Belajar Matematika Online

IXL Math On IXL, math is more than just numbers. With unlimited questions, engaging item types, and real-world scenarios, IXL helps learners experience math at its most mesmerizing! Pre-K skills Represent numbers - up to 5 Inside and outside Classify shapes by color Long and short Wide and narrow See all 77 pre-K skills Kindergarten skills Fewer, more, and same Read clocks and write times Seasons Count money - pennies through dimes Shapes of everyday objects I See all 182 kindergarten skills First-grade skills Counting tens and ones - up to 99 Hundred chart Subtraction facts - numbers up to 10 Read a thermometer Measure using an inch ruler See all 210 first-grade skills Second-grade skills Counting patterns - up to 1,000 Greatest and least - word problems - up to 1,000 Compare clocks Create pictographs II Which customary unit of volume is appropriate? See all 287 second-grade skills Third-grade skills Convert between standard and expanded form Count equal groups Estimate sums Show fractions: area models Find equivalent fractions using area models See all 384 third-grade skills Fourth-grade skills Addition: fill in the missing digits Divide larger numbers by 1-digit numbers: complete the table Objects on a coordinate plane Circle graphs Place values in decimal numbers See all 340 fourth-grade skills Fifth-grade skills Least common multiple Multiply fractions by whole numbers: word problems Sale prices Find start and end times: word problems Parts of a circle See all 347 fifth-grade skills Sixth-grade skills Compare temperatures above and below zero Which is the better coupon? Evaluate variable expressions with whole numbers Classify quadrilaterals Create double bar graphs See all 321 sixth-grade skills Seventh-grade skills Solve percent equations Arithmetic sequences Evaluate multi-variable expressions Identify linear and nonlinear functions Pythagorean theorem: word problems See all 289 seventh-grade skills Eighth-grade skills Write variable expressions for arithmetic sequences Add and subtract polynomials using algebra tiles Add polynomials to find perimeter Multiply and divide monomials Scatter plots See all 317 eighth-grade skills Algebra 1 skills Write and solve inverse variation equations Write an equation for a parallel or perpendicular line Solve a system of equations by graphing Solve a system of equations using substitution Rational functions: asymptotes and excluded values See all 309 Algebra 1 skills Geometry skills Triangle Angle-Sum Theorem Proving a quadrilateral is a parallelogram Properties of kites Similarity of circles Perimeter of polygons with an inscribed circle See all 221 Geometry skills Algebra 2 skills Multiply complex numbers Product property of logarithms Find the vertex of a parabola Write equations of ellipses in standard form from graphs Reference angles See all 322 Algebra 2 skills Precalculus skills Identify inverse functions Graph sine functions Convert complex numbers between rectangular and polar form Find probabilities using two-way frequency tables Use normal distributions to approximate binomial distributions See all 261 Precalculus skills Calculus skills Find limits using the division law Determine end behavior of polynomial and rational functions Determine continuity on an interval using graphs Find derivatives of polynomials Find derivatives using the chain rule I See all 97 Calculus skills Mathematics is a persistent source of difficulty and frustration for students of all ages. Elementary students spend years trying to master arithmetic. Teens struggle with the shift to algebra and its use of variables. High-school students must face diverse challenges like geometry, more advanced algebra, and calculus. Even parents experience frustration as they struggle to recall and apply concepts they had mastered as young adults, rendering them incapable of providing math help for their children. Whether you need top Math tutors in Boston, Math tutors in Detroit, or top Math tutors in Dallas Fort Worth, working with a pro may take your studies to the next level. The truth is, everyone struggles with math at one time or another. Students, especially at the high-school level, have to balance challenging coursework with the demands of other courses and extracurricular activities. Illness and school absences can leave gaps in a student’s instruction that lead to confusion as more advanced material is presented. Certain concepts that are notoriously difficult to master, such as fractions and the basics of algebra, persist throughout high school courses, and if not mastered upon introduction, can hinder a student’s ability to learn new concepts in later courses. Even students confident in their math skills eventually find a course or concept incomprehensible as they reach advanced math classes. In other words, no matter what your age or ability, everyone eventually needs help with math. Varsity Tutors offers resources like free Math Diagnostic Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider a Math tutor. Varsity Tutors is happy to offer free practice tests for all levels of math education. Students can take any one of hundreds of our tests that range from basic arithmetic to calculus. These tests are conveniently organized by course name (e.g. Algebra 1, Geometry, etc.) and concept (e.g. “How to graph a function”). Students can select specific concepts with which they are struggling or concepts that they are trying to master. Students can even use these concept-based practice tests to identify areas in which they may not have realized they were struggling. For instance, if a student is struggling with his or her Algebra 1 course, he or she can take practice tests based on broad algebra concepts such as equations and graphing and continue to practice in more specific subcategories of these concepts. In this way, students can more clearly differentiate between those areas that they fully understand and those that could use additional practice. Better yet, each question comes with a full written explanation. This allows students to not only see what they did wrong, but provides the student with step-by-step instructions on how to solve each problem. In addition to the Math Practice Tests and Math tutoring, you may also want to consider taking some of our Math Flashcards. Varsity Tutors’ Learning Tools also offer dozens of Full-Length Math Practice Tests. The longer format of the complete practice tests can help students track and work on their problem-solving pace and endurance. Just as on the results pages for the concept-specific practice tests, the results for these longer tests also include a variety of scoring metrics, detailed explanations of the correct answers, and links to more practice available through other Learning Tools. These free online Practice Tests can assist any student in creating a personalized mathematics review plan, too, as the results show which of the concepts they already understand and which concepts may need additional review. After reviewing the skills that need work, students can take another Full-Length Math Practice Test to check their progress and further refine their study plan. Once a student creates a Learning Tools account, they can also track their progress on all of their tests. Students can view their improvement as they begin getting more difficult questions correct or move on to more advanced concepts. They can also share their results with tutors and parents, or even their math teacher. Create a Varsity Tutors Learning Tools account today, and get started on a path to better understanding math!
Mau EBOOK "MATEMATIKA KU BISA"? KLIK DI SINI!
Hasil Pencarian di Blog Matematika Ku Bisa
Showing posts with label Matematika SMA. Show all posts
Showing posts with label Matematika SMA. Show all posts

