Belajar Matematika Online

Hotel Choices in Las Vegas Las Vegas Vacations allow visitors to explore one of Nevada's most populated cities. Tucked into the beautiful scenery of Clark County, the city is filled with gorgeous nature surroundings. This city is in the middle of the arid Mojave Desert. It is commonly called The Entertainment Capital of the World. This title refers to two important features of this location. Here is where vacationers can find a wide array of entertainment choices. Anything from boxing matches, to concerts take place in the great city. Another of the popular entertainment activities is gaming. In fact, this city is known around the world for being the home of the best casinos in the world. People from every country travel here each year, to participate in the gaming choices here. Black Jack, Roulette, and coin machines are some of the most popular casino attractions. One of the helpful things about this city makes it unique. When planning vacations it is important to note, that most hotels here have on site casinos. There are a large number of luxury hotels and resorts located here. Staying in any of these is an adventure in itself. They provide world-class accommodations. Many of these hotels and resorts have shopping, dining, and gaming opportunities, all under one roof. They understand the importance of providing their guests with a fantastic vacation. For this reason, customer service is this town is splendid. A wonderful hotel choice is the Bellagio. This location is known around the world for its elegant style and quality offerings. The Bellagio has been featured in the movies, as well as, on television. Most people recognize this hotel because of its amazing fountain display. The Fountains at Bellagio stretch the length of a quarter mile, in front of its immense lake. These fountains are best viewed at the nightly music and light show. Tourists from around the world come to witness this great sight. The Bellagio is also known for providing one of the world's most famous casino experiences. Hotels like this one goes beyond guests' expectations in supply awesome vacations. The Las Vegas Hilton is another fine hotel choice for vacationers. This chain is recognized around the world for providing guests with excellent service. The hotel has both rooms and suites to choose from. There are standard and grand hotel rooms. And there are standard and executive suites at this location. The amenities here also make your stay special. You will find fitness services, a spa, tennis courts, a pool, and an on site salon. Everything guests may need or want can be found right here. There are also diverse restaurants to choose from at the Las Vegas Hilton. Guests have a choice of fine or casual dining restaurants. They may even sample many of the choices from the hotel's Quick Eats program. For vacationers who love to shop, they will find some great shops in this location, as well. Choosing the right hotel is paramount when it comes to planning your vacation. Finding those along the Vegas Strip is a good way to be near the action. Some visitors will prefer to be in accommodations which display better views of the mountains near the city. It doesn't matter where you lodge in Las Vegas. You trip here will be outstanding. Las Vegas vacations are one of the most popular destinations in the world. When looking at vacation packages and travel deals to Las Vegas bundle and save your packages for better deals on your vacations. Buying the car, flight, hotel, and activities all at once will increase the savings on your trip. hotel in nevada las vegas treasure island hotel in las vegas nevada w hotel in las vegas nevada hotel in las vegas nevada on the strip hotel las vegas nevada strip plaza hotel in las vegas nevada excalibur hotel in las vegas nevada south point hotel in las vegas nevada southpoint hotel in las vegas nevada westgate hotel in las vegas nevada luxor hotel in las vegas nevada hotel in north las vegas nevada orleans hotel in las vegas nevada hotel rooms in las vegas nevada stratosphere hotel in las vegas nevada rio hotel in las vegas nevada four queens hotel in las vegas nevada the d hotel in las vegas nevada hotel deals in las vegas nevada aria hotel in las vegas nevada marriott hotel in las vegas nevada tropicana hotel in las vegas nevada wynn hotel in las vegas nevada mirage hotel in las vegas nevada monte carlo hotel in las vegas nevada golden nugget hotel in las vegas nevada silverton hotel in las vegas nevada elara hotel in las vegas nevada wyndham hotel in las vegas nevada hooters hotel in las vegas nevada tuscany hotel in las vegas nevada gold coast hotel in las vegas nevada mardi gras hotel in las vegas nevada mgm hotel in las vegas nevada mgm grand hotel in las vegas nevada harrah's hotel in las vegas nevada linq hotel in las vegas nevada hotels in las vegas nevada off the strip grandview hotel in las vegas nevada kid friendly hotel in las vegas nevada planet hollywood hotel in las vegas nevada trump hotel in las vegas nevada westin hotel in las vegas nevada hotel suites in las vegas nevada palazzo hotel in las vegas nevada red rock hotel in las vegas nevada palace station hotel in las vegas nevada new orleans hotel in las vegas nevada palms hotel in las vegas nevada hotel rates in las vegas nevada sls hotel in las vegas nevada d hotel in las vegas nevada best western hotel in las vegas nevada hotels in las vegas nevada near the strip m hotel in las vegas nevada best hotel deals in las vegas nevada el cortez hotel in las vegas nevada hotel reservations in las vegas nevada riviera hotel in las vegas nevada all inclusive hotel in las vegas nevada super 8 hotel in las vegas nevada rio all suites hotel in las vegas nevada la quinta hotel in las vegas nevada sahara hotel in las vegas nevada suncoast hotel in las vegas nevada hotel jobs in las vegas nevada new york hotel in las vegas nevada new hotel in las vegas nevada newest hotel in las vegas nevada lucky dragon hotel in las vegas nevada radisson hotel in las vegas nevada aladdin hotel in las vegas nevada grand hotel in las vegas nevada renaissance hotel in las vegas nevada holiday inn hotel in las vegas nevada sheraton hotel in las vegas nevada hotel galaxy in las vegas nevada aliante hotel in las vegas nevada the hotel in las vegas nevada hotel las vegas nevada luxor encore hotel in las vegas nevada days inn hotel in las vegas nevada downtown grand hotel in las vegas nevada texas hotel in las vegas nevada mandalay hotel in las vegas nevada longhorn hotel in las vegas nevada most expensive hotel in las vegas nevada hotel furniture liquidators in las vegas nevada marriott hotel in las vegas nevada on the strip howard johnson hotel in las vegas nevada delano hotel in las vegas nevada directions to excalibur hotel in las vegas nevada pyramid hotel in las vegas nevada hotel taxes in las vegas nevada stardust hotel in las vegas nevada what's the biggest hotel in las vegas nevada hilton grand hotel in las vegas nevada largest hotel in las vegas nevada loews hotel in las vegas nevada
Mau tanya soal? Kirim ke https://f-math.web.id
Hasil Pencarian di Blog Matematika Ku Bisa
Showing posts with label Kalkulus. Show all posts
Showing posts with label Kalkulus. Show all posts

Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi

Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi
Setelah mempelajari Pra-Kalkulus dengan baik, memudahkan Anda mempelajari materi kalkulus yaitu limit, turunan, dan integral. Kalkulus dibangun dari konsep dasar berupa limit fungsi. Sehingga, pada kesempatan ini, yang akan dipelajari mula-mula adalah Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi dan dilengkapi dengan Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi. Setelah menguasai materi ini, selanjutnya pelajarilah Definisi Limit Secara Formal. Anda bisa membaca tulisan kami yang lain pada blog kami yang lain dengan judul Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi.


Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).

Definisi: Misalkan $ f $ sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real ($ f : R \rightarrow R \, $) dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real. Kita katakan bahwa:

$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ 
jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $.

Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $
Syarat suatu fungsi mempunyai limit di titik tertentu:

Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .

Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .

Contoh: Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak?

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1?

Penyelesaian:
Keterangan fungsi: jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $

Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka f(x) mendekati 1:

$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =1^2= 1$

dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka f(x) mendekati 2:

$ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =1+1=2 $

Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.

Mempelajari definisi limit fungsi, baik secara intuisi maupun seara formal adalah syarat dan dasar memahami materi limit fungsi dan mempelajari teorema-teorema limit. Salah satu teorema yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri adalah teorema substitusi yang akan dibahas berikut ini. 

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi maksudnya adalah  mensubstitusikan/memasukan langsung nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $ tersebut yakni sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ 
Cara substitusi ini bisa dilakukan apabila f(a) memiliki nilai atau dengan kata lain f(x) terdefinisi pada x=a. Apabila tidak memiliki nilai maka cara substitusi ini tidak dapat dilakukan. Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Tentukan nilai limit dari bentuk berikut!
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $

Penyelesaian:

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $.

