Belajar Matematika Online

Tampilkan postingan dengan label Pembuktian Matematika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Pembuktian Matematika. Tampilkan semua postingan

Bukti Identitas |cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)

Bukti identitas $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$, ini dipertanyakan oleh salah satu teman saya yang kebetulan sedang mengambil mata kuliah Analisis Kompleks pada program studi pendidikan matematika, Universitas Lakidende, Unaaha. Agar dapat bermanfaat bagi pembaca blog ini, saya menulis buktinya di sini. Sebelumnya terima kasih telah berkunjung!

Tulisan ini diperuntuhkan bagi mahasiswa yang sedang mencari cara memuktikan identitas tersebut. Entah itu tugas dari dosen atau kebutuhan mahasiswa sendiri. Sehingga, bagi Anda yang sedang atau telah mengambil mata kuliah Analisis Kompleks, bukalah kembali buka Anda yang membahas tentang fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan modulus pada pelajaran analisis kompleks karena kali ini hanya akan dibuktiktikan identitas di atas saja, tidak membahas materi-materi yang disebutkan sebelumnya. Pada bukti di bawah ini, saya hanya memberikan ide cara membuktikannya, selebihnya Anda tinggal mempelajarinya mengapa langkah-langkah yang ada bisa terjadi. Itu adalah tugas Anda. 

Untuk membuktikan kesamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara merubah salah satu ruas (ruas kiri atau ruas kanan) sehingga sama dengan ruas lainnya menggunakan kesamaan-kesamaan yang telah diketahui atau dibuktikan sebelumnya. 

Perhatikan kesamaannya, dari ruas kiri yaitu $|cosh (z)|^2$ akan ditujukkan $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$ sebagai berikut.

$ \begin{align} & |cosh (z)|^2 & = (cosh (z))(cosh ( \overline{z})) \\ & = (cosh (x+iy))(cosh (x-iy)) \\ & = (cosh (x) cosh (iy) + sinh (x) sinh (iy)) \\ & (cosh (x) cosh (iy) - sinh (x) sinh (iy)) \\ & = (cosh (x) cos (y) + sinh (x) i sin (y)) \\ & (cosh (x) cos (y) - sinh (x) i sin (y)) \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 - (sinh (x) i sin (y))^2 \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 + (sinh (x) sin (y))^2 \\ & = cos^2 (y) (cosh^2 (x) - sinh^2 (x)) + sinh^2 (x) cos^2 (y1 \\ & + sinh^2 (x) (sin^2 (y) + cos^2 (y)) - sinh^2 (x) cos^2 (y) \\ & = cos^2 (y) . (1) + sinh^2 (x) . (1) \\ & = cos^2 (y) + sinh^2 (x) \end{align} $.

Kita peroleh ruas kanannya yaitu $sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Karena ruas kiri samadengan ruas kanan maka kita telah membuktikan bahwa $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Demikian bukti singkat ini, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. 

Bukti Turunan Cos x = -Sin x

Membuktikan turunan cos x = -sin x pada dasarnya sama dengan Bukti Turunan Sin x = Cos x.

Secara matematis Turunan Cos x = -Sin x dituliskan dengan :


Turunan suatu fungsi didefinisikan sebagai:
$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h}$

Menurut definis Turunan dari suatu fungsi f(x) di atas maka:

$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\
=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{Cos \quad (x +h) - cos \quad x }{h} \\
=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{Cosx \quad Cosh - Sinx \quad sinh - Cosx }{h} \\
=\lim_{h \rightarrow 0} (Cosx . \frac{cosh-1}{h} \\
- Sin x. \frac{sin h}{h} ) \\
=\lim_{h \rightarrow 0} (-Cosx . \frac{1-cos h}{h} \\
- Sin x. \frac{sin h}{h} ) \\
=-Cosx [\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-cos h}{h}] \\ - Sin x [\lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin h}{h} \\
=Cos x(0) - Sin x(1) \\
=-Sin x$

Catatan:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-cos h}{h}=0 \\
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin h}{h}$

Terbukti bahwa Dx [Cos x] = -Sin x

Jika rumus tidak terbaca gunakan browser yang support Script Math.Jax seperti Operamini, Thanks !

