Belajar Matematika Online

IXL Math On IXL, math is more than just numbers. With unlimited questions, engaging item types, and real-world scenarios, IXL helps learners experience math at its most mesmerizing! Pre-K skills Represent numbers - up to 5 Inside and outside Classify shapes by color Long and short Wide and narrow See all 77 pre-K skills Kindergarten skills Fewer, more, and same Read clocks and write times Seasons Count money - pennies through dimes Shapes of everyday objects I See all 182 kindergarten skills First-grade skills Counting tens and ones - up to 99 Hundred chart Subtraction facts - numbers up to 10 Read a thermometer Measure using an inch ruler See all 210 first-grade skills Second-grade skills Counting patterns - up to 1,000 Greatest and least - word problems - up to 1,000 Compare clocks Create pictographs II Which customary unit of volume is appropriate? See all 287 second-grade skills Third-grade skills Convert between standard and expanded form Count equal groups Estimate sums Show fractions: area models Find equivalent fractions using area models See all 384 third-grade skills Fourth-grade skills Addition: fill in the missing digits Divide larger numbers by 1-digit numbers: complete the table Objects on a coordinate plane Circle graphs Place values in decimal numbers See all 340 fourth-grade skills Fifth-grade skills Least common multiple Multiply fractions by whole numbers: word problems Sale prices Find start and end times: word problems Parts of a circle See all 347 fifth-grade skills Sixth-grade skills Compare temperatures above and below zero Which is the better coupon? Evaluate variable expressions with whole numbers Classify quadrilaterals Create double bar graphs See all 321 sixth-grade skills Seventh-grade skills Solve percent equations Arithmetic sequences Evaluate multi-variable expressions Identify linear and nonlinear functions Pythagorean theorem: word problems See all 289 seventh-grade skills Eighth-grade skills Write variable expressions for arithmetic sequences Add and subtract polynomials using algebra tiles Add polynomials to find perimeter Multiply and divide monomials Scatter plots See all 317 eighth-grade skills Algebra 1 skills Write and solve inverse variation equations Write an equation for a parallel or perpendicular line Solve a system of equations by graphing Solve a system of equations using substitution Rational functions: asymptotes and excluded values See all 309 Algebra 1 skills Geometry skills Triangle Angle-Sum Theorem Proving a quadrilateral is a parallelogram Properties of kites Similarity of circles Perimeter of polygons with an inscribed circle See all 221 Geometry skills Algebra 2 skills Multiply complex numbers Product property of logarithms Find the vertex of a parabola Write equations of ellipses in standard form from graphs Reference angles See all 322 Algebra 2 skills Precalculus skills Identify inverse functions Graph sine functions Convert complex numbers between rectangular and polar form Find probabilities using two-way frequency tables Use normal distributions to approximate binomial distributions See all 261 Precalculus skills Calculus skills Find limits using the division law Determine end behavior of polynomial and rational functions Determine continuity on an interval using graphs Find derivatives of polynomials Find derivatives using the chain rule I See all 97 Calculus skills Mathematics is a persistent source of difficulty and frustration for students of all ages. Elementary students spend years trying to master arithmetic. Teens struggle with the shift to algebra and its use of variables. High-school students must face diverse challenges like geometry, more advanced algebra, and calculus. Even parents experience frustration as they struggle to recall and apply concepts they had mastered as young adults, rendering them incapable of providing math help for their children. Whether you need top Math tutors in Boston, Math tutors in Detroit, or top Math tutors in Dallas Fort Worth, working with a pro may take your studies to the next level. The truth is, everyone struggles with math at one time or another. Students, especially at the high-school level, have to balance challenging coursework with the demands of other courses and extracurricular activities. Illness and school absences can leave gaps in a student’s instruction that lead to confusion as more advanced material is presented. Certain concepts that are notoriously difficult to master, such as fractions and the basics of algebra, persist throughout high school courses, and if not mastered upon introduction, can hinder a student’s ability to learn new concepts in later courses. Even students confident in their math skills eventually find a course or concept incomprehensible as they reach advanced math classes. In other words, no matter what your age or ability, everyone eventually needs help with math. Varsity Tutors offers resources like free Math Diagnostic Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider a Math tutor. Varsity Tutors is happy to offer free practice tests for all levels of math education. Students can take any one of hundreds of our tests that range from basic arithmetic to calculus. These tests are conveniently organized by course name (e.g. Algebra 1, Geometry, etc.) and concept (e.g. “How to graph a function”). Students can select specific concepts with which they are struggling or concepts that they are trying to master. Students can even use these concept-based practice tests to identify areas in which they may not have realized they were struggling. For instance, if a student is struggling with his or her Algebra 1 course, he or she can take practice tests based on broad algebra concepts such as equations and graphing and continue to practice in more specific subcategories of these concepts. In this way, students can more clearly differentiate between those areas that they fully understand and those that could use additional practice. Better yet, each question comes with a full written explanation. This allows students to not only see what they did wrong, but provides the student with step-by-step instructions on how to solve each problem. In addition to the Math Practice Tests and Math tutoring, you may also want to consider taking some of our Math Flashcards. Varsity Tutors’ Learning Tools also offer dozens of Full-Length Math Practice Tests. The longer format of the complete practice tests can help students track and work on their problem-solving pace and endurance. Just as on the results pages for the concept-specific practice tests, the results for these longer tests also include a variety of scoring metrics, detailed explanations of the correct answers, and links to more practice available through other Learning Tools. These free online Practice Tests can assist any student in creating a personalized mathematics review plan, too, as the results show which of the concepts they already understand and which concepts may need additional review. After reviewing the skills that need work, students can take another Full-Length Math Practice Test to check their progress and further refine their study plan. Once a student creates a Learning Tools account, they can also track their progress on all of their tests. Students can view their improvement as they begin getting more difficult questions correct or move on to more advanced concepts. They can also share their results with tutors and parents, or even their math teacher. Create a Varsity Tutors Learning Tools account today, and get started on a path to better understanding math!
Solve your math problem in https://f-math.web.id
Hasil Pencarian di Blog Matematika Ku Bisa
Showing posts with label Persamaan Diferensial. Show all posts
Showing posts with label Persamaan Diferensial. Show all posts