Cara Mudah Belajar Matematika dari Dasar

Cara Mudah Belajar Matematika dari Dasar
Mencari cara mudah belajar matematika  dari dasar tentunya menjadi hal yang ingin diketahui banyak orang yang kesulitan dalam belajar matematika baik pada matematika dasar maupun lanjut.

Mengapa Matematika Sulit Dipelajari?

Banyak faktor penyebab matematika sulit dipelajari. Mungkin masing-masing orang memiliki kesulitan tersendiri. Meskipun banyak tersedia konten belajar matematika seperti ebook, buku, video, dsb., tetap saja, ada sebagian orang yang kesulitan dalam mengikuti pembelajaran tersebut. Padahal, bagi orang lain cara mengajar atau cara menjelaskan sang tutor tersebut sangat mudah untuk dipahami.

Tetapi, mengapa orang lain kesulitan?

Sekali lagi, masing-masing memiliki kesulitan tersendiri, pengetahuan, kemampuan,  dan pengalaman belajar yang berbeda-beda. Semakin banyak pengetahuan matematika seseorang maka semakin baik ia dalam belajar materi matematika yang baru. Begitu juga dengan  memiliki kemampuan yang lebih daripada biasanya dan pengalaman yang banyak.


Belajar matematika seperti sedang berlari. Dimulai dari start awalnya yaitu dari dasar. Apa yang awal kita pelajari dari matematika, tidak lain mengenal bilangan dan operasinya. Kalian harus betul-betul memahami bilangan sehingga mampu membedakan suatu anggota dari himpunan bilangan, serta mampu melakukan berbagai operasi dasar pada bilangan tersebut. Ini yang menjadi awal dalam belajar matematika dasar. Jika kalian telah menguasai ini, maka insya Allah akan  lebih mudah kelanjutannya.

