Belajar Matematika Online

Tampilkan postingan dengan label Pra-Kalkulus. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Pra-Kalkulus. Tampilkan semua postingan

Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi

Tidak sedikit mahasiswa yang tidak memahami konsep fungsi. Akibatnya, ia gagal faham dan kesulitan dalam memahami konsep kalkulus. Semua bahasan dalam kalkulus tidak terlepas dari yang namanya fungsi, yakni limit fungsi, turunan fungsi, dan integral fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi transenden. Fungsi yang dibicarakan adalah fungsi real yaitu fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real.

Fokus dalam memahami konsep kalkulus adalah fokus dalam pembelajaran kalkulus. Ridgon dalam pengantar buku kalkulus mengatakan bahwa fokus buku kalkulus tersebut ditulis adalah fokus pada pemahaman konsep kalkulus. Sehingga, penting memahami konsep dari fungsi yang merupakan materi pra-syarat mempelajari kalkulus. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan fungsi? Ketika merekontruksi rumus integral rienman yang digunakan adalah konsep fungsi untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Sangat penting menguasai dasar-dasar sebelum masuk pada matakuliah kalkulus bukan? Untuk itu, marilah mencermati masalah berikut ini yang merupakan sebuah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang semoga dapat memudahkan kita untuk memahami konsep fungsi.

Misalkan A himpunan usaha yaitu A={$w_1, w_2, ..., w_n$} dan B={sukses, gagal}. Adakah hubungan antara himpunan A ke himpunan B? Suatu usaha hanya memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses atau gagal. Hasil yang dicapai merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Karena setiap usaha yang dilakukan hanya ada satu hasil, sukses ataukah gagal (tidak mungkin keduanya), maka relasi "hasil yang dicapai" dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi, mengapa? Untuk menjawabnya , berikut ini diberikan pengertian fungsi.

Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.

$f: X \rightarrow Y$

Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika $x \in X $, maka $y \in Y$ yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={$ y \in Y$ : $y=f(x) \forall x \in X$}. Dalam istilah lain, $x \in X$ disebut variabel bebas dan $y \in Y$ disebut variabel tak bebas.

Definisi Fungsi Formal

Misalnya $f: X \rightarrow Y$, f adalah fungsi jika dan hanya jika $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$.

Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika $f(x)=x^3-4$ maka $f(1)=1^3 -4=-3$.

Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.

Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.

Demikian tulisan ini, semoga bermanfaat.

Desimal, Kalkulator, dan Penaksiran

Kita telah membahas bilangan real adalah objek dari kalkulus. Tentu memahami refresentasi bilangan real akan mencerahkan dalam kuliah kalkulus kita. Kali ini kita akan membahas desimal, kalkulator, dan penaksiran.

Bilangan Desimal.

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Karena hasil bagi dua bilangan bulat akan diperoleh suatu desimal. Misalnya, 3/8=0,375. Bilangan-bilangan tak-rasional ternyata dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal. Contohnya adalah akar 2=1,4142135623... . Apakah yang membedakan dari keduanya?

Bilangan Rasional atau Tak-Rasional?

Apabila bilangan desimal itu berakhir maka pasti ia bilangan rasional. Contohnya 0,375 yang merupakan hasil dari 8 dibagi 3. Namun, apabila bentuk desimalnya tak berakhir maka ada dua kasus yang harus diperhatikan, yaitu apakah ia berulang atau tak berulang.

0,375 sebenarnya dapat dinyatakan sebagai desimal berulang yakni 0,375000... . Jadi, setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Pertanyaannya, apakah setiap bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional? Jawabannya ialah benar. Perhatikanlah contoh berikut ini!

Tunjukkan bahwa x=0,136136... merupakan bilangan rasional!