Persamaan Diferensial Tak Eksak

PD Tak Eksak merupakan pembahasan kita yang terakhir untuk PD Tingkat 1. Sebelumnya kita telah membahas Persamaan Diferensial Eksak. Jika diberikan PD M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, apabila $\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD tersebut PD Eksak, sedangkan jika $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD Tak Eksak.

PD Tak Eksak seringkali bisa diubah ke PD Eksak dengan menentukan suatu faktor yang tepat yang disebut faktor integrasi atau faktor pengintegralan.

Teorema:
  1. Jika $\frac{1}{N} (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$ adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka $e^{ \int f(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
  2. Jika $\frac{1}{M} (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$ adalah suatu fungsi dari y saja, katakan g(x), maka $e^{ \int g(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
Bukti:

  1. Berdasarkan hipotesis, jika p(x) adalah faktor pengintegralan yang tergantung pada variabel x saja maka $p(x)M(x,y) \ dx + p(x) N(x,y) \ dy =0$ adalah diferensial eksak. Dipunyai syarat perlu $\frac{\partial}{\partial y}(pM)= \frac{\partial}{\partial x}(pN) $ $\Rightarrow $ $p \frac{\partial M}{\partial y} = p \frac{\partial N}{\partial x}+N \frac{\partial p}{\partial x} $ akhirnya diperoleh $\frac{\partial p}{\partial x} = p \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})=p(x)f(x) $ yang mempunyai suatu penyelesaian umum $p(x) = e^{\int f(x) \ dx} $ 
  2. Analog dengan pembuktian 1.
Contoh: Selesaikan PD $(3x^2y + 2xy+y^3) \ dx+ (x^2+y^2) \ dy=0$ !

Jawab: 

$M=3x^2y+2xy+y^3 \Rightarrow M_y=3x^2+2x+3y^2$

$N=x^2+y^2 \Rightarrow N_x=2x$

Karena $\frac{M_y-N_x}{N}=3$ merupakan fungsi x saja, maka $p(x)=e^{\int 3 \ dx}=e^{3x}$ merupakan faktor pengintegralan. Akibatnya, $e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)dx+e^{3x}(x^2+y^2)dy=0$ adalah PD Eksak.

Diambil fungsi diferensialnya adalah u(x,y) dengan
  • $\frac{\partial u}{\partial x} = M_2(x,y) = e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)$
  • $\frac{\partial u}{\partial y} = N_2(x,y) = e^{3x}(x^2+y^2)$
$\begin{align} u(x,y) &= \int N_2(x,y) \ dy \\ &=  \int e^{3x}(x^2+y^2)  \ dy \\ &= e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3}) + k(x) \end{align} $

Dengan memperhatikan kesamaan $\frac{\partial u}{\partial x} = e^{3x}(2xy+3x^2y+y^3)+k'(x)=M_2(x,y) $, maka diperoleh $k'(x)=0 \rightarrow  k(x)=c $. Jadi, solusi umum PD awal adalah $u(x,y)=e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3})=k $

Persamaan Diferensial Eksak M(x,y) dx + N(x,y) dy=0

Masih pada pembahasan Persamaan Diferensial Tingkat 1. Jika diberikan PD M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Dikatakan eksak jika ruas kiri merupakan diferensial total yaitu $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy $ dari suatu fungsi $u(x,y) $ sehingga $du=0$ yang mempunyai penyelesaian $u (x,y)=k $ dengan $k $ suatu konstanta.

Untuk mengetahui keeksakan suatu PD order 1 diberikan teorema berikut.

Teorema:
Jika $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan  $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y}$ kontinu, maka PD M(x,y) dx+N(x,y) dy=0 adalah eksak jika hanya jika $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $ atau $M_y=N_x $.

Bukti:
Jika PD eksak maka terdapat suatu fungsi diferensial $u (x,y) $ sedemikian sehingga $du=0$. Dipunyai $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y} $ sebagai syarat keeksakan. Sebagai tambahan, jika M dan N terdiferensial maka $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ dengan derivatif parsial campuran dari $u$ ada dan kontinu. Karena itu, $\frac{\partial M}{\partial y} $ dan $\frac{\partial N}{\partial x} $ ada, kontinu, dan sama.