Sebuah ebook tentang bagaimana kita Belajar Matematika dari Dasar. Karena menurut kami, inilah cara mudah belajar matematika karena matematika ibarat suatu bangunan yang memiliki sebuah dasar dimana semakin kokoh dasar sebuah bangunan maka bangunannya akan mampu berdiri dengan tegak dan tinggi. Dalam ebook tersebut, Anda akan:
  1. Belajar tentang bilangan dan himpunannya.✔
  2. Belajar penguasaan operasi dasar di berbagai bilangan.✔
  3. Belajar cara mengerjakan soal-soal matematika berdasarkan materi-materi terpilih yang ada dalam materi matematika SD sampai SMA.✔
  4. Belajar cara membuktikan teorema dalam matematika baik secara langsung ataupun tidak langsung dengan kaidah inferensial.✔
  5. Belajar sekilas pengantar landasan matematika berupa logika matematika, himpunan, serta relasi dan fungsi.✔

Ekspansi Kofaktor dan Determinan Matriks

Minor dan Kofaktor Matriks telah dibahas pada artikel sebelumnya dan kalian boleh baca-baca dulu sebentar agar materi ini bisa dimengerti. Setelah kalian sudah cukup memahaminya, barulah kalian bisa melanjutkan bacaan ini. Seperti yang kita alami saat menghitung determinan ordo 3x3 tidak semudah determinan ordo 2x2. Kita biasanya menggunakan Aturan Sarus dalam menentukan determinan ordo 3x3. Kali ini kita coba gunakan Eksfansi Kofaktor. Kita mulai dari menuliskan definisinya.

Definisi:
Misalkan $A_{nxn}=[a_{ij}]$, determinan dari matriks $A$ didefinisikan sebagai:

$det (A)=|A|=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}$
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

$det (A)=|A|=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+...+a_{nj}C_{nj}$
(ekspansi kofaktor sepanjang kolomke-j)

Kasus 3x3
Misalkan:
$A=\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$
maka: (Ekspansi Kofaktor Sepanjang Kolom ke-1)
$|A|=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}$
$|A|=a(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}+d(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix}+g(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}$ $|A|=a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}-d \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix}+g \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix}$

Contoh Soal: Carilah determinan dari matriks berikut dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-1!

$A=\begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
Solved:
$|A|=2 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}-0 \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}+(-5)\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$
$|A|=2(5-18)-0(-3-12)+(-5)(-18-20)$
$|A|=2(-13)-0(-15)+(-5)(-38)$
$|A|=-26+190$
$|A|=164$

Latihan: Cari determinan matriks dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-1 untuk matriks yang sama di atas!

Minor dan Kofaktor Matriks

Definisi Matriks dan Kesamaan Dua Matriks merupakan materi prasyarat yang wajib dibaca untuk dapat memahami penjelasan mengenai materi Minor dan Kofaktor dari sebuah matriks yang diketahui. Dengan menguasai materi ini, diharapkan kalian dapat menggunakan dengan lancar dalam menentukan determinan matriks berordo 3x3 dengan cara ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom tertentu.

Definisi Minor dan Kofaktor
Misalkan $A_{nxn}=[a_{ij}]$, maka:

1. Minor dari $a_{ij}$ yang dilambangkan oleh $M_{ij}$ adalah determinan dari submatriks A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2. Kofaktor $a_{ij}$, yang dilambangkan oleh $C_{ij}$ adalah $(-1)^{i+j}.M_{ij}$.


Contoh Soal: Carilah minor dan kofaktor dari dari entri $a_{11}$ dan $a_{32}$ dari matriks A dibawah!

$A= \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 4 & 5 & 4 \\ \end{bmatrix}$

Solved:
$M_{11}=\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 5 & 4 \\ \end{vmatrix}=-1.(-4)-(-2.5)=14$

$M_{32}=\begin{vmatrix}
2 & 1 \\ 0 & -2 \\ \end{vmatrix}=2.(-2)-(1.0)=-4$

$C_{11}=(-1)^{1+1}.M_{11}=M_{11}=14$

$C_{32}=(-1)^{3+2}.M_{32}=-M_{32}=-(-4)=4$


Latihan: Cari Minor dan kofaktor dari entri $a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{33}$ !

$A=\begin{bmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & -1 & -2 \\
4 & 5 & 4 \\
\end{bmatrix}$

Soal Persamaan Kuadrat SNMPTN/SIMAK UI/UM UGM

Soal SPMB/SNMPTN/MatDas

1. Persamaan kuadrat x² - ax + a + 1 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Jika x₁ - x₂ = 1 maka nilai a = ...

