Cara Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Berdasarkan konsep nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak, yang telah kita pelajari pada tulisan Cara Mengerjakan Soal Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel, kita akan mempelajari bagaimana konsep pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bagaimana menyelesaikannya.

Di dalam kehidupan kita sehari-hari, kita banyak menjumpai kasus yang melibatkan adanya pembatasan dalam suatu hal. Seperti pada lowongan kerja yang mensyaratkan pelamar dengan batasan usia tertentu, atau batas nilai cukup bagi seorang pelamar kerja agar dinyatakan lulus dari ujian yang dilaksanakan, dan sebagainya. Kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke dalam pertidaksamaan linear dengan memahami dan meneliti kasus berikut ini.

"Ada bayi yang lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi agar tetap stabil di suhu 34°C, harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32°C sampai 35°C. Bayi itu lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2°C, maka tentukan interval perubahan suhu inkubatornya!"

Pada kasus tersebut di atas, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama 1-2 hari semenjak kelahiran, yaitu 34°C. Misalkan t adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruang, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0,2°C. Nilai mutlak suhu tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut.
|t – 34| ≤ 0,2 

Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, $|t – 34|$ ditulis menjadi:
$ |t-34| \begin{cases} t-34, & \mbox{jika} \ t \ge 34 \\ -(t-34), & \mbox{jika} \ t <34 \end{cases} $

Akibatnya, $|t – 34| ≤ 0,2$ berubah menjadi
$t – 34 ≤ 0,2$ dan $–(t – 34) ≤ 0,2$ atau $t – 34 ≤ 0,2$ dan $(t – 34) ≥ -0,2$ atau dituliskan menjadi:
|t – 34| ≤ 0,2 
⇔ –0,2 ≤ t – 34 ≤ 0,2 
⇔ 33,8 ≤ t ≤ 34,2 

Dengan demikian, interval perubahan suhu inkubator adalah $\{t| \ 33,8 ≤ t ≤ 34,2\}$. Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8°C sampai dengan 34,2°C.

Secara umum, untuk setiap x, a∈R, pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.
|x| ≤ a untuk a ≥ 0 
|x| ≥ a untuk a ≥ 0

Ingat bahwa nilai mutlak tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian halnya, menurut pendapat Anda apa yang akan terjadi pada bentuk umum di atas jika a<0? Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian dari bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak linear |x| ≤ a dan |x| ≥ a untuk a ≥ 0, a∈R.
  • Kasus 1, |x| ≤a untuk a ≥ 0, a∈R 
Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, maka:
untuk x≥0, maka |x|=x sehingga x≤a
untuk x<0, maka |x|=–x sehingga –x≤a atau x≥ –a.
Dengan demikian, penyelesaian dari |x|≤a untuk a≥0, a∈R adalah x≤a dan x≥–a (atau sering dituliskan dengan –a ≤ x ≤ a).
Jadi, menyelesaikan |x| ≤ a setara dengan menyelesaikan –a ≤ x ≤ a.
  • Kasus 2, |x|≥ a untuk a≥0, a∈R 
Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, maka
untuk x≥0, maka |x|=x sehingga x≥a
untuk x < 0, maka |x| = –x sehingga –x ≥ a atau x ≤ –a

Dengan demikian, penyelesaian dari |x|≥ a untuk a≥0, a∈R, adalah x≤–a atau x≥a.
Jadi, menyelesaikan |x|≥a setara dengan menyelesaikan x≥a atau x≤-a.
Dari masalah-masalah dan penyelesaian di atas, maka dapat ditarik kesimpulan sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.

Sifat-Sifat:
Untuk setiap a, x bilangan real.
1. Jika a≥0 dan |x|≤ a, maka –a≤x≤ a.
2. Jika a<0 dan |x|≤a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi  pertidaksamaan.
3. Jika |x|≥a, dan a>0 maka x≥a atau x≤–a.
4. $|x| = \sqrt{x^2} $

Buktikan $|x + y|≤ |x| + |y|$

Bukti:
Untuk x, y bilangan real,
$|x| ≤ |y| ⇔ –|y| ≤ x ≤ |y|$
Untuk x, y bilangan real,
$|y| ≤ |x| ⇔ –|x| ≤ y ≤ |x| $
Dari kedua pernyataan di atas, maka diperoleh:
–(|x| + |y|) < x + y ≤ (|x| + |y|)
⇔ |x + y| ≤ |x| + |y|

Contoh Soal 1: Selesaikanlah pertidaksamaan $|2x +1| ≥ |x – 3|$

Gunakan $|x| = \sqrt{x^2} $.

Langkah 1: Ingat bahwa $|x |= \sqrt{x^2} $, sehingga $(|x |)^2= x^2 $. Oleh karena itu,

|2x + 1| ≥ |x – 3|
 ⇔ $(2x + 1)^2 ≥ (x – 3)^2$
 ⇔ $4x^2 + 4x + 1 ≥ x^2 – 6x + 9$
 ⇔ $3x^2 + 10x – 8 ≥ 0$ (bentuk kuadrat)
 ⇔ $(3x – 2)(x + 4) ≥ 0$

Langkah 2: Menentukan pembuat nol, yaitu $x = \frac{2}{3} $ atau $x = –4$.

Langkah 3: Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan



Langkah 4: Menentukan interval penyelesaian. Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang nilai $x$ yang membuat pertidaksamaan bernilai non-negatif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas. Dengan menguji masing-masing interval yang ada, yaitu $( \infty, -4]$, $[-4, \frac{2}{3}]$, dan $[ \frac{2}{3}, \infty)$,  arsiran pada interval di bawah ini adalah penyelesaian pertidaksamaan tersebut karena bernilai non-negatif.



Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaian.
$HP=\{x| \ x \le -4 \ atau \ x \ge \frac{2}{3} \}$

Perhatikan grafik berikut. Kita akan menggambarkan grafik $y = |2x + 1|$ dan grafik $y = |x – 3|$, untuk setiap x∈R.

Pertidaksamaan $|2x + 1| ≥ |x – 3|$ dapat dibaca menjadi nilai $y = |2x + 1|$ lebih besar $y = |x – 3|$ dan berdasarkan grafik dapat dilihat pada interval $\{x| \ x \le -4 \ atau \ x \ge \frac{2}{3} \}$

Contoh Soal 2: Solusi dari pertidaksamaan $|3x -2| < |x| + 2$ adalah

$|3x-2| - |x| < 2$

Untuk x>0 maka $3x-2 - x < 2  $ atau $2x-2<2$, sehingga diperoleh $x <2$

Untuk x<0 maka $-(3x-2)-(-x) <2$ atau $-2x+2 < 0$, sehingga diperoleh $x>0$.

Jadi, diperoleh solusinya yaitu $0 <x <2$

    Contoh Soal 3:  Silahlan kasih soalnya di komentar agar ditulis di sini !


    Demikian pembahasan cara mengerjakan soal pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel

    0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel "

    Post a Comment

    Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

    Iklan Atas Artikel

    Iklan Tengah Artikel 1

    Iklan Tengah Artikel 2

    Iklan Bawah Artikel


    PESAN DI SINI
    Mau gabung Grup WA Matematika Ku Bisa? Join Di Sini!