Untuk membuktikan kebalikan teorema, diasumsikan bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Karena itu terdapat fungsi $u$ sehingga:
$\frac{\partial u}{\partial x}=M $ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N $

***
Solusi PD eksak sama dengan menemukan $u(x,y)=c$ dari $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$ sbb.
  1. $u(x,y)= \int_x M(x,y) \ dx + \Phi (y)$; $\Phi (y)$ fungsi sembarang dari y.
  2. $\frac{\partial u}{\partial y}  = \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx) + \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N (x,y) $
  3. $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y) - \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx)$
  4. Integralkan untuk memperoleh fungsi $\Phi (y)$, substitusikan ke $u(x,y)$ telah ditemukan.
Contoh: Selesaikan PD $(x^2-y) \ dx - x \ dy=0$

Solusi: Diketahui $M(x,y)=x^2-y$ dan $N(x,y)=-x$ maka $\frac{\partial M }{\partial y}=-1$ dan $\frac{\partial N }{\partial x}=-1$. Karena $M_y=N_x $ maka PD tersebut adalah PD eksak.

Karena $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ maka 
$\begin{align} u(x,y) &= \int_x M(x,y) \ dx  \\  &= \int_x x^2-y \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3-xy+ \Phi (y) \end{align}$.

Oleh karena itu, $\frac{\partial u}{\partial y}  =  -x + \Phi '(y) = N(x,y)$.

Karena $N(x,y)=-x$  dan berdasarkan kesamaan di atas maka $\Phi '(y)=0$. Akibatnya, $\Phi (y)=c$. 

Sehingga $u(x,y)= \frac{1}{3}x^3-xy+c=k$. Jadi, diperoleh solusi umum $\frac{x^3}{3} - xy=C $

PD dengan M(x,y) dan N(x,y) Linier tetapi Tidak Homogen

Pandang PD 
$(ax+by+c)dx+(px+qy+r)dy=0$. 
Kita selesaikan dengan cara mengubah ke bentuk PD yang dapat dipisahkan.

1) Kasus $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}= \alpha $

Gunakan transformasi $px+qy+r =u $ sehingga $ax+by+c= \alpha u $. Dengan ini, bentuk akan tereduksi menjadi PD dengan variabel terpisah kemudian selesaikan.

2) Kasus $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}$ atau $px+qy=k (ax+by)$; $k \in R $

Misalkan $ax+by=u $ maka $px+qy=ku $ dengan $dy =\frac{du-a \ dx}{b} $, substitusikan ke PD awal untuk memperoleh PD terpisahkan dalam x dan u.

3) Kasus $\frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $ atau $px+q \neq k (ax+by) $

Gunakan transformasi:
$ax+by+c=u $ $\Rightarrow$ $ a \ dx+ b \ dy=du $
$px+qy+r=v $ $\Rightarrow$ $ p \ dx+ q \ dy=du $

Dari dua persamaan ini diperoleh:
$dx = \frac{q \ du - b \ dv}{aq-bp} $
$dy = \frac{a \ dv - p \ du}{aq-bp} $

Karena $aq-bp \neq 0$ maka bentuk PD menjadi PD homogen, yaitu $(qu-pv)du+(av-bu)dv=0$.
Selesaikan dan ganti $u $ dan $v $ kembali.

Contoh Soal: Selesaikanlah PD berikut ini!
$(x-2y+9)dx-(3x-6y+19)dy=0$

Penyelesaian:
$3x-6y=3 (x-2y) $
Misal $u=x-2y $ dengan $dy = \frac{dx-du}{2}$
Maka
$\begin{align} (x-2y+9)dx - (3 (x-2y)+19)dy &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u+19) \frac{dx-du}{2} &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u \frac{dx}{2} - 3u \frac{du}{2}+19 \frac{dx}{2} - 19 \frac{du}{2}) &=0 \\ \Leftrightarrow (\frac{2u-3u}{2} dx + \frac{18-19}{2} dx + \frac{3u}{2} du +\frac{19}{2} du &=0 \\ \Leftrightarrow -u \ dx - 1 \ dx + 3u \ du + 19 \ du &=0 \\ \Leftrightarrow (-u-1)dx+ (3u+19)du &=0  \end{align} $

Diperoleh
$\begin{align} dx &= \frac{3u+19}{u+1} du  \\ \Leftrightarrow \int dx &= \int \frac{3u+19}{u+1} du  \\ \Leftrightarrow x &= \int  3+ \frac{16}{u+1} du  \\ \Leftrightarrow x &= 3u+16 \ln |u+1|+k \\ \Leftrightarrow x &= 3 (x-2y)+16 \ln |x-2y+1|+k \end{align} $

Persamaan Diferensial Reduksi Terpisahkan (PD Homogen)

Persamaan Diferensial Reduksi Terpisahkan (PD Homogen)
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari persamaan diferensial tingkat 1 dengan variabel terpisah yang dapat diselesaikan dengan metode integrasi secara langsung. Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari secara khusus keberadaan suatu persamaan diferensial yang variabelnya dapat dipisahkan. Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial homogen.


