Rumus Integral Parsial dan Contohnya

Integral Parsial - Jika kita telah mempelajari metode integral substitusi yang terdiri dari dua versi, kurang lengkap jika tidak mempelajari metode integral parsial.

Karena kedua metode ini sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal integral baik integral tentu maupun integral tak-tentu.

Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, kita mungkin saja dapat menggunakan substitusi ganda (double substitution), yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

Metode integral parsial ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasil kali dua fungsi.

Rumus Integral Parsial

Misalkan $u=u(x)$ dan $v=v(x)$, maka:

$$D_x[u.v]=u.v’+v.u’$$

atau

$$u.v’=D_x[u.v]-v.u’$$

Dengan mengintegrasi kedua ruas persamaan tersebut, kita peroleh

$$\int uv’ \ dx= uv – \int vu’ \ dx$$

Karena $dv=v’ \ dx$ dan u$du=u’ \ dx$, persamaan di atas biasanya ditulis dengan lambang sebagai berikut.

$$ \int u \ dv=uv - \int v \ du$$

Rumus yang berpadanan dengan integral tentu adalah:

$$ \int_{a}^{b} u \ dv=[uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \ du$$

Contoh Integral Parsial

Carilah $\int x \cos \ x \ dx$

Soal tersbut memang tidak bisa dikerjakan dengan menggunakan metode substitusi.

Kita ingin menuliskan $x \cos \ x dx$ sebagai $u \ dv$.

Kemungkinannya ialah memisalkan $u=x$ dan $dv=\cos x \ dx$ atau $u=\cos x$ dan $dv=x \ dx$.

Kita harus pintar memilih diantara keduanya manakah yang lebih tepat.

Misalkan, $u=x$ dan $dv=\cos x \ dx$

Maka,

$du=dx$ dan

$$\begin{align} v &=\int \cos x \ dx \\ &= \sin x \end{align}$$

Sehingga,

$$\begin{align} & \int \underbrace{x}_u \ \underbrace{\cos x \ dx}_{dv} \\  &=\underbrace{x}_{u} \ \underbrace{\sin x}_{v} - \int \underbrace {\sin x}_{v} \ \underbrace{dx}_{du} \\ &= x \sin x \ - (-\cos x) +C \\ &= x \sin x + \cos x +C \end{align}$$

Demikian pembahasan Integral Parsial, semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Rumus Integral Parsial dan Contohnya"


Jangan Lewatkan Kaos Matematika Keren & Unik di👇



Dapatkan panduan Belajar Matematika dari Nol GRATIS di👇