Peny: Kita kurangkan x dari 1000x kemudian selesaikan untuk x diperoleh:
(1000x-x)=(136,136136...) - (0,136136...)
<=> 999x=136
<=> x=136/999 (Terbukti)

Adapun bilangan tak-rasional merupakan anti dari bilangan rasional sehingga bilangan yang tak berulang bukan merupakan bilangan rasional. Contohnya 0,101001000100001... bukan merupakan bilangan rasional karena tidak berulang menurut suatu daur yang tetap seperti pada 0,136136136... . Sudah jelaskan perbedaannya?

Kalkulator dan Penaksiran

Kalkulator sangat penting dimiliki dalam kuliah kalkulus. Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma). Jika mampu, kami rekomendasikan versi grafik karena akan banyak dijumpai penggunaan kalkulator dalam penyelesaian soal-soal kalkulus. Lakukan perhitungan yang mudah tanpa memakai kalkulator, khususnya jika dapat menghasilkan jawaban yang sebenarnya. Namun, dalam perhitungan yang rumit dianjurkan penggunaan kalkulator tetapi dengan cara yang benar.

Dalam menghadapi suatu soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh akan dengan gembira menekan sedikit tombol kalkulator dan melaporkan jawaban, tanpa menyadari bahwa tanda kurung yang hilang atau jari yang terlewat telah merusak jawaban secara total. Mahasiswa yang teliti dengan kepekaan bilangan akan menekan tombol-tombol yang sama, segera mengenali jawaban menyimpang (terlalu besar atau terlalu kecil) dan menghitung ulang secara benar. Sehingga, penting untuk mengetahui bagaimana membuat taksiran dalam hati untuk mengetahui jawaban yang diharapkan.

Urutan dan Sifat-Sifat/Aksioma Urutan dalam Bilangan Real

Urutan dalam bilangan real menyatakan suatu relasi ketaksamaan bilangan real lebih besar dari $( > )$ atau kurang dari $( < )$. Pada sistem garis bilangan real semakin ke kanan semakin besar dan semakin ke kiri semakin kecil. Contoh 0 < 0,5 < 1 artinya dalam garis bilangan real 1 berada di sebelah kanan 0,5 dan 0 berada disebelah kiri 0,5.

Beberapa sifat atau aksioma urutan yang harus diketahui untuk mempelajari kalkulus adalah:

1) Sifat Trikotomi

Menyatakan jika x dan y adalah bilangan-bilangan real, maka ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi (tidak sekaligus) yaitu x < y atau x=y atau x > y.

2) Ketransisitifan

Menyatakan jika x < y dan y < z mengakibatkan $x < z$

3) Penambahan

Menyatakan jika x < y dan z sebarang bilangan real maka $x+z < y+z$

4) Perkalian

Menyatakan jika x < y dan z bilangan real positif maka $xz < yz$ dan jika z bilangan real negatif maka $xz > yz$

Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang

Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang
Daftar Isi:

1. Koordinat Cartesius   
2. Rumus Jarak                
3. Persamaan Lingkaran
4 .Rumus Titik Tengah    


1. Koordinat Cartesius

Koordinat cartesius adalah perpotongan anatara dua garis real mendatar (sumbu-x) dan garis real tegak (sumbu-y) pada titik asal O(0,0) yang perpotongan tersebut membagi empat daerah yang disebut kuadran-kuadran yang diberi label I, II, III, dan IV. Misalkan pada sebuah titik P pada bidang yang dinyatakan dengan sepasang bilangan terurut , itu dinamakan koordinat-kordinat kaetesiusnya. P(3,5), dimana 3 adalah koordinat -x (absis) dan 5 adalah koordinat-y (ordinat)



2. Rumus Jarak

Bagaimana menghitung jarak antara dua titik pada bidang? Misalkan kita ingin mencari jarak antara titik A dan B dengan $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Dari gambar diketahui bahwa panjang AB' adalah $|x_2-x_1|$ dan panjang BB' adalah $|y_2-y_1|$ maka untuk menghitung jarak antara A dan B kita gunakan rumus Teorema Phythagoras yaitu:
 $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$