Pengertian:
Suatu fungsi F(x,y) adalah fungsi homogen berderajat n dalam x dan y jika $F( \lambda x, \lambda y)= \lambda ^n F(x,y)$. Jika diberikan PD dengan $M(x,y) \ dx + N(x,y) \ dy=0 \\ \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} $ disebut PD dengan koefisien homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n.
Karena PD homogen maka:
$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} \\ &= - \frac{(\frac{1}{x})^nM(\frac{1}{x}.x, \frac{y}{x})}{(\frac{1}{x})^nN(\frac{1}{x}.x, \frac{y} {x})} \\ &= - \frac{x^{-n}M(1, \frac{y}{x})}{x^{-n}N(1, \frac{y}{x})} \\ &= \frac{M(1, \frac{y}{x})}{N(1, \frac{y}{x})} \\ \frac{dy}{dx} &= f(\frac{y}{x}) \end{align} $
sehingga digunakan transformasi $y=ux$ atau jika $\frac{dy}{dx} = - \frac{y^n}{y^n} \frac{M( \frac{x}{y}, 1)}{N(\frac{x}{y},1)} $ digunakan transformasi $x=vy $.

Contoh soal:
Selesaikan $2x \ dy - 2y \ dx = \sqrt{x^2+4y^2} \ dx $

Solve:
Kita ubah bentuknya menjadi $M \ dx + N \ dy=0$, hasilnya sebagai berikut.
$(\sqrt{x^2+4y^2} + 2y) \ dx - 2x \ dy=0$

Maka diketahui:
$M = \sqrt{x^2+4y^2} + 2y$ dan $N= -2x $

Kita periksa apakah homogen.
(Diberikan kepada pembaca untuk menunjukannya)

Karena PD homogen, gunakan transformasi $y=ux $ atau $x=vy $. Misal gunakan $y=ux $ dimana $\frac{dy}{dx} = x \ du+ u \ dx $

Maka hasil transformasinya menjadi persamaan berikut ini.

$ \frac{1}{x} \ dx - \frac{2}{\sqrt{1+4u^2}} \ du=0$

Dengan mengintegralkan diperoleh:

$1+4kux -k^2x^2=0$ (k bilangan konstan)

Kita ganti u dengan $ \frac{y}{x} $. Jadi, solusi umumnya adalah $1+4ky - k^2x^2=0$

Persamaan Diferensial Metode Integrasi

Persamaan Diferensial Metode Integrasi
Kita telah membahas materi-materi PD Linier Tingkat satu, baik yang bentuknya umum maupun yang bentuknya khusus. Bentuk khususnya yaitu PD Bernouli dan PD Riccati. Pada kesempatan ini, kita akan membahas suatu metode yang disebut Metode Integrasi dalam menyelesaikan PD Tingkat 1, baik yang linier ataupun yang non linier.


Apa sih yang dimaksud dengan metode integrasi, jika dilihat dari kata "integrasi" maka ini berarti menggunakan integral. Benar nggk tuh? Kalau kita pikir-pikir, bukannya semua proses penyelesaian persamaan diferensial pasti melibatkan integrasi? Maka Kita perlu memahami maksud dari "metode integrasi" ini.

Metode integrasi dapat dilakukan apabila bentuk PDnya merupakan PD yang variabel bebas dan terikatnya terpisahkan. Maksud dari terpisahkan ini adalah masing-masing variabel tidak bersama pada suatu suku dalam persamaan tersebut misalnya satu variabelnya berada di satu ruas (misalnya ruas kiri) sedangkan variabel yang lainnya berada di ruas yang lain (berarti di ruas kanan) atau sama-sama di ruas yang sama tetapi dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang. Faham, kan? Namun, tidak semua PD tingkat satu dapat terpisahkan. (Jadi ada PD yang variabel x dan y itu gak bisa dipisahkan, kayak dia dan kamu, iya kamu, cie..!)

Kita dapat memanipulasi secara aljabar suatu PD yang variabelnya dapat dipisahkan, menjadi bentuk:
g(y) dy = f(x) dx
sehingga diperoleh solusi umum:
$ \int g (y) dy = \int f (x) dx$
Ada juga bentuk lain yang lebih umum:
$f_1 (x)g_1 (y) \ dx= f_2 (x)g_2 (y) \ dy=0$
atau
$M (x,y) \ dx + N (x,y)\ dy =0$
dapat dibentuk menjadi persamaan difernsial dengan variabel terpisah dengan menggunakan faktor integrasi:
$\frac{1}{g_1 (y)f_2 (x)} $
Sehingga dihasilkan:
$\begin{align} \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \frac{g_2(y)}{g_1(y)} \ dy &= 0 \\ \Leftrightarrow \int \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \int \frac{g_2 (y)}{g_1 (y)} \ dy &=0 \end{align} $

Contoh:
Selesaikan $xy \ dx + (1+x^2) \ dy = 0$ dengan metode integrasi!

