Belajar Matematika Online

Persamaan Diferensial Tak Eksak

PD Tak Eksak merupakan pembahasan kita yang terakhir untuk PD Tingkat 1. Sebelumnya kita telah membahas Persamaan Diferensial Eksak. Jika diberikan PD M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, apabila $\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD tersebut PD Eksak, sedangkan jika $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD Tak Eksak.

PD Tak Eksak seringkali bisa diubah ke PD Eksak dengan menentukan suatu faktor yang tepat yang disebut faktor integrasi atau faktor pengintegralan.

Teorema:
  1. Jika $\frac{1}{N} (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$ adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka $e^{ \int f(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
  2. Jika $\frac{1}{M} (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$ adalah suatu fungsi dari y saja, katakan g(x), maka $e^{ \int g(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
Bukti:

  1. Berdasarkan hipotesis, jika p(x) adalah faktor pengintegralan yang tergantung pada variabel x saja maka $p(x)M(x,y) \ dx + p(x) N(x,y) \ dy =0$ adalah diferensial eksak. Dipunyai syarat perlu $\frac{\partial}{\partial y}(pM)= \frac{\partial}{\partial x}(pN) $ $\Rightarrow $ $p \frac{\partial M}{\partial y} = p \frac{\partial N}{\partial x}+N \frac{\partial p}{\partial x} $ akhirnya diperoleh $\frac{\partial p}{\partial x} = p \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})=p(x)f(x) $ yang mempunyai suatu penyelesaian umum $p(x) = e^{\int f(x) \ dx} $ 
  2. Analog dengan pembuktian 1.
Contoh: Selesaikan PD $(3x^2y + 2xy+y^3) \ dx+ (x^2+y^2) \ dy=0$ !

Jawab: 

$M=3x^2y+2xy+y^3 \Rightarrow M_y=3x^2+2x+3y^2$

$N=x^2+y^2 \Rightarrow N_x=2x$

Karena $\frac{M_y-N_x}{N}=3$ merupakan fungsi x saja, maka $p(x)=e^{\int 3 \ dx}=e^{3x}$ merupakan faktor pengintegralan. Akibatnya, $e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)dx+e^{3x}(x^2+y^2)dy=0$ adalah PD Eksak.

Diambil fungsi diferensialnya adalah u(x,y) dengan
  • $\frac{\partial u}{\partial x} = M_2(x,y) = e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)$
  • $\frac{\partial u}{\partial y} = N_2(x,y) = e^{3x}(x^2+y^2)$
$\begin{align} u(x,y) &= \int N_2(x,y) \ dy \\ &=  \int e^{3x}(x^2+y^2)  \ dy \\ &= e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3}) + k(x) \end{align} $

Dengan memperhatikan kesamaan $\frac{\partial u}{\partial x} = e^{3x}(2xy+3x^2y+y^3)+k'(x)=M_2(x,y) $, maka diperoleh $k'(x)=0 \rightarrow  k(x)=c $. Jadi, solusi umum PD awal adalah $u(x,y)=e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3})=k $

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design