A. -5 atau 1
B. 5 atau -1
C. 5 atau 1
D. -5 atau -1
E. ⅕ atau 1


Soal SNMPTN/MatDas

2. Persamaan (x² - 3x + 3)/(x-2) = p mempunyai akar real sama, maka nilai p sama dengan ...

A. -3 atau 1
B. -1 atau 3
C. 1 atau 3
D. 1 atau -2
E. -2 atau 3



Soal UM UGM

3. Jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar dari persamaan 3²ˣ + 3³⁻²ˣ - 28 = 0 maka jumlah kedua akar itu sama dengan ...

A. 0
B. 1
C. ³/₂
D. 3
E. ⁹log 28


Soal SIMAK UI

4. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² - 3x +
n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x² + x - n =
0. Maka nilai n adalah ...
A. -10
B. -6
C. 8
D. 10
E. 12



Soal SNMPTN

5. Jika α dan β adalah solusi persamaan
√(1 + 4x) - √(2x) = 1 maka α + β = ...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5 



Soal UM UGM/SIMAK UI

6. Garis y = 2x + k memotong parabola y = x² - x + 3 dititik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂). Jika x₁² + x₂² = 7 maka nilai k = ...

A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3



7. x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x² - 5x + 2p = 0.
Jika x₁, x₁x₂, x₂ suatu deret geometri, maka nilai dari x₁x₂³ + x₂x₁³
adalah ...
A. 4
B. 4⅛
C. 4¼
D. 5
E. 5¼

  

Thanks For:

Muhammad Yusuf

Rumus Suku Ke-n dan Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika dan Geometri

1. Pengertian Barisan
Barisan adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.

Penggolongan Barisan
Barisan berdasarkan Jumlah suku yang membentuknya, dapat dibedakan menjadi :
1. Baris berhingga
2. Baris tak berhingga.
Berdasarkan Pola perubahannya, barisan dapat dibedakan menjadi
1. Barisan Aritmatika (Hitung)
2. Barisan Geometri (Ukur)
3. Baris Harmoni

2. Barisan Aritmatika (Hitung)
Barisan Aritmatika (Hitung) yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya.
Contoh :

U1(suku ke-1)=4
U2(suku ke-2)=4+2=6
U3(suku ke-3)=6+2=8
U4(suku ke-4)=8+2=10
. . .
+2
Dari contoh barisan ini, kita misalkan a=4 dan b=2. Kita dapat menuliskan kembali contoh di atas dengan:
U1=a
U2=a+b
U3=a+b+b=a+2b
U4=a+b+b+b=a+3b
...
U8=a+(8-1)b=a+7b
...
Un=a+(n-1)b
Diperoleh Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika (Hitung) yaitu:
Un=a+(n–1) b
Dimana a= suku pertama, b= pembeda dan Un=suku ke-n

UN SMP/Mts 2014:
Diberikan suku ke-6 dan suku ke-9 masing-masing sebesar 17 dan 26. Carilah suku-10 dari barisan aritmatika tersebut!
Penyelesaian:
Un=a+(n–1)b
U6=a+5b=17
U9=a+8b=26
Dit: U10=a+9b=....??? Cari nilai a dan b .

a+5b=17
a+8b=26 -
(a-a)+(5b-8b)=17-26
<=>-3b=-9
<=> b = 3
Untuk b=3 diperoleh a=2. Jadi U10 =a+9b=(2)+9(3)=29

3. Deret Aritmatika (Hitung)
Baris hitung: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Deret hitung: 2, 6, 12, 20, 30, ...

D1=U1= 2,
D2=U1+U2=2+4=6,
D3=U1+U2+U3= 2 + 4 + 6 = 12
D4=U1+U2+U3= 2 + 4 + 6 + 8 = 20
...
Dn=U1 + U2 + U3 + U4 + ... + + Un

Dengan Dn=( a + Un)
atau Dn= { 2a + ( n – 1 ) b}

UN SMP/Mts 2014 :
Sebuah baris hitung mempunyai suku-3 yang bernilai 18. Suku ke-7 nya 38. Berapakah Jumlah 24 suku pertamanya ?
Penyelesaian:
U3= a + 2b =18
U7= a + 6b = 38
D24= {2a + (n-1)b}=...???
Cari a dan Un !
a + 2b = 18
a + 6b = 38 -