Contoh: Carilah jarak antara P(-2,3) dan Q(4,-1)!
Solusi:
$d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-3)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{(6)^2+(-4)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{36+16}$
$d(P,Q)=\sqrt{52}$

3. Persamaan Lingkaran

a. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

b. Persamaan Lingkaran


Secara lebih umum,lingkaran berjari-jari r dan pusat (a,b) mempunyai persamaan:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 
Persamaan baku lingkaran tersebut diperoleh dari sebuah rumus jarak. Misalkan S(a,b) dan P(x,y) maka:

$d(S,P)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
$r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
$r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$

Contoh: Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 5 dan pusat (1,-5)!
Solusi:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$(x-1)^2+(y-(-5))^2=5^2$
$(x-1)^2+(y+5)^2=25$

Pertanyaan: Apakah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ juga merupakan bentuk persamaan lingkaran?
Solusi:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
 $(x^2+Ax)+(y^2+By)+C=0$
 $(x^2+Ax+(\frac{A}{2})^2)+(y^2+By+(\frac{B}{2})^2+C=(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2$
$(x+\frac{A}{2})^2+(y+\frac{B}{2})^2=(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C$

Bentuk terakhir ini disebut sebagai bentuk baku persamaan lingkaran (terbukti) dengan pusat
$(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})$ dengan jari-jari $r=\sqrt{(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C}$

Contoh: Perlihatkan bahwa persamaan $x^2-2x+y^2+6y=-6$ menyatakan sebuah lingkaran dan tentukan pusat dan jari-jarinya!
Solusi:
$(x^2-2x)+(y^2+6y)=-6$
 $(x^2-2x+(\frac{-2}{2})^2)+(y^2+6y+(\frac{6}{2})^2=-6+(\frac{-2}{2})^2+(\frac{6}{2})^2$
$(x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=-6+1+9$
$(x-1)^2+(y+3)^2=4$
Jadi pusat $(1,-3)$ dan jari-jari=$\sqrt{4}=2$

4. Rumus Titik Tengah

Tinjau dua titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ dengan $x_1 < x_2$, perhatikan bahwa:
$x_1+\frac{1}{2}(x_2-x_1)=x_1+\frac{1}{2}X_2-\frac{1}{2}x_1$
$=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}X_2$
$=\frac{x_1+x_2}{2}$
Kesimpulan: Titik tengah potongan garis $A(x_1,y_1)$ ke $B(x_2,y_2)$ mempunyai koordinat $P(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

Contoh: Tentukan titik tengah antara (1,3) dan (7,11)!
Solusi:
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
$(\frac{1+7}{2},\frac{3+11}{2})$
$(\frac{8}{2},\frac{14}{2})$
$(4,7)$

Referensi: Kalkulus I Purcel

KETAKSAMAAN

KETAKSAMAAN
Daftar Isi:

1. Penulisan Selang (Interval)
2. Menyelesaikan Ketaksamaan
a. Bentuk Liear
b. Bentuk Kuadrat
c. Bentuk Pecahan
d. Nilai Mutlak  

1. Penulisan Selang (Interval)
Untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan berarti kita mencari semua hipunan bilangan yang membuat ketaksamaan berlaku. Himpunan penyelesaian itu berupa suatu selang. Adapun penulisannya, sbb:
 

2. Menyelesaikan Ketaksamaan  
A. BENTUK LINEAR 
Bentuk linear yaitu hanya mempunyai variabel berpangkat 1 dan jika digambarkan dalam sebuah grafik berupa garis lurus. 
Contoh: Selesaikan x-7 < 2x-5 ! 
Penyelesaian: $x - 7 < 2x -5 \\ x -2x=-5+7 \\ -x<2 \\ x>-2$

B. BENTUK KUADRAT 
Fungsi kuadrat berbentuk $ax^2 +bx+c$ dengan $a \neq 0$ 
Contoh: Selesaikan $x^2 -x < 6$ ! 
Penyelesaian: $x^2 - x < 6 \\ x^2 -x - 6 < 0 \\ (x-3)(x+2)<0 \\ x-3<0 \quad atau \quad x+2>0 \\ x<3 \quad atau \quad x<-2$
jadi HP={x: -2< x <3}.Catatan: misalkan a.b <0 maka a<0 atau b>0 dimana b>a.


