3}{2}}(3)^{-1} \\ & = 7(3^3)^{\frac{1}{3}}(2^2)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} \\ & = 7(3)(2^3)(\frac{1}{3}) \\ &= 7×8 = 56 \end{align} $

$\begin{align} 32^{\frac{1}{5}} . ( \frac{1}{2})^{-2} . 8^{\frac{-2}{3}} & = (2^5)^{\frac{1}{5}} . 2^2 . (2^3)^{\frac{-2}{3}} \\ &= 2 . 2^2 . 2^{-2} \\ &= 2 \end{align} $

Contoh soal SNMPTN:
Bilangan berikut yang nilainya terbesar adalah…
a. 777  
b. $7^{77}$  
c. $(77)^7$  
d. $(7^7)^7$
e. $(7 \times 7)^7$

Jawaban: B

Kita gunakan sifat-sifat bilangan berpangkat untuk menjawab soal tersebut.
a. $777=7.111<7.11^2$
b. $7^{77} =7^{57}.7^{18}.7^2=7^{57}.7^{18}.49$
c. $77^7=(7.11)^7==7^7.11^7=7^7. 11^6.11$
d. $(7^7)^7=7^{49}$
e. $(7 \times 7)^7=(7^2)^7=7^{14}$
Perhatikan bahwa $7^{77}>7^{49}>7^{14}$, oleh karena itu $b>d>e$. Karena $7^3>11^2$ maka $7^{57}.7^{18}.49>7^7. 11^6.11>7.11^2>7.111$, sehingga $b>c>a$.

Contoh soal olimpiade:
Tentukan angka satuan dari $7^{1234}$

Solusi:

Perhatikan pola berikut ini!
$\begin{align}7^1 &=7 \\ 7^{2} &=…9 \\ 7^{3} &=…3 \\ 7^{4} &=…1 \\ 7^{5} &=…7 \\ 7^{6} &=…9 \\ 7^{7} &=…3 \\ 7^{8} &=…1 \end{align}$
Berdasarkan pola tersebut dan dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat diperoleh:
$\begin{align} 7^{1234} &=7^{(4 \times 308)} \times 7^2 \\ &=(7^4)^{308} \times 7^2 \end{align}$.

Karena satuan dari $7^4$ adalah 1 dan $7^2$ adalah 9 maka angka satuan dari $7^{1234}$ adalah $1 \times 9=9$.

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Bilangan Berpangkat"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel


PESAN DI SINI
Mau gabung Grup WA Matematika Ku Bisa? Join Di Sini!