-4b = -20
b=5
Untuk b=5 diperoleh a=8.
Jadi. Dn={ 2a + (n-1) b}
D24={2.8 + 23.5}
D24=12 (16+115)=12 (131)=1572
= 140 + 45 = 185

4. Barisan Geometri (Ukur)
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya.
Contoh :
2, 6, 18, 54, ... Un
U1(suku ke-1)= 2
U2(suku ke-2)= 6
U3(suku ke-3) = 18
U4(suku ke-5) = 54
...
Un

Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3.
Jika kita misalkan a=2 dan r=3 penulisan contoh di atas menjadi:

U1=a= 2
U2=ar= 2.3 = 6
U3=arr= 2.3.3= 18
U4=arrr= 2.3.3.3= 54
...


5. Deret Geometri (Ukur)
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ...
Deret Ukur : 2, 8, 26, 80, 242, ...

D1= 2
D2= 2 + 6 = 8
D3= 2 + 6 + 18 = 26
...
Dn

Dn Dapat dirumuskan: dengan r>1.

Jika r < 1 maka

Contoh Soal:
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
Penyelesaian:
a=20, r=2
.
Karena r=2 >1 maka

Geometri

1. Arti Kata Geometri

Geometri berasal dari bahasa Yunani Kuno: γεωμετρία, "geo-" yang artinya bumi, dan "-metron" yang artinya pengukuran. Sehingga berdasarkan asal katanya geometri ialah ilmu ukur bumi. Seorang ahli matematika yang bekerja di bidang geometri disebut ahli ilmu ukur.

2. Perkembangan Ilmu Geometri

Geometri merupakan cabang matematika yang berkaitan dengan bentuk, ukuran, posisi dan sifat ruang (Wikepedia). Pada mulanya Geometri muncul sebagai ilmu yang berdiri sendiri tanpa ikut campur ilmu lain. Munculnya ilmu geometri sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas, dan volume, karena pada saat itu manusia dituntut haruslah dapat melakukan ilmu ukur pada tanah-tanah mereka misalnya dalam kegunaan pertanian. Geometri dirintis pertama kali di Yunani oleh Thales (abad 6 SM). Dialah yang pertama menggunakan metode deduktif untuk membuktikan kebenaran pernyataan-pernyataan dalam geometri. Pada abad ke-3 SM oleh Euclides, Geometri dibangun berdasarkan seperangkat definisi, aksioma, dan pengertian-pengertian umum. Geometri Euclides sampai sekarang masih dipakai dan diajarkan, baik di sekolah maupun di perguruan tinggi. Contohnya segitiga dan segiempat.

3. Perkembangan Geometri dengan Ilmu Lain

Archimedes mengembangkan teknik cerdik untuk menghitung luas dan volume, dalam banyak cara mengantisipasi kalkulus integral yang modern. Pada Bidang astronomi, terutama pada pemetaan posisi bintang dan planet serta menggambarkan hubungan antara gerakan benda langit.

René Descartes memperkenalkan sistem koordinat Cartesius dan Aljabar yang semakin berkembang yang pertama kali ditemukan oleh Alkhwarizmi menandai tahap baru untuk geometri sehingga geometri dapat dinyatakan secara analitis dengan fungsi dan persamaan. Analitis geometri pada tingkat universitas itu dikenal dengan Geometri Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang. Hal ini memainkan peran penting dalam munculnya Kalkulus di abad ke-17.

Selanjutnya, teori perspektif menunjukkan bahwa ada lebih banyak geometri dari sekedar sifat metrik angka: perspektif adalah asal geometri proyektif. Subyek geometri selanjutnya diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dari Euler dan Gauss sehingga menyebabkan munculnya topologi dan geometri diferensial.

Sejak penemuan abad ke-19 geometri non-Euclid, konsep ruang telah mengalami transformasi radikal, dan muncul pertanyaan: mana ruang geometris paling sesuai dengan ruang fisik? Dengan meningkatnya matematika formal dalam abad ke-20, ruang, titik, garis, dan bidang kehilangan isi intuitif, jadi hari ini kita harus membedakan antara ruang fisik, ruang geometris dan ruang abstrak.