C. BENTUK PECAHAN 
Bentuk umum: $\frac{A(x)}{B(x)}$ < $\frac{C(x)}{D(x)}$, tanda < bisa diganti dengan tanda pertidaksamaan lain. Adapun cara menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan adalah:
  • Nyatakan persamaan sehingga di dapat salah satu ruasnya menjadi 0 (nol), yaitu: $\frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{D(x)} < 0$
  • Sederhanakan ruas kiri, misal diperoleh $\frac{p(x)}{q(x)} <0$
  • Tentukan titik-titik pemecah. Titik pemecah adalah nilai yang menyebabkan 0
  • Ujilah titik-titik pada setiap selang dari titik-titik pemecah dan himpunan penyelesaiannya adalah interval yang membuat ketaksamaan berlaku.
Contoh: Selesaikan  $\frac{x-2}{x-1} > \frac{x+3}{x+1}$! 
Penyelesaian: $\frac{x-2}{x-1} > \frac{x+3}{x+1} \\ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x+3}{x+1}>0 \\ \frac{-3x+1}{(x-1)(x+1)}>0$ 
Jadi titik-titik pemecahnya adalah -1, 1/3, dan 1 
Uji titik pada selang $(-\infty, -1)$ diperoleh hasil positif atau >0 ... (i) 
Uju titik pada selang $(-1 , 1/3 )$ diperoleh hasil negatif atau <0 ... (ii) 
Uji titik pada selang $(1/3, 1)$ diperoleh hasil positif atau >0      ... (iii) 
Uji titik pada selang $(1, \infty)$ diperoleh hasil negatif atau <0   ... (iv) 
 Dengan demikian berdasarkan hasil titik uji tersebut kita simpulkan bahwa HP-nya adalah $(- \infty, -1) \cup (1/3, 1)$  
D. NILAI MUTLAK 
Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan dengan |x| didefinisikan sebagai :
|x| = x jika x  > 0 atau x=0
|x| = -x jika x < 0 atau x=0

Sifat-sifat nilai mutlak
  1. Jika |x| < p maka himpunan penyelesaiannya -p < x < p,    p > 0
  2. Jika |x| > p maka himpunan penyelesaiannya x < -p atau x > p,    p>0
  3. Jika |f(x)| < p maka himpunan penyelesaiannya -p < f(x) < p,    p > 0
  4. Jika |f(x)| > p maka himpunan penyelesaiannya f(x) < -p atau f(x) > p,    p>0
  5. |x| = $\sqrt{x^2}$
  6. Jika |f(x)|<|g(x)| maka ekuivalen dengan [f(x)]² < [g(x)]²
  7. Jika |f(x)|>|g(x)| maka ekuivalen dengan [f(x)]² > [g(x)]²
  8. \mid (a+b) \mid \ge \mid a \mid - \mid b \mid ; \mid (a+b) \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid ; \mid (a-b) \mid \ge \mid a \mid - \mid b \mid ;
    \mid (a-b) \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid ;
  9. \mid ab \mid = \mid a \mid \, \mid b \mid ;
    \mid \frac{a}{b} \mid = \frac{\mid a \mid}{\mid b \mid} , b \ne 0 ;
Contoh: Selesaikan |3x-5| < 1 ! 
Berdasarkan sifat ke-1 maka penyelesaiannya adalah
 3x - 5 < -1 atau 3x - 5 > 1
3x < 4 atau 3x > 6
x < 4/3 atau x > 2

Himpunan Bilangan Real

Bilangan Real atau bilangan nyata dinotasikan dengan R ( r besar ) dari kata Real (nyata). Bilangan real terdiri dari sub-sub himpunan yang disebut himpunan bagian dari bilangan real. Adapun Himpunan Bagian Bilangan Real adalah sebagai berikut:

1. Bilangan Irasional

Suatu bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b tidak samadengan 0 (nol). Contoh: etc.

