Cara Mengerjakan Soal Bilangan Berpangkat

Mengerjakan soal-soal bilangan berpangkat ialah bagaimana menerapkan sifat-sifat yang ada pada bilangan berpangkat.

Karena itu, untuk dapat mengerjakan soal bilangan berpangkat kita harus memahami definisi bilangan berpangkat dan mengetahui bagaimana sifat-sifat bilangan berpangakat tersebut .

Bilangan berpangkat bulat positif ($n \in Z^+$) berikut ini, $a$ disebut basis bilangan atau bilangan pokok  dan $n$ disebut pangkat didefinisikan sebagai berikut.

$a^n=\underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{\mbox{n faktor}}$ ; $a \in R$

Sedangkan pangkat bulat negatif  didefinisikan sebagai berikut.

$\begin{align} a^{-m} &=(\frac{1}{a})^m \\ &=\frac{1}{a^m} \end{align}$ ;$a \in R$

Contoh:
$2^3=2 \times 2 \times 2 =8$
$(-4)^3=(-4) \times (-4) \times (-4)=-64$
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Tidak semua bilangan real yang dipangkatkan dengan $0$ hasilnya adalah 1.

Akan tetapi, ada pengecualian bahwa hal tersebut tidak berlaku untuk $0$. Jadi, untuk setiap $a \in R$; $a \neq 1$ berlaku: $a^0=1$

Bukti:

$\begin{align} \frac{a^n}{a^n} &=1 \\ \Leftrightarrow a^{n-n} &=1 \\ \Leftrightarrow a^{0} &=1 \end{align}$

Jika $a \in R$, m dan n bilangan asli maka

1. $2^2 \times 2^5=2^{2+5}=2^{7}$

2. $(2^3)^2=2^6$

3. $(\frac{2}{3})^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Jawab:
$\begin{align} \frac{a^{-2}b^{-3}c}{ab^{-4}c^{-3}} &= a^{-2-1}b^{-3-(-4)}c^{1-(-3)} \\ &= a^{-3}b^{1}c^4 \\ &= \frac{bc^4}{a^3} \end{align}$

$\begin{align} 7a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{3}{2}}c^{-1} &= 7(27)^{\frac{1}{3}}(4)^{\frac{3}{2}}(3)^{-1} \\ & = 7(3^3)^{\frac{1}{3}}(2^2)^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} \\ & = 7(3)(2^3)(\frac{1}{3}) \\ &= 7×8 = 56 \end{align} $

$\begin{align} 32^{\frac{1}{5}} . ( \frac{1}{2})^{-2} . 8^{\frac{-2}{3}} & = (2^5)^{\frac{1}{5}} . 2^2 . (2^3)^{\frac{-2}{3}} \\ &= 2 . 2^2 . 2^{-2} \\ &= 2 \end{align} $

Contoh soal SNMPTN:
Bilangan berikut yang nilainya terbesar adalah…

a. 777  

b. $7^{77}$  

c. $(77)^7$  

d. $(7^7)^7$

e. $(7 \times 7)^7$

Jawaban: B

Kita gunakan sifat-sifat bilangan berpangkat untuk menjawab soal tersebut.

a. $777=7.111<7.11^2$

b. $7^{77} =7^{57}.7^{18}.7^2=7^{57}.7^{18}.49$

c. $77^7=(7.11)^7==7^7.11^7=7^7. 11^6.11$

d. $(7^7)^7=7^{49}$

e. $(7 \times 7)^7=(7^2)^7=7^{14}$

Perhatikan bahwa $7^{77}>7^{49}>7^{14}$, oleh karena itu $b>d>e$. Karena $7^3>11^2$ maka $7^{57}.7^{18}.49>7^7. 11^6.11>7.11^2>7.111$, sehingga $b>c>a$.

Contoh soal olimpiade:
Tentukan angka satuan dari $7^{1234}$

Solusi:

Perhatikan pola berikut ini!

$\begin{align}7^1 &=7 \\ 7^{2} &=…9 \\ 7^{3} &=…3 \\ 7^{4} &=…1 \\ 7^{5} &=…7 \\ 7^{6} &=…9 \\ 7^{7} &=…3 \\ 7^{8} &=…1 \end{align}$

Berdasarkan pola tersebut dan dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat diperoleh:

$\begin{align} 7^{1234} &=7^{(4 \times 308)} \times 7^2 \\ &=(7^4)^{308} \times 7^2 \end{align}$.

Karena satuan dari $7^4$ adalah 1 dan $7^2$ adalah 9 maka angka satuan dari $7^{1234}$ adalah $1 \times 9=9$.