Bukti Turunan Sin x = Cos X

Bukti Turunan Sin x = Cos x

Secara matematis Turunan Sin x = Cos x dituliskan dengan :



Bukti:

$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h}$

Menurut definis Turunan dari suatu fungsi f(x) di atas maka:

$f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin(x +h) - sin x }{h} \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{sinx cosh + cosx sinh - sinx }{h} \\ =\lim_{h \rightarrow 0} (-sinx. \frac{1-cosh}{h} \\ + cosx. \frac{sin h}{h} ) \\ =(-sinx) [\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-cos h}{h}] \\ + (cos x) [\lim_{h \rightarrow 0} \frac{sin h}{h} \\ =(-sin x)(0) + (cos x)(1) \\ =cos x$

Terbukti bahwa Dx [sin x] = cos x
Jika rumus tidak terbaca gunakan browser yang support Script Math.Jax seperti Operamini. Baca Juga: Bukti Turunan Cos x = -Sin x

Pembuktian Untuk Bilangan yang Dipangkat Nol(0) Sama dengan Satu(1) a^0=1

Untuk membuktikan kebenaran bahwa bilangan apapun yang bukan 0 (nol) dipangkat dengan 0 (nol) hasilnya adalah 1 (satu). Kita harus merujuk pada definisi pangkat bahwa




Misalkan :

Bagaimana jika

Jawabannya adalah

BUKTI:
SEMOGA BERMANFAAT

Pembuktian Kesamaan Trigonometri sin a cosb=1/2. [sin(a+b) + sin (a-b)]

Pembuktian Kesamaan Trigonometri sin a cosb=1/2. [sin(a+b) + sin (a-b)] dengan memanfaatkan kesaman-kesamaan yang ada dalam trigonometri yang tentunya menggunakan persamaan lain yang sebelumnya telah dibuktikan kebenarannya.

Pada postingan saya sebelumnya membahas masalah Pembuktian Kesamaan Trigonometri sinx+siny=2 sin 1/2 (x+y)cos1/2 (x-y)  yang menggunakan teknik pembuktian tidak formal. Pembuktian formal dalam matematika merupakan pembuktian yang menggunakan kaidah-kaidah inferensi berupa hukum-hukum, dalil-dalil atau definisi.

Kali ini kita akan membuktikan Kesamaan Trigonometri sin a cosb=1/2. [sin(a+b) + sin (a-b)] dengan menggunakan kesamaan yang telah ada yaitu :
sin (a+b)=sin a cos b +cos a sin b
sin (a-b)=sin a cos b - cos a sin b  +
sin(a+b) + sin(a-b)=2 sin a cos b

<=> 2 sin a cos b = sin (a+b) + sin (a-b)
<=>sin a cos b = 1/2. [sin(a+b) + sin(a-b)]
TERBUKTI bahwa sin a cos b = 1/2. [sin(a+b) + sin(a-b)]

Demikian untuk Kesamaan Trigonometri sin a cosb=1/2. [sin(a+b) + sin (a-b) ] jika ada yang ingin ditanyakan silahkan berkomentar.

Salam MKB :D

Pembuktian Kesamaan Trigonometri sinx+siny=2 sin 1/2 (x+y)cos1/2 (x-y)

Pembuktian Turunan Trigonometri sinx+siny=2 sin 1/2 (x+y)cos1/2 (x-y) dengan cara yang sederhana ini tidak menggunakan definisi atau teorema apapun. Ini hanya sebuah metode aljabar dalam menunjukkan suatu persamaan. Misalkan 2+2=4 untuk menunjukkan kebenaran tersebut dengan metode yang akan kita coba untuk membuktikan kesamaan trigonometri tersebut, yaitu dengan cara menunjukkan ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Pembuktian ini lebih tepat kepada intuisi saja bukan sebuah bukti yang fakultatif atau formal.