2. Bilangan Rasional

Suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dengan b tidak sama dengan 0. Contoh: 1, 2, 3, 5, 1/2, 1/3, dsb.
Bilangan rasional terdiri dari :

3. Bilangan Pecahan

4. Bilangan Bulat

Bilangan Bulat terdiri dari :

5. Bilangan Cacah ( Bilangan nol dan Bilangan Asli atau Bilangan Bulat Positif)

Bilangan Asli terdiri dari :

6. Bilangan Genap

Bilangan genap adalah suatu bilangan bulat yang dapat dinyatakan sebagai 2n atau bilangan bulat yang dapat dibagi 2. Contoh: 2, 4, 6, 8, dsb.

7. Bilangan Ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2. Contoh: 1, 3, 5, 7, ...

8. Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor atau pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, dsb.

9. Bilangan Komposit adalah bilangan yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima. Contoh: 4, 6, 8, 9, dst.

Sifat-Sifat Operasi Dasar Matematika

Sifat-sifat operasi dasar matematika sama artinya dengan sifat-sifat operasi hitung bilangan. Dalam matematika operasi dasar bilangan dikenal dengan Aritmatika Dasar berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dapat bermanfaat untuk menunjang kemampuan dan pemahaman adik-adik dalam berhitung. Karena dengan kita mengetahui Sifat-sifat operasi hitung bilangan kita dapat menyederhanakan perhitungan dan dapat menghitung bilangan sesuka kita yang mudah untuk dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh: 1+2+3+4=berapa ?

1+2=3, 3+3=6, 6+4=10. Aku tahu jawabannya 10 hehe aku pintar kan.

Kamu pintar Labio, tapi dapatkah Labio menjawab pertanyaan saya:

1+2+3+4+5+6+7+6+9+...+100???

Mungkin Labio tidak bisa dengan mudah menjawab pertanyaan saya jika tidak menggunakan Sifat Komutataif pada penjumlahan.

Oke Labio simak dulu pembahasan saya !

1. Sifat Komutatif

2+5=7 dan 5+2=7 berarti 2+5 sama saja nilainya dengan 5+2.

2x5=10 dan 5x2=10 berarti 2x5 sama saja nilainya dengan 5x2

Sehingga yang dimaksud dengan Sifat Komutautif ialah:

a+b=b+a
axb=bxa

Apakah sifat komutatif berlaku juga pada pengurangan dan pembagian ?
4-2=2 dan 2-4=-2 (tidak sama)
4:2=2 dan 2:4=0,5 (tidak sama)
Jadi Sifat Komutatif hanya berlaku pada penjumlahan dan perkalian saja.

2. Sifat Asosiatif

(2+3)+5
=(5)+5
=10, dan

2+(3+5)
=2+(8)
=10, berarti (2+3)+5=10 sama nilainya dengan 2+(3+5)=10.

(2x3)x5
=6 x 5
=30 ; dan

2(3x5)
=2 x 15
=30 ; Berarti (2x3)x5 sama nilainya dengan 2x(3x5)

Sehingga Sifat Asosiatif menyatakan:
(a+b)+c=a+(b+c)
(a x b) x c=a x (b x c)

Labio coba kamu tes pada operasi pengurangan dan pembagian pasti tidak berlaku.

3. Sifat Distributif

Labio saya malas ini menjelaskan lagi, kamu cari sendiri saja contonya nah. Ini nih yang dimaksud dengan Sifat Distributif.
a(b+c)=a.b+a.c
a(b-c)=a.b-a.c

Apami contohnya Labio, kamu koment saja di bawah nanti. Sampai disini saja dulu, tapi saya mau kasih kamu beberapa sifat dan arti dari sifat-sifat tersebut dibawah ini untuk menjadi pengetahuan barumu.

Sifat Tertutup adalah apabila semua jawaban dari proses operasi masih merupakan dari anggota himpunan semula.