Coba perhatikan jawaban soal pada bagian a), dengan mensubstitusikan x=2 ke fungsi f(x)=2x+1 diperoleh f(2)=5. Oleh karena itu,  $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $. Perhatikan juga jawaban soal pada bagian b), dengan mensubstitusikan x=-1 ke fungsi $ f(x)= \frac{x^2 + 2}{2x - 1 }$ diperoleh f(-1)=-1. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $. Adapaun apabila f(a) tidak memiliki nilai, caranya telah dijelaskan dalam tulisan lain dalam blog ini. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.

Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi

Setelah mahir Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan Fungsi baik untuk fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Sekarang pada tulisan ini, akan diberikan Rumus Dasar Turunan Fungsi yang akan digunakan untuk Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi.

Berikut ini daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi:

1). $ y = c \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ c \, $ adalah konstanta. Jadi, setiap kostanta turunannya adalah nol.

2). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimana $ n \, $ adalah bilangan real.

3). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $

4). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $

5). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.

6). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $

7). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

Contoh-contoh soalnya sebagai berikut.

1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $

Penyelesaian :

a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar 2) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \\ \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} \\ = (-2). 5. x^{(-2) - 1} \\ = -10x^{-3} = \\ \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \\ \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} \\ = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} \\ = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $

2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $

Penyelesaian :

Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar 3. Rumus dasar 3 itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $

Penyelesaian :

Kita gunakan rumus dasar 4. Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar 3 dan 2.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $

4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?

Penyelesaian :
Kita gunakan rumus dasar 5).

Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

Demikianlah Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi, semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi yang sedang membutuhkannya.

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan - Matematika Ku Bisa - Turunan fungsi $f(x)\,$ di $x=a\,$ dinotasikan dengan $f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.

atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ". Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit di atas bisa juga ditulis:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $

Notasi Turunan

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya.

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum

Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".

Contoh Soal:
Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut:
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $

Penyelesaian: (Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $)

a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
¤ Ingat bentuk:
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Sehingga:
$ \begin{align} f(x+h) & = \sin (x + h) \\ & = \sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $

¤ Rumus:
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga :
$ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $.

¤Bentuk :
$ \begin{align} \cos h - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h \end{align} $

¤ Menentukan penyelesaiannya:
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h - \sin x ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) \\ & + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $

Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Demikianlah cara Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi pembaca sekalian.

Contoh Soal Integral Parsial

Integral parsial digunakan apabila integral subsitusi tidak bisa digunakan. Integral parsial dirumuskan sebagai:





Contoh Soal:


Penyelesaian:

Kita ambil x sebagai U yaitu U=x maka du=dx

Otomatis Cos (x) dx sebagai dv atau dv = cos (x) dx maka v=sin (x)

Jadi





=x Sin(x) + Cos(x) + C

Cara Mudah dan Cepat Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Ada Cara yang Cepat Menyelesaiakan Soal Limit Fungsi menggunakan Aturan L' Hopital atau Teorema L'Hopital dan tentunya mempunyai syarat penggunaan. Rumus Cepat Menyelesaikan Soal Limit yang satu ini sangat bermanfaat bagi para siswa yang akan melaksanakan Ujian Sekolah atau Ujian Nasional. Terkecuali bagi Mahasiswa Pendidikan Matematika, Teorema L'Hopital dipelajari dan dibuktikan kebenaraannya dalam Materi Kalkulus Jilid 2 (Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar).

Pada Matematika SMA konsep tentang Limit mencakup limit fungsi di satu titik, limit fungi di titik 0, dan limit fungsi di tak hingga dengan fungsinya aljabar dan trigonometri.

Untuk menyelesaikan soal-soal Limit tersebut, pada umumnya dilakukan dengan cara Subsitusi. Jika hasil yang diperoleh berupa bilangan tertentu maka itulah hasil dari soal tersebut.

Contoh : Limit dari fungsi f(x)=2x-1 untuk x mendekati 2 ditulis dengan cara Subsitusi adalah


Subsitusi x=2 pada f(x) yaitu f(2)=2(2)-1=3

Jika hasil subsitusi mendapatkan suatu bentuk Tak-Tentu seperti

(nol per nol)
(tak-hingga per tak-hingga)
(tak-hingga dikurang tak-hingga)
dan bentuk tak-tentu lainnya maka dapat dilakukan dengan salah satu cara berikut ini.