Ilustrasi :
sin90+sin90=2sin1/2 (90+90)cos1/2 (90-90)
(i) Untuk sin 90+sin90=1+1=2              ket: sin 90=1
(ii) Untuk 2sin 1/2 (90+90) cos 1/2 (90-90)
=2 sin 1/2(180) cos 1/2(0)
=2 sin 90 cos 0
=2. 1 . 1
=2                        Ket: cos 0=1
Ilustrasi di atas bukannlah bukti karena contoh bukannlah bukti. Karena itu hanyalah metode induktif, metode ini tidak bisa digunakan untuk pembuktian, hanya kepada hal-hal tertentu saja misalnya untuk membuktikan barisan bilangan asli pembuktian ini dinamakan induksi matematika.

Pembuktian Kesamaan Trigonometri sinx+siny=2 sin 1/2 (x+y)cos1/2 (x-y) dengan bukti informalnya yaitu:

Misal: x=a+b
y=a-b
Maka: x+y=2a  => a=1/2(x+y)
x-y=2b   => b=1/2(x-y)
Jadi: sin x+ sin y=2 sin 1/2(x+y) cos1/2(x-y)
=2 sin a cos b
=2 . 1/2. [sin (a+b) +  sin (a-b) ]
= sin (a+b) sin (a-b)
=sin x + sin y TERBUKTI
Catatan: Untuk pembuktian sin a cos b=1/2[sin (a+b) + sin (a-b)] akan di tunjukkan pada postingan berikutnya.

Demikian untuk Pembuktian Kesamaan Trigonometri sinx+siny=2 sin 1/2 (x+y)cos1/2 (x-y)
 Semoga bermanfaat




Pembuktian 0!=1 dan 1!=1 dengan ! Notasi Faktorial

Assalamualaikum...

Saya teringat dengan dosen saya yang mengatakan bahwa pembuktian itu nanti di semester 5 pada matakuliah Struktur Aljabar atau Analisis Real. :DPadahal penting untuk dapat melakukan pembuktian dalam matematika terkhusus bagi calon guru setidaknya harus mengetahui dari mana suatu rumus diperoleh, karena siswa akan mengganggap kita guru yang biasa aja kalau ditanya jawabnya karena memangnya. :D

Faktorial dengan notasi (!) didefinisikan sebagai:

dengan n=Bilangan Asli

Contoh:
6!=6.5.4.3.2.1=720
5!=5.4.3.2.1=120
4!=4.3.2.1=24
3!=3.2.1=6
2!=2.1=2
1!=?
0!=?
Lalu bagaimana dengan 0! dan 1! ? Apakah benar 0!=1 dan 1!=1 ? Berikut Pembuktiannya

Berdasarkan definisi bahwa:
n! = n ( n - 1 )!

Untuk membuktikan 1!=1 ambil n=2 maka:
n! = n ( n - 1 )!
2! = 2 ( 2 - 1 )!
2 . 1 = 2 . 1!
2 = 2 . 1!
2/2 = 1!
1 = 1 ! (Terbukti bahwa 1! = 1)

Untuk membuktikan 0!=1 ambil n=1 maka
n! = n ( n - 1 )!
1! = 1 ( 1 - 1 )!
1 = 0! (Terbukti bahwa 0! = 1)

Dengan demikian benar bahwa 0! = 1! =1
Info Kesehatan

Kontak Kami

SMS/Phone : 082271051411
WhatsApp: 085246493737
Email: matematikakubisa@gmail.com

Statistik Pengunjung

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design
Messenger Admin
×
_

Hai, Kamu bisa kirim pesan ke Admin di sini! Jangan lupa like halaman admin ya, terima kasih!