Unsur idenntitas penjumlahan adalah 0 sedangkan unsur identitas perkalian adalah 1.

Identitas Penjumlahan ialah apabila suatu bilangan ditamba dengan 0 maka hasilnya bilangan itu sendiri.

Identitas Perkalian ialah apabila suatu bilangan dikali dengan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Invers atau Kebalikan
Invers Penjumlahan adalah lawan (negatif) dari bilangan sedangkan Invers Perkalian adalah kebalikan dari bilangan itu.
Contoh: Invers Penjumlahan dari 2 adalah -2 sedangkan Invers Perkalian dari 2 adalah 1/2.

Sifat Komutatif adalah perubahan urutan tidak mempengaruhi hasil atau dengan kata lain hasilnya sama saja.

Sifat Asosiatif adalah perubahan pada pengelompokkan dalam kurung tidak mempengaruhi hasil.

Sifat Distributif adalah proses penyebaran bilangan yang ada diluar kurung kesetiap komponen di dalam kurung.

Cara Menentukan Titik Potong Grafik

Assalamu'alaikum, lama tidak posting materi di blog ini, karena akses internet saya terganggu. Kali ini saya akan menulis artikel tentang Cara Menentukan Titik Potong Grafik dari dua grafik persamaan atau pada sumbu koordinat x dan y.

A. Cara Menentukan Titik Potong Grafik pada sumbu-sumbu koordinat

yaitu dilakukan dengan memisalkan x=0 untuk mendapatkan perpotongan grafik pada sumbu-y dan memisalkan y=0 unruk mendapatkan perpotongan grafik pada sumbu-x.

Contoh: Tentukan perpotongan grafik y=2x+2 pada sumbu-sumbu koordinat cartesius !
Jawab:

misalkan x=0 disubsitusikan ke persamaan y=2x+2 maka grafik memotong sumbu y pada
y=2 <=> y=2(0)+2
y=0+2
y=2
Misalkan y=0 disubsitusikan ke persamaan y=2x+2 maka grafik memotong sumbu x pada
x=-1 <=> 0=2x+2
<=> 2x+2=0
2x=-2
x=-2/2=-1

B. Cara Menentukan Titik Potong antara Dua Grafik

misalkan ada dua grafik persamaan y=f(x) dan y=g(x)untuk mendapatkan perpotongan kedua grafik tersebut dilakukan dengan cara menyulingkan persamaan tersebut, yaitu:

y=y
f(x)=g(x)
Sehingga kita menemukan nilai x sebagai perpotongan kedua grafik tersebut sekaligus nilai y, dengan titik (x,y)
Contoh: Tentukan perpotongan grafik y=2x+2 dan y=x !
Jawab:
y=y
<=> 2x+2=x
<=>2x+2-x=0
<=>x+2=0
<=>x=-2
untuk x=-2 maka y=-2 (y=x)
jadi perpotongan grafik tersebut yaitu pada titik (-2,-2)

Demikianlah Cara Menentukan Titik Potong Grafik pada sumbu koodinat atau antara dua grafik. Semoga membantu....

Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus

Dalam mempelajari kalkulus terdapat teorema-teorema yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal. Teorema merupakan hasil penting dalam matematika yang telah terbukti kebenarannya, misalkan teorema yang terkenal yaitu Teorema Phytagoras yang berusaha untuk menjawab permasalahan tentang panjang suatu sisi miring segitiga. Apabila sesuatu pernyataan yang belum terbukti kebenarannya disebut sebagai konjektur. Konjektur yang telah terbukti naik status menjadi teorema.

Pada umumnya sebuah teorema itu ditandai dengan kata " jika p maka q " atau ditulis " p -> q". Dalam logika matematika, p sebagai hipotesis dan q sebagai kesimpulan, atau p adalah syarat cukup untuk menyimpulkan q. Bagi mahasiswa matematik adalah tugas kita untu dapat membuktikan teorema-teorema yang ada dalam kalkulus. Bagaimana cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus?