Solusi: Faktor integrasinya adalah $\frac{1}{y (1+x^2)}$
Sehingga, $\begin{align} & \frac{1}{y(1+x^2)}[xy \ dx+(1+x^2) \ dy] =0 \\ & \leftrightarrow \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \frac{1}{y} \ dy=0 \\ & \leftrightarrow \int \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \int \frac{1}{y} \ dy=k \\ \frac{1}{2} ln|1+x^2|+ln|y|=C \\ & \leftrightarrow ln (1+x^2)^{\frac{1}{2}}y = ln \ e^c \\ & \leftrightarrow \sqrt{1+x^2} y = e^c \end{align} $

Jadi, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah $y = \frac{e^c}{\sqrt{1+x^2}} $

Persamaan Diferensial Riccati

Persamaan Diferensial Riccati
PD Riccati merupakan salah satu PD khusus yang dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1 sama seperti PD Bernoulli, juga dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1. Secara khusus kita telah membahasnya pada Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli.

Gambar Orang yang sedang membaca PD Riccati di blog Matematika Ku Bisa

Bentuk umum PD Riccati adalah sebagai berikut.
$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$
Jika $R(x)=0$, maka PD menjadi PD Bernoulli. Jika $R(x) \neq 0$ maka PD tersebut diubah ke PD Linier Tingkat 1 dengan cara berikut ini.
  1. Ambil satu penyelesaian khusus $y=u(x) $ (biasanya dalam soal sudah diketahui). Karena itu, dipunyai $\frac{dy}{dx}=P(x)u^2+Q(x)u+R(x)$.
  2. Substitusikan $y=u+ \frac{1}{z}$ dengan derivatifnya $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{1}{z^2} \frac{dz}{dx}$ ke persamaan diferensial Riccati, maka diperoleh:
$\frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z=-P(x)$

Contoh: Selesaikan persamaan $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$ dengan $y=2$ adalah penyelesaian khususnya!

Penyelesaian: Sudah jelas bahwa persamaan tersebut termasuk dalam PD Riccati, kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & \frac{dy}{dx} =-2-y+y^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} =y^2-y-2  \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas maka diketahui $P(x)=1$, $Q(x)= -1$ dan $R(x)=-2$. Dari soal diketahui bahwa $u(x)=2$. Dengan menggunakan transformasi $y=u+ \frac{1}{z} \Leftrightarrow y=2+ \frac{1}{z}$ maka persamaan direduksi menjadi:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z &= -P(x) \\ \Leftrightarrow  \frac{dz}{dx}+[2(2)(1)-1]z &= -1 \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+3z &= -1 \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah PD linier tingkat 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int 3  \ dx} &= e^{3x}  \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx}+3z = -1$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{e^{3x}}( \int (-1)e^{3x} \ dx) \\ &= e^{-3x}(- \int e^{3x} \ dx) \\ &=e^{-3x}(- \frac{1}{3}e^{3x}+k) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y-2} &= ke^{-3x}-\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow y-2 &= \frac{1}{ke^{-3x}-\frac{1}{3}} \\ \Leftrightarrow y &= 2+\frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}} \end{align} $


Jadi, $y=2+ \frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}}$ adalah penyelesaian dari $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$.

Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli

Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli

PD Bernoulli memiliki bentuk umum 
$\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)y^n \ \ ; \ n \neq 0$
Untuk $n \neq 1$, kita dapat mentransformasi bentuk tersebut menjadi PD Linier Tingkat 1 dengan menggunakan transformasi $z=y^{-n+1} $. Dari sini diketahui:

$\frac{dz}{dx}=(-n+1)y^{-n} \frac{dy}{dx} \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^n}{1-n} \frac{dz}{dx} $

Jika $\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)y^n$ dikalikan dengan $(1-n)y^{-n} $ maka diperoleh:
$\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)r(x) $
Contoh: Selesaikan persamaan $2xy \frac{dy}{dx}-y^2=x^2$

Penyelesaian: Untuk memperjelas bahwa persamaan tersebut termasuk dalam PD Bernoulli, kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & 2xy \frac{dy}{dx}-y^2=x^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} - \frac{y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x} y = \frac{x}{2} y^{-1} \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas, diketahui $p(x)=- \frac{1}{2x} $, $ r (x)= \frac{x}{2}$ dan $n=-1$. (Dengan menggunakan transformasi $z=y^{-n+1}=y^{-(-1)+1}=y^2$ dan mengalikan $(1-n)y^{-n+1}=2y^2$ di kedua ruas PD Bernoulli di atas) Maka diperoleh:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z &=(1-n)r(x) \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+(1-(-1))(- \frac{1}{2x})z &=(1-(-1)) \frac{x}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+2(- \frac{1}{2x})z &=2 ( \frac{x}{2}) \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z &= x \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah PD linier tingkat 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int - \frac{1}{x}  \ dx} &= e^{-ln(x)} \\ &= e^{ln (x^{-1})} \\ &= x^{-1} \\ &= \frac{1}{x} \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x} z=x$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{ \frac{1}{x}}( \int x( \frac{1}{x}) \ dx)  \\ &= x ( \int 1 \ dx) \\ &= x (x+k) \\ &= x^2+kx \end{align} $

Jadi, 
$y^2=x^2+kx \Leftrightarrow y= \sqrt{x^2+kx} $

Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1

Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1
Pengertian PD Linier Tingkat 1


Suatu persamaan diferensial tingkat 1 dikatakan linier dalam y jika tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi non linier lainnya dari y atau y'. Bentuk umum dari PD linier tingkat (order) 1 diberikan sebagai berikut.
$y'+p(x)y=f(x) $

