Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier - Kita sudah membahas sebelumnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas di Pengantar Persamaan Diferensial.

Pada pengantar persamaan diferensial tersebut dijelaskan bahwa dalam pemodelan fenomena perubahan dunia nyata, syarat awal sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syarat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi.

Jika melibatkan keduanya, membentuk persamaan diferensial.

Pada tulisan kali ini, kita akan membahas pengertian persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linier dan tak linier beserta dengan contoh soalnya.

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas.

Jika diambil $y(x)$ suatu fungsi dengan y disebut variabel tak bebas dan $x$ variabel bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:

$$F(x, \ y, \ y", \ ... \ y^{(n)})=0$$

Order dari suatu PDB didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

Derajat dari suatu PD adalah pangkat tertinggi dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam PD.

Contoh:

  1. $1+ ( \frac{dy}{dx} )^2 = 3 \frac{d^2y}{(dx)^2}$ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.
  2. $x (y")^3+(y')^4-y=0$ adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.

Persamaan Linier dan Tidak Linier

Suatu PD adalah linier jika dan hanya jika setiap suku persanaan yang memuat variabel terikat atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat 1.

Contoh:

  1. $y"+4xy'+2y=cos \ x $ adalah PD biasa, linier, dan berorde 2.
  2. $y"+4yy'+y'+2y=cos \ x$ adalah PD tidak linier karena memuat $yy'$.
  3.  $\frac {d^2u}{(dx)^2}+ \frac {dv}{dt}+u+v=sin \ (u)$ adalah PD parsial, linier dalam v, tetapi tidak linier dalam u karena ada fungsi $sin \ (u) $. Jadi, PD tersebut tidak linier.
  4. $\frac {d^2x}{(dt)^2}+ \frac{dy}{dt}+xy =sin \ (t) $ adalah linier dalam setiap variabel tak bebas x dan y tetapi tidak linier dalam himpunan {x, y}. Jadi, PD tersebut tidak linier.

Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n

Bentuk umum Persamaan Linier Orde n adalah sebagai berikut.

$$a_n (x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+... \\ +a_2 (x)y"+a_1 (x)y'+a_0 (x)y=f (x) $$

Bila tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan PD tidak linier.

Bila f(x)=0 maka disebut Persamaan Diferensial Linier Homogen sedangkan bila $f(x) \neq 0$ maka disebut Persamaan Diferensial Linier Tak-Homogen.

Untuk kasus n=1 disebut Persamaan Diferensial Linier Orde 1 dan untuk n=2 disebut Persamaan Diferensial Linier Orde 2.

$a_n(x) $ menyatakan fungsi ke-n dalam variabel x, yang dalam hal ini berkedudukan sebagai koefisien.

Apabila $a_n(x)$ fungsi konstan maka disebut Persamaan Diferensial Linier dengan Koefisien Konstan.

Misal diberikan fungsi $y=sin \ x - cos \ x+1$.

Bila dilakukan penurunan sebanyak dua kali, yakni $y'=cos  \ x+ sin \ x $ dan $y"=-sin \ x+ cos \ x $

diperoleh hubungan $y"+y=1$ (PD Linier tak Homogen orde 2 dengan koefisien konstan).

Cara memperoleh hubungan tersebut, telah dibahas pada tulisanPengantar Persamaan Diferensial mengenai bagaimana menyusun persamaan diferensial biasa.

Fungsi $y=sin  \ x - cos \ x +1$ disebut solusi PD $y"+y=1$.

Pertanyaan yang muncul kemudian adalah jika diberikan suatu Persamaan Diferensial linier orde n, bagaimana cara mendapatkan solusinya?

Penyelesaian PD Linier orde n, kita bahas terpisah pada tulisan lain dengan memberikan judul tersendiri dalam dua bahasan, yaitu bagaimana menyelesaikan Persamaan Linier Orde 1 dan Persamaan Linier Orde 2.

Silahkan buka pembahasan berikut ini.

  1. Persamaan Diferensial Orde 1 ✔
  2. Persamaan Diferensial Orde 2

Demikianlah Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier, semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier"


Jangan Lewatkan Kaos Matematika Keren & Unik di👇



Dapatkan panduan Belajar Matematika dari Nol GRATIS di👇