Geometri modern memiliki ikatan yang kuat dengan beberapa fisika, dicontohkan oleh hubungan antara geometri pseudo-Riemann dan relativitas umum. Salah satu teori fisika termuda, teori string, juga sangat geometris dalam rasa. Sedangkan sifat visual geometri awalnya membuatnya lebih mudah diakses daripada bagian lain dari matematika, seperti aljabar atau Teori Bilangan, bahasa geometrik juga digunakan dalam konteks yang jauh dari tradisional, asal Euclidean-nya misalnya, dalam Geometri Fraktal dan Geometri Aljabar.

Rujukan:

  1. Wikepedia
  2. Susilo, Frans. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Definisi Matriks dan Kesamaan Dua Matriks

Kegunaan Matriks

Matriks merupakan bahasan dari Aljabar Linear yang materinya diperoleh secara mendalam pada saat kita menempuh pendidikan matematika universitas. Aljabar Linear merupakan bidang aljabar yang khusus membahas persamaan Linear dan cara menyelesaikannya. Matriks mulai dipelajari pada Matematika SMA kelas XI. Pada Matematika SMP pemecahan persamaan linear hanya melibatkan satu dan dua variabel dengan cara subsitusi dan eliminasi sehingga materi matriks tidak diajarkan. Sedangkan pada matematika SMA pemecahan persamaan linear sudah melibatkan 3 variabel yang tidak mudah diselesaikan dengan metode subsitusi-eliminasi. Olehnya itu diperkenalkan Konsep Matriks sebagai landasan kita dalam menyelesaikan persamaan linear bahkan dengan n variabel sekalipun. Apakah yang dimaksud dengan matriks ?

Definisi Matriks

Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan atau fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom serta diapit oleh kurung siku. Udah tahu kan? Bilangan atau fungsi tersebut dinamakan entri atau elemen dari matriks. Dalam penulisan, kita menggunakan huruf besar untuk melambangkan sebuah matriks sedangkan entri (elemen) matriks kita menggunakan huruf kecil.

Contoh:


Elemen matriks adalah suatu elemen yang berupa bilangan atau fungsi.




Pada matriks B elemen matriksnya berupa bilangan real sedangkan matriks C mempunyai elemen yang berupa fungsi.

Ordo

Dalam matriks ukuran matriks disebut dengan ordo yaitu banyak baris X banyak kolom (tanda X bukan menyatakan perkalian, tetapi hanya sebagai tanda pemisah).

Contoh:

Pada contoh tersebut Matriks A berordo 2 X 3 yang artinya banyaknya baris ada 2 dan banyaknya kolom ada 3.

Bentuk Umum Matriks

Secara umum sebuah matriks A berordo m X n dapat ditulis :



atau penulisan yang lebih singkat: dengan i=1, 2, ... , m dan j=1, 2, ... , n. Indeks pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j

Apakah Artikel ini bermanfaat ?

Kesamaan Dua Himpunan

Misal dua matriks A dan B dikatakan sama jika:
1. Mempunyai ordo sama. 2. Entri-entri yang bersesuaian atau seletak sama.
Contoh:



Matrik A=B yaitu:

Contoh Soal:
1. Diketahui dan Tentukan nilai x dan y jika P = Q !

JAWAB:

x-1=5
<=> x=5+1
<=> x=6


12=2y
<=> 2y=12
<=> y=12/2
<=> y=6 
 
Jadi diperoleh $x=6$ dan $y=6$.

Sifat-Sifat Perpangkatan Bilangan

Bilangan pangkat didefinisikan sebagai dengan a disebut bilangan pokok atau basis dari bilangan berpangkat dan n disebut pangkat atau eksponen.
Contoh: dll.


Sifat-SifatPerpangkatan Bilangan


Misalkan a dan b sebarang Himpunan Bilangan Real dan n suatu Bilangan Bulat maka berlaku:

$1) a^m + a^n =a^{m+n}$



Contoh Penerapan:

$1) 3^3 \times 3^2 =3^{3+2} =3^5$



Selain dengan sifat-sifat perpangkatan di atas dikenal pula Sifat-Sifat Operasi Dasar Matematika yang harus dipelajari oleh siswa SMP. Demikian sampai disitulah bahasan dalam mempelejari materi Bilangan Bulat. Semoga pembahasan materi rangkuman ini dapat bermanfaat buat adik-adik sekalian.

Cara Cepat Menyelesaikan SPL Dua Variabel

Cara Cepat Menyelesaikan SPL Dua Variabel
Cara cepat menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel? Ada yang tahu nggak? Kalau belum silahkan disimak sampai akhir! Sebelumnya ada cara cepat yang penting juga untuk diketahui adik-adik semua yaitu Cara Mudah dan Cepat Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

SPL Dua Variabel merupakan bahasan Aljabar-Matematika yang telah kalian pelajari baik pada Matematika SMP maupun Matematika SMA. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel antara lain:
  1. Penyelesaian SPL dengan Metode Subsitusi
  2. Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi
  3. Penyelesaian SPL dengan Metode Grafik
  4. Penyelesaian SPL dengan Matriks
  5. Penyelesaian SPL dengan Eliminasi Gauss
  6. Penyelesaian SPL dengan Aturan Cramer
Cara Cepat Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Misalkan SPL-nya:
$ax+by=c$  ...... (i)
$px+qy=r$  ...... (ii)

Maka HP-nya adalah (x,y)
dengan:





Contoh: Misalkan diberikan SPL:
2x+6y=12 ...... (i)
4x+4y=16 ...... (ii)

Maka Himpunan Penyelesaiannya adalah :
x=

y=

Jadi Himpunan Penyelesaiannya={(3,1)}


Pembuktian: x=3 dan y=1 masukkan pada persamaan yang ada sbb:

Pers. (i)
2x+6y=12
2(3)+6(1)=12
6+6=12 (benar)

Pers. (ii)
4x+4y=16
4(3)+4(1)=16
12+4=16 (benar)

Demikian untuk Cara Cepat Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.

Cara Menentukan Gradien dan Persamaan Garis

Gradien (m) menyatakan kemiringan suatu garis terhadap garis horisontal. Misalkan, bayangkan sebuah tangga yang sedang bersandar di sebuah tembok rumah, bayangkan saja tangga itu berwarna merah dan diketahui bahwa jarak tangga diukur dari permukaan tanah dengan tembok adalah 3 meter serta tinggi tembok yang diukur dari ujung tangga ke tanah adalah 4 meter. Jika saya bertanaya, berapa kemiringan tangga tersebut? Belum bisa jawab? Lanjut !

Pada contoh ilustrasi dengan menggunakan tangga  di atas, yang dimaksud dengan garis horisontal adalah permukaan tanah, sedangkan yang dimaksud dengan garis vertikalnya adalah tembok rumah itu. Jadi kemiringan yang dihitung adalah kemiringan tangga tersebut.

Kemiringan tangga tersebut dihitung dengan menggunakan perbandingan jarak/panjang garis vertikal dengan panjang/jarak garis horisontal. Apabila tangganya miring ke kanan (yang artinya temboknya berada di sebelah kanan tangga tersebut) maka gradiennya positif dan apabila tangganya miring ke kiri (yang artinya temboknya berada di sebelah kiri tangga tersebut) maka gradiennya bernilai negatif. Kemiringan atau gradien secara matematika dirumuskan sebagai berikut.
  
Perhatikan rumus di atas, untuk mengetahui gradien suatu garis dengan rumus di atas, harus diketahui minimal dua titik pada garis tersebut. Kita misalkan saja kedua titik itu adalah $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$.

Sekarang, dari pengertian dan definisi yang diberikan dapatkan kamu menjawab pertanyaan saya tadi? Tepat sekali, ternyata kemiringan atau gradien tangga tersebut adalah 4/3. Dari mana 4? Yaitu sebagai berikut.
 
Sedangkan jika diketahui persamaan garisnya, cara menentukan Gradien atau kemiringannya adalah sebagai berikut.
1. Persamaan garis y=mx+c dengan m koefisien dari x dan c suatu konstanta maka gradiennya adalah m.
Contoh:
Misalkan persamaan garis yang diberikan adalah $y=2x+3$. Diketahui bahwa x mempunyai koefisien yaitu 2. Berapakah gradien garis tersebut? Jawabanya adalah 2 sesuai penjelasan dari di atas..

