Belajar Matematika Online

Persamaan Diferensial Reduksi Terpisahkan (PD Homogen)

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari persamaan diferensial tingkat 1 dengan variabel terpisah yang dapat diselesaikan dengan metode integrasi secara langsung. Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari secara khusus keberadaan suatu persamaan diferensial yang variabelnya dapat dipisahkan. Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial homogen.


Pengertian:
Suatu fungsi F(x,y) adalah fungsi homogen berderajat n dalam x dan y jika $F( \lambda x, \lambda y)= \lambda ^n F(x,y)$. Jika diberikan PD dengan $M(x,y) \ dx + N(x,y) \ dy=0 \\ \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} $ disebut PD dengan koefisien homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n.
Karena PD homogen maka:
$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} \\ &= - \frac{(\frac{1}{x})^nM(\frac{1}{x}.x, \frac{y}{x})}{(\frac{1}{x})^nN(\frac{1}{x}.x, \frac{y} {x})} \\ &= - \frac{x^{-n}M(1, \frac{y}{x})}{x^{-n}N(1, \frac{y}{x})} \\ &= \frac{M(1, \frac{y}{x})}{N(1, \frac{y}{x})} \\ \frac{dy}{dx} &= f(\frac{y}{x}) \end{align} $
sehingga digunakan transformasi $y=ux$ atau jika $\frac{dy}{dx} = - \frac{y^n}{y^n} \frac{M( \frac{x}{y}, 1)}{N(\frac{x}{y},1)} $ digunakan transformasi $x=vy $.

Contoh soal:
Selesaikan $2x \ dy - 2y \ dx = \sqrt{x^2+4y^2} \ dx $

Solve:
Kita ubah bentuknya menjadi $M \ dx + N \ dy=0$, hasilnya sebagai berikut.
$(\sqrt{x^2+4y^2} + 2y) \ dx - 2x \ dy=0$

Maka diketahui:
$M = \sqrt{x^2+4y^2} + 2y$ dan $N= -2x $

Kita periksa apakah homogen.
(Diberikan kepada pembaca untuk menunjukannya)

Karena PD homogen, gunakan transformasi $y=ux $ atau $x=vy $. Misal gunakan $y=ux $ dimana $\frac{dy}{dx} = x \ du+ u \ dx $

Maka hasil transformasinya menjadi persamaan berikut ini.

$ \frac{1}{x} \ dx - \frac{2}{\sqrt{1+4u^2}} \ du=0$

Dengan mengintegralkan diperoleh:

$1+4kux -k^2x^2=0$ (k bilangan konstan)

Kita ganti u dengan $ \frac{y}{x} $. Jadi, solusi umumnya adalah $1+4ky - k^2x^2=0$

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design