Cara Menyelesaikan PD Linier Tingkat 1

Jika $p(x)=0$ maka dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, sedangkan jika $f(x)=0$ maka persamaan adalah  PD terpisahkan, yakni:

$\begin{align} y'+p(x)y &=0 \\ y' &= -p(x)y \\ \frac{dy}{dx} &= -p(x) \ dx \\ \frac{1}{y} \ dy &= -p(x) \ dx \\ \int \frac{1}{y} \ dy &= \int -p(x) \ dx \\  ln (y) &= - \int p(x) \ dx \\ y &= e^{- \int p(x) \  dx } \end{align}$

Jika $p(x) \neq 0$ dan $f(x) \neq 0$, untuk menentukan solusi PD linier tingkat 1 tersebut adalah sebagai berikut.

Misal $u(x)$ adalah suatu fungsi dalam x.

$\begin{align} y'+p(x)y=f(x) \\ \iff u(y'+py) &= uf \\ \iff uy'+upy' &= uf \\ \iff uy'+u'y-u'y+upy &= uf \\ \iff (uy)' - (u'y-upy) &= uf \\ \iff \frac{d(uy)}{dx} - y'(u'-up) &= uf \end{align} $

Agar bentuk di atas dapat menggunakan integrasi di kedua ruas, kita harus mencari $u(x)$ dengan memberikan ketentuan bahwa $u'-up=0$, sehingga:

$\begin{align} \frac{d(uy)}{dx} &= uf \\ d(uy) &= uf \ dx \\ \int d(uy) &= \int uf \ dx \\ uy &= \int uf \ dx \\ y &= \frac{1}{u} \int uf \ dx \end{align}$ 

Ini bisa terjadi jika $u(x)=e^{ \int p(x) \ dx} $ sehingga $u'(x)-u(x)p(x)=0$.

Selanjutnya $u(x)$ disebut faktor integrasi PD Linier Tingkat 1.

Contoh Soal Penyelesaian PD Linier Tingkat 1 dengan Faktor Integrasi

Selesaikan $dy/dx + y tan (x) = sec (x) $ !

Penyelesaian:
Diketahui $p(x)=tan (x)$ maka faktor integrasinya adalah:
$\begin{align} u(x) &= e^{ \int tan (x) \ dx} \\ &= e^{-ln (cos (x))} \\ &= sec (x) \end {align}$.

Jadi,
$\begin{align} y &= \frac{1}{u(x)} \int u(x)f(x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec(x)} \int sec (x) \ sec (x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec (x)} \int sec^2 (x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec (x)} (tan (x)+k) \\ y &= sin (x)+k \ cos(x) \end{align}$.

k suatu bilangan konstan.

Persamaan Diferensial Tingkat 2

Pada bacaan sebelumnya di Persamaan Diferensial Tingkat 1, sudah dijelaskan bahwa tulisan-tulisan untuk kategori Persamaan Diferensial hanya membahas PD yang dapat diselesaikan secara eksak. Yang dimaksud PD Tingkat 2 juga sudah dibahas di situ, yaitu PD yang memuat derivatif dalam persamaan paling tinggi adalah 2. Silahkan baca Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier.

Pada PD Tingkat 2, insya Allah dibahas materi-materi berikut ini.
  • PD Khusus Tak Linier
  • PD Linier Orde 2 Homogen dengan Koefisien Konstan
  • PD Linier Orde Dua Tak Homogen dengan Koefisien Konstan
Pada PD khusus tak linier kita menggunakan metode reduksi tingkat. Jadi, ada PD khusus tingkat 2 tak linier yang dapat direduksi menjadi PD tingkat 1 dengan melakukan pemisalan, sehingga dengan bentuk PD tingkat 1 nya tersebut, kita dapat menyelesaikannya dengan suatu cara yang ada pada PD tingkat 1. Kemudian menjadi sederhanalah penyelesaian PD tingkat 2 nya, dengan mengembalikan kembali variabel yang telah dimisalkan tadi.

Pada PD linier orde 2 homogen dengan koefisien konstan, kita menggunakan kriteria akar-akar persamaan karakteristik yang terdiri dari 3 kemungkinan, yaitu dua akar real berbeda, dua akar real kembar, dan dua akarnya kompleks.

Pada PD linier orde 2 tak homogen dengan koefisien konstan, solusi umnya berbentuk $y=y_c +y_p $ dengan $y_c $ solusi PD homogen dan $y_p $ adalah solusi khusus dari persamaan tak homogen. Adapun solusi khusus dapat dicari dengan 3 metode berikit ini.
  1. Metode Koefisien Tak-Tentu
  2. Metode Variasi Parameter
  3. Metode Operator
Untuk memudahkan para pembaca, pembahasan penyelesaian PD Tingkat 2 ini, saya beri label PD Tingkat 2.

Persamaan Diferensial Tingkat 1

Kita telah membahas pengertian persamaan diferensial, bagaimana membentuk persamaan diferensial, dan apa yang dimaksud dengan solusi persamaan diferensial pada tulisan Pengantar Persamaan Diferensial.