Ada beberapa cara dalam membuktikan teorema yang berbentuk "Jika p maka q", tersebut :

1. Bukti Langsung
2. Bukti Tak Langsung
3. Bukti dengan Kontradiksi

Contoh:
Buktikan bahwa ∫ 0 dx=C
  • Bukti Langsung
Menurut definisi bahwa :
∫ f(x) dx=F(x)+c 
Dengan f(x) =integran, c konstanta dan F'(x)=f(x)
F'(x) : Turunan pertama fungsi F(x)

Dari definisi tersebut dapat ditunjukkan bahwa turunan suatu bilangan konstanta adalah nol(0)
  • Bukti Tak Langsung
Untuk membuktikan teorema di atas kita hanya memanfaatkan bahwa :
p→q ekuivalen ∼q→∼p
Jadi jika kita telah mampu menunjukkan  ∼q→∼p bernilai benar maka secara tidak langsung kita telah membuktikan kebenaran dari p→q. Kita hanya perlu merubah ∫ 0 dx=C dalam bentuk teorema yaitu :


"Jika f(x) adalah 0 maka integralnya adalah suatu konstanta C" atau setara dengan " jika integral suatu fungsi misalkan f(x) adalah bukan C (variabel x) maka f(x) bukan 0 "
Misalkan ∫ f(x) dx=F(x)+c dimana F(x) bukan fungsi konstan, karena turunan dari fungsi bukan konstan adalah bukan nol maka menurut definisi F'(x)=f(x) tidak sama dengan nol..

Dengan demikian kita telah menunjukkan kebenaran teorema " jika integral suatu fungsi misalkan f(x) adalah bukan C (variabel x) maka f(x) bukan 0 " sekaligus "Jika f(x) adalah 0 maka integralnya adalah suatu konstanta C".

Oke, demikian dulu untuk Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus. Pembuktian dengan kontradiksi akan saya posting pada artikel selanjutnya.

  

Sifat-Sifat/Aksioma Medan Pada Bilangan Real

Pada postingan sebelumnya, kita telah membahas masalah pentingnya menguasai sistem bilangan real untuk mempelajari matakuliah kalkulus. Baca Sistem Bilangan Real Bagi kalkulus ! Karena Sistem bilangan Real merupakan karakter utama dalam kalkulus.


Kali ini kita akan membahas masalah Sifat-Sifat/Aksioma Medan pada bilangan real yang berlaku pada aritmatika dasar. Aritmatika Dasar yang dimaksud adalah penjumlahan(+), pengurangan(-), perkalian(x), dan pembagian( : ) . Sifat-sifat ini berguna dalam menyederhanakan operasi-operasi dasar aritmatika. Adapun Sifat-Sifat Aksioma Medan Pada Bilangan Real tersebut adalah sebagai berikut:

1. Sifat Komunikatif yaitu suatu sifat yang kedudukan bilangan tidak mempengaruhi hasil. sifat ini berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian.
x+y=y+x dan x.y=y.x
Contoh: 2+3=3+2=5 dan 2.3=3.2 =6

2.Sifat Distributif hanya berlaku jika terdapat dua operasi sbb:
X(Y+Z)=XY+XZ dan X(Y-Z)=XY-XZ
Contoh :
2(3+6)=2.3+2.6
=6+12=18
Akan sama hasilnya dengan 2(3+6)=2.9=18

3. Sifat Asosiatif yaitu suatu sifat yang urutan pengerjaaan yang mana duluan tidak mempengaruhi hasil. Sifat ini hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian.
x+(y+z)=(x+y) dan x(yz)=(xy)z
4. Elemen-Elemen Identitas
0 adalah elemen identitas penjumlahan artinya bilangan real apapun yang ditambahkan dengan 0 misalkan x+0 adalah dirinya sendiri yaitu suatu x dan 1 adalah elemen identitas perkalian berarti bilangan real apapun yang dikalikan dengan 1 adalah juga dirