Cara Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Sederhana

Bentuk dan variasi soal-soal pertidaksamaan di tingkat SD, SMP, SMA berbeda-beda kesulitannya. Di SD, soal-soal pertidaksamaan disajikan dalam soal cerita, di SMP dipelajari dalam pertidaksamaan linier satu variabel, dan di SMA dipelajari dalam pertidaksamaan kuadrat dan juga sering dikaitkan dengan fungsi rasional, fungsi tanda mutlak, fungsi eksponen, dan logaritma. Bahkan di tingkat universitas soal-soal pertidaksamaan diberikan di awal perkuliahan sebelum mempelajari kalkulus. Oleh karena pentingnya materi ini, kita akan membahasnya pada tulisan ini dengan judul Cara Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Sederhana.

Soal-soal pertidaksamaan berikut ini adalah pertidaksamaan yang akan dibuktikan nilai kebenarannya bukan untuk mencari himpunan penyelesaiannya sebagaimana soal-soal pertidaksamaan yang dipelajari di tingkat SD, SMP, dan SMA yang telah disebutkan sebelumnya di atas.

Contoh Soal 1: Jika a sebarang bilangan positif, buktikan bahwa $a + \frac{1}{a} \ge 2$

Jawab: Oleh karena $( \sqrt{a} - \frac{1}{ \sqrt{a}} )^2 \ge 0$, maka $( \sqrt{a} - \frac{1}{ \sqrt{a}} )^2 = a-2+ \frac{1}{a} \ge 0$. Jadi terbukti bahwa $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Contoh Soal 2: Buktikan bahwa $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \ge 0$

Jawab: Perhatikan ruas kiri, dapat ditulis sebagai $\frac{1}{2}((a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2)$. Dengan demikian terbukti apa yang diinginkan bahwa ruas kiri lebih besar atau sama dengan nol.

Ide dasar dalam menyelesaikan kedua soal di atas adalah "setiap bilangan real yang dipangkat 2 adalah tak-negatif" sehingga:

1) $( \sqrt{a} - \frac{1}{ \sqrt{a}} )^2 \ge 0$

2) $(a+b)^2 \ge 0$

3) $(a-b)^2 \ge 0$

dll.