1. Memfaktorkan
2. Mengalikan dengan Sekawan
3. Menurunkan (Aturan L'Hopital)

1. Memfaktorkan

Contoh:
dibaca "Limit fungsi dari f(x)= untuk x mendekati 2" adalah....
Penyelesaian:
Jika kita menggunakan cara subsitusi maka hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0. Selesaikan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu yaitu:
=(x+2)(x-2) sehingga
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 -4}{x-2}$
$=\lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$
$=\lim_{x \rightarrow 2} x+2$
$=(2)+2=4$
Jadi limit fungsi dari f(x)= untuk x mendekati 2 adalah 4.

2. Mengalikan dengan Sekawan

Contoh: Limit fungsi dari f(x)= untuk x mendekati 1 adalah...
Penyelesaian:
Jika dilakukan dengan Subsitusi maka mendapatkan hasil 0/0.
Jadi dilakukan dengan cara mengalikan Penyebut dengan sekawannya.

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$
$=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \times \frac{\sqrt{x} +1}{\sqrt{x} +1}$
$=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x} +1)}{x-1}$
$=\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x} +1$ $=\sqrt{(1)} +1$ $=1+1=2$

jadi, jawaban soal limit di atas adalah 2

3. Dengan Menggunakan Aturan L'Hopital

Kita ambil saja contoh 1 di atas. Karena hasil subsitusi merupakan bentuk tak tentu jenis 0/0 maka cara menyelesaikannya yaitu menurunkannya terlebih dahulu, menurunkan pembilannya dan penyebutnya.



jadi jawaban untuk limit fungsi dari f(x)=2x untuk x mendekati 2 adalah f(2)=2(2)=4 (soal no.1 dengan cara aturan L'Hopital)

Gimana udah mengerti Cara Mudah Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri ?

Integral Subsitusi Versi 2

Assalamu'alaikum pecinta Matematika Ku Bisa Blog :D



Kali ini saya akan membahas bagaimana menyelesaikan soal-soal integral fungsi t menggunakan Integral Subsitusi sederhana berikut ini. Pada pembahasan sebelumnya, saya telah membahas bagaimana menyelesaikan soal-soal integral fungsi trigonometri versi 1 dengan judul artikel Penyelesaian Soal Integral Trigonometri Dengan Metode Substitusi . Jadi tolong dibaca terlebih dahulu agar pembahasan ini dapat dimengerti oleh Pecinta Kalkulus sekalian. Oke langsung saja, judul artikel kali ini adalah Integral Subsitusi  Versi 2.

Integral Subsitusi Versi 2

Jika kita membuat subsitusi x=g(x), kemudian di diferensialkan menjadi dx=g’(x) du, dan misalkan soalnya adalah ∫ f(x)dx , dengan f(x) suatu fungsi aljabar atau trigonometri dll. Maka berdasarkan pemisalan yang ada,

 maka:
 ∫ f(x)dx= ∫f[g(u) ] g^' (u)du.
Contoh: Selesaikan ∫ x√(x+1 )dx

Penyelesaian:

Jika kita membuat subsitusi u=√(x+1) , x=u^2-1, maka dx=2u du

 Jadi, ∫x√(x+1 ) dx

=∫(u^2-1)2u^2 du

=∫2u^4 du-∫2u^2 du

=2/5 u^5-2/3 u^3+k

=2/5 (x+1)^(5/2 ) -2/3 (x+1)^(3/2)+k


Keterangan: ^=pangkat

Seperti itu cara menyelesaikan Integral Subsitusi  Versi 2 jika versi 1 tidak bisa dilakukan.