2. Persamaan garis: ax+by+c=0 dengan a, b, c adalah suatu bilangan maka gradien garis tersebut adalah m=-a/b.
Contoh: Jika diberikan persamaan garis 2x+3y-3=0 diketahui bahwa a=2, b=3, dan c=-3. Berapakah gradien garis tersebut? Jawab: m=-a/b=-2/3

3. Suatu garis yang melalui titik $(x_1 , y_1)$ dan $(x_2 , y_2)$ maka gradien garisnya dapat dicari dengan rumus:

Contoh: Tentukan gradien garis yang melalui titik (1,2) dan (2,6) !
Penyelesaian:
Diketehui, $( x_1 , y_1 )=(1,2)$ dan $( x_2 , y_2 )=(2,6)$
maka $m=\frac{6 - 2 }{2 - 1 } \\ m=\frac{4}{1}$

Terakhir, cara menentukan persamaan garis dijelaskan sebagai berikut.
1. Jika diketahui gradien m dan satu titik $(x_1,y_1)$ maka persamaannya garisnya:


2. Jika diketahu dua titik yang dilalui garis tersebut maka persamaan garisnya:

3. Jika garisnya melalui titik (a,0) dan (0,b) maka persamaan garisnya adalah ax+by=ab

Sebagai tambahan, misalkan diberikan garis $g_1 : ax_1 + by_1 + c_1=0$ dan $g_2: ax_2 + by_2 + c_2=0$ maka kedua garis tersebut:
1. Berimpit jika dan hanya jika $\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_2}{b_1}= \frac{c_2}{c_1}$. Apabila diketahui kedua garis tersebut berimpit, maka pasti $m_1=m_2$.

2. Sejajar jika dan hanya jika $\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_2}{b_1} \neq \frac{c_2}{c_1}$. Apabila diketahui kedua garis sejajar maka $m_1=m_2$

3. Tegak lurus jika dan hanya jika $m_1 . m_2 =-1$

4. Membentuk sudut misalkan A maka 

Contoh Soal:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1,2) dan B(2,4) !

Penyelesaian: 

Persamaan garis yang melalui titik A(1,2) dan B(2,4) adalah
y-2 = 2(x-1)
y-2 = 2x-2
y = 2x

Cara Menetukkan Akar-Akar Polinomial Kuadrat

Persamaan atau fungsi kuadrat adalah persamaan yang variabel x-nya mempunyai pangkat tertinggi yaitu 2. Contoh: . Untuk Cara Menetukkan Akar-Akar Polinomial Kuadrat ada 3 cara dengan syarat merubah persamaan kuadrat ke bentuk umunya : +bx+c=0. Tiga cara tersebut adalah:
1. Hubungan Koefisien Akar Untuk Polinomial Kuadrat
2.Melengkapi Kuadrat Sempurna, dan
3.rumus ABC.

Contoh: Tentukan penyelesaian dari ++ !

Cara 1: Misalkan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah r1 dan r2 maka berlaku hubungan:
(x-r1)(x-r2)=++
(x-r1)(x-r2)= -(r1+r2)x +r1.r2
sehingga:
b=-(r1+r2); dan
c=r1.r2

Karena b=6 dan c=9, maka:
r1 + r2=-6,
r1.r2=9
jadi, r1 dan r2 yang memenuhi adalah r1=-3 dan r2=-3

Dengan demikian:
++
(x-r1)(x-r2)=0
(x+3)(x+3)=0
x+3=0
x=-3
Jadi akar-akarnya real dan kembar, r1=r2=-3

Cara 2: Melengkapi Kuadrat
++
+
+++
++=-9+9
++
Begitulah caranya mendapatkan kuadrat sempurna, yaitu menambahkan pada kedua ruas. Ruas kiri yang mengandung variabel x dan ruas kanan konstanta.

Dari soal di atas, bentuk tersebut sudah merupakan kuadrat sempurna jadi:
++
$(x+3)^2=0$
(x+3)=0
x=-3

Cara 3: Rumus ABC
Pada dasarnya rumus ABC diperoleh dari proses Kuadrat Sempurna dengan mendapatkan langsung akar-akar penyelesaiannya dengan rumus:








Okey, gimana ada yang perluh di komentari ? Silahkan berkomentar di bawah ini !
Demikian Untuk Cara Menetukkan Akar-Akar Polinomial Kuadrat

Kategori Lainnya

Contact Form

Name

Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design