Ada persamaan diferensial biasa yang hanya menggunakan satu variabel bebas dan persamaan diferensial parsial yang sudah menggunakan lebih dari satu variabel bebas. Dari persamaan-persamaan diferensial tersebut ada yang bersifat linier dan tidak linier. Silahkan baca lebih detailnya pada tulisan dengan judul Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier.

Jika dilihat dari persamaannya, suatu variabel tak bebasnya terturunkan 1 kali maka itu PD tingkat 1, jika terturunkan 2 kali maka disebut PD tingkat 2, dst.

Ketika membahas masalah persamaan dalam matematika, maka yang jadi inti pembahasannya adalah menemukan solusi dari persamaan tersebut. Ada persamaan yang bisa diselesaikan secara eksak dan tidak bisa diselesaikan secara eksak sehingga penyeleaaian persamaan tersebut menggunakan metode numerik. Maka dalam pembahasan materi Persamaan Diferensial ini, hanyalah materi-materi yang bisa diselesaikan secara eksak. Adapun jika ada yang menggunakan metode numerik, itu sebagai tambahan saja. Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua.

Persamaan diferensial tingkat (orde) 1 yanga dibahas di sini adalah:
Itilah materi-materi yang insya Allah telah dibahas dalam blog ini, kami akan memberi label PD Tingkat 1 sehingga para pembaca bisa mememukan secara cepat materi-materi yang telah ditulis. Demikian tulisan kami ini, semoga bermanfaat. 

Bacaan selanjutnya Persamaan Diferensial Tingkat 2

Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n

Berdasarkan bacaan kita yang sebelumnya dengan judul Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier. Maka, kita dapat menuliskan bentuk umum PD Linier Orde n sebagai berikut.

$a_n (x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+... \\ +a_2 (x)y"+a_1 (x)y'+a_0 (x)y=f (x) $

Bila tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan PD tidak linier. Bila f(x)=0 maka disebut PD Linier Homogen sedangkan bila $f(x) \neq 0$ maka disebut PD Linier Tak-Homogen. Untuk kasus n=1 disebut PD Linier Orde 1 dan untuk n=2 disebut PD Linier Orde 2.

$a_n(x) $ menyatakan fungsi ke-n dalam variabel x, yang dalam hal ini berkedudukan sebagai koefisien. Apabila $a_n(x)$ fungsi konstan maka disebut PD Linier dengan Koefisien Konstan.

Misal diberikan fungsi $y=sin \ x - cos \ x+1$. Bila dilakukan penurunan sebanyak dua kali, yakni $y'=cos  \ x+ sin \ x $ dan $y"=-sin \ x+ cos \ x $ diperoleh hubungan $y"+y=1$ (PD Linier tak Homogen orde 2 dengan koefisien konstan).

Cara memperoleh hubungan tersebut, telah dibahas pada tulisan Pengantar Persamaan Diferensial mengenai bagaimana menyusun persamaan diferensial biasa.

Fungsi $y=sin  \ x - cos \ x +1$ disebut solusi PD $y"+y=1$. Pertanyaan yang muncul kemudian adalah jika diberikan suatu PD linier orde n, bagaimana cara mendapatkan solusinya?

Penyelesaian PD Linier orde n, kita bahas terpisah pada tulisan lain dengan memberikan judul tersendiri dalam dua bahasan, yaitu bagaimana menyelesaikan PD Linier Orde 1 dan PD Linier Orde 2. Silahkan baca selanjutnya berikut ini.
  1. Persamaan Diferensial Tingkat 1 ✔
  2. Persamaan Diferensial Tingkat 2

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Kita sudah membahas Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas. Pada tulisan tersebut dijelaskan bahwa dalam pemodelan fenomena perubahan dunia nyata, syarat awal sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syarat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, membentuk persamaan diferensial.

Pada tulisan kali ini, kita akan membahas pengertian persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linier dan tak linier beserta dengan contoh soalnya.

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil $y(x)$ suatu fungsi dengan y disebut variabel tak bebas dan $x$ variabel bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:

$F(x, \ y, \ y", \ ... \ y^{(n)})=0$

Order dari suatu PDB didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Derajat dari suatu PD adalah pangkat tertinggi dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam PD.

Contoh: 
  1. $1+ ( \frac{dy}{dx} )^2 = 3 \frac{d^2y}{(dx)^2}$ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.
  2. $x (y")^3+(y')^4-y=0$ adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.
Pengertian Persamaan Linier dan Tidak Linier

Suatu PD adalah linier jika dan hanya jika setiap suku persanaan yang memuat variabel terikat atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat 1. 

Contoh:
  1. $y"+4xy'+2y=cos \ x $ adalah PD biasa, linier, dan berorde 2.
  2. $y"+4yy'+y'+2y=cos \ x$ adalah PD tidak linier karena memuat $yy'$.
  3.  $\frac {d^2u}{(dx)^2}+ \frac {dv}{dt}+u+v=sin \ (u)$ adalah PD parsial, linier dalam v, tetapi tidak linier dalam u karena ada fungsi $sin \ (u) $. Jadi, PD tersebut tidak linier.
  4. $\frac {d^2x}{(dt)^2}+ \frac{dy}{dt}+xy =sin \ (t) $ adalah linier dalam setiap variabel tak bebas x dan y tetapi tidak linier dalam himpunan {x, y}. Jadi, PD tersebut tidak linier.
Untuk bacaan selanjutnya silahkan menuju ke Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n.

Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas

Melanjutkan tulisan sebelumnya dengan judul Pengantar Persamaan Diferensial. Kita akan membahas pada kesempatan ini, Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.

Misalkan diberikan PD: $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ dengan $a_2(x)$, $a_1(x)$, $a_0(x)$ dinamakan koefisien-koefisien dapat sebagai fungsi dari x atau konstanta; dan r(x) merupakan fungsi kontinu pada $a \le x \le b $ dengan $a_2 \neq 0$. Jika PD tersebut mempunyai syarat awal:
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
Maka bentuk
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
disebut sebagai Masalah Syarat Awal.

Jika PD dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada interval $a \le x \le b $, misalkan y(a)=A dan y(b)=B maka disebut sebagai Masalah Syarat Batas yang disajikan dalam bentuk:
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (a)=A$ dan $y(b)=B$

Dalam pemodelan fenomena perubahan di dunia nyata, syarat awal ini sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syatat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, model matematikanya berbentuk persamaan diferensial.

Masalah syarat awal selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syatat awal. Adapun untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak ada solusi.

Misalnya $y_1(x)$ dan $y_2(x)$ merupakan dua solusi yang bebas linier dari persamaan $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ seperti $y_p $ merupakan solusi khususnya maka solusi umumnya berbentuk $y_p (x)=C_1y_1 (x)+C_2 y_2 (x)+y_p (x) $.

Dengan menggunakan sistem batasnya, maka:
$y (a)=C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a) \\  <=> C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a)=A $
$y (b)=C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b) \\ <=> C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b)=B $

Dari sini,
$C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)=A-y_p (a)$
$C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)=B-y_p (b)$

Kedua persamaan di atas membentuk sistem persamaan linier nonhomogen dalam $C_1$ dan $C_2$ yang mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak punya solusi.

Baca selanjutnya Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier.

Pengantar Persamaan Diferensial Biasa

Pengantar Persamaan Diferensial  Biasa
Persamaan Diferensial Biasa (PDB) merupakan salah satu mata kuliah yang pernah penulis pelajari. Penulis ingin berbagi catatan tentang materi Persamaan Diferensial Biasa. Bagi kalian yang ingin mengikuti catatan-catatan ini silahkan untuk melihatnya pada kategori Persamaan Diferensial.


1. Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dan derivatif-derivatifnya. Jika pada persamaan tersebut, hanya terdapat satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial biasa (PDB) dan jika lebih dari satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial parsial (sebagian).

2. Membentuk Persamaan Diferensial

Jika diketahui suatu fungsinya maka untuk membentuk persamaan diferensialnya, turunkan sampai orde (tingkat) ke banyaknya konstanta yang termuat dalam fungsi dan kemudian mengeliminasi konstanta-konstanta berdasarkan banyaknya konstanta+1 persamaan.

Misalnya diberikan fungsi $y=A sin \ 3x + B cos \ 3x $. Kita akan membentuk persamaan diferensial dari fungsi tersebut. Perhatikan bahwa fungsi tersebut memuat dua konstanta A dan B.

Pertama, kita turunkan y terhadap x sampai turunan kedua karena terdapat dua konstanta yang ingin kita hilangkan yang termuat dalam fungsi, yaitu A dan B.

$y=A sin \ 3x + B cos \ 3x \ .... (1)$
$\frac{dy}{dx} = 3A cos \ 3x - 3B sin \ 3x \ .... (2)$
$\frac{d^2y}{(dx)^2} = -9A sin \ 3x - 9B cos \ 3x \ .... (3)$

Kedua, kita mengeliminasi konstanta A dan B dengan menggunakan pers 1 dan 3, sehingga kita peroleh:

$\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$

Jadi, persamaan diferensial rumpun kurva tersebut adalah  $\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$ atau bisa juga ditulis dengan $y"+9y=0$

3. Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Menyelesaikan persamaan diferensial adalah menemukan  $y=f(x)$ yang memenuhi suatu PD dan inilah yang disebut sebagai solusi PD.

a. Solusi Umum: Sebuah solusi yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit yang memuat semua solusi yang mungkin atas suatu domain. Solusi umum ini memuat n konstanta sebarang.

b. Solusi Khusus: Solusi yang tidak memuat konstanta sebarang.

c. Solusi Singular: Dalam beberapa kasus terdapat solusi lain dari peraamaan yang diberikan oleh solusi tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstanta dari solusi umum.

Catatan: Konstanta sebarang dilambangkan dengan C atau k.

Demikian pembahasan singkat ini, semoga dapat dipahami. Baca selanjutnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.
math websites for elementary students online math tutor i need help with my math homework math tutor elementary math websites cool math i need to solve a math problem interactive math websites for elementary students math websites for all grades math games online for adults best math help websites math games com go math login math tutor website top math websites for elementary students online math sites for elementary coolmath3 cool math games puzzles and more cool math website think through math coolmath com https cool math help math program online math software cpm math mths website all levels of math
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design