SEMOGA BERMANFAAT

Turunan Berantai dalam Notasi Leibniz

Turunan Berantai dalam Notasi Leibniz memang sangat mudah untuk dipahami ketimbang harus menggunakan notasi f'(x) , y', atau Dx. Tahu gak apa artinya notasi-notasi ini?

f'(x) : Turunan pertama fungsi f(x) terhadap x
y' : Pada umumnya diartikan sebagai "Turunan y terhadap x". Kekurangan menggunakan notasi ini karena kurang jelas apakah y diturunkan terhadap x atau terhadap u.
Dx : Artinya Turunan terhadap x, misalnya Dx[z] artinya turunan Z terhadap x. Du[y] artinya turunan y terhadap U. Penggunaan notasi ini lebih baik dari pada f'(x) atau y' (dibaca y aksen).

Contoh Soal:
Jika carilah Dx[y]
Penyelesaian:

Kita misalkan maka Dx[U]=4x-4. Setelah kita misalkan tadi persamaannya menjadi maka
Jadi,


Lalu bagaimana Turunan Berantai dalam Notasi Leibniz untuk menyelesaikan soal di atas ? Untuk menyelesaikan soal di atas dengan menggunakan notasi Leibniz untuk turunan, terlebih dahulu kita harus mengerti arti dari:
: Turunan pertama y terhadap x
d[f(x)]/dx : Turunan pertama fungsi f(x) terhadap x
dy/du : Turunan pertama y terhadap u
Setelah anda faham hal tersebut selanjutnya mari kita lihat penggunaannya dalam menyelesaikan Turunan Berantai dalam Notasi Leibniz tadi sbb:

Misal : dan du/dx=4x-4
Maka :
Jadi:


Lebih mudah untuk dipahami karena Demikian Untuk Turunan Berantai dalam Notasi Leibniz
Sumber: Kalkulus Purcell Edisi 8 Jilid 1

Penyelesaian Soal Integral Trigonometri Dengan Metode Substitusi

Penyelesaian Soal Integral Trigonometri Dengan Metode Substitusi

Integral merupakan bagian dari bahasan Kalkulus-Matematika. Definisi Integral diperoleh dari konsep Anti-Turunan yang kemudian dari definisi tersebut diturunkan Teorema-Teorema Anti-Turunan atau Teorema Dasar Integral misalnya Aturan Pangkat, dll. seperti yang kita bahas dalam tulisan ini, Integral Subsitusi digunakan pada integral fungsi yang terdiri dari 2 (dua) fungsi misalkan f(x) dan g(x) yang saling diperkalikan dengan syarat salah satu fungsi adalah turunan dari fungsi yang lainnya. Teorema Integral Subsitusi ini maupun Teorema lainnya perluh untuk dibuktikan yang telah dibahas pada tulisan Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus. Integral Subsitusi terdiri dari 2 (dua) Versi yaitu Subsitusi versi 1 dan Integral Subsitusi Versi-2

 Subsitusi versi 1

Jika kita membuat subsitusi untuk u=g(x) maka du=g’(x) dx. Artinya fungsi dari x digantikan dengan peubah yaitu U.

Contoh soal : ∫ sin 3x cos 3x dx

Penyelesaian:

U = sin 3x berarti kita memilih g(x)=sin 3x. Kemudian U kita turunkan dan diperoleh seperti dibawah.

 ∫ sin 3x cos 3x dx

Missal: U=sin 3x
Maka: du=3 cos3x dx

Sekarang kita masukkan “U” dan “dx” ke dalam soalnya atau dengan kata lain mengganti semua peubah x ke peubah u.Yaitu:

= ∫ sin 3x cos 3x dx
=1/3 ∫ sin 3x.3cos3x dx
=1/3 ∫ U.du                Nah, sudah didapatkan integral dalam bentuk U dan sekarang tinggal kita integralkan.
 = ∫ U du
=
Hampir selesai sekarang, tinggal mengganti U dengan sin 3x ( ingat U = sin 3x, permisalan kita di awal).
=


Selesai sampai disini dulu sebagai latihan kerjakan soal di bawah ini:

math websites for elementary students online math tutor i need help with my math homework math tutor elementary math websites cool math i need to solve a math problem interactive math websites for elementary students math websites for all grades math games online for adults best math help websites math games com go math login math tutor website top math websites for elementary students online math sites for elementary coolmath3 cool math games puzzles and more cool math website think through math coolmath com https cool math help math program online math software cpm math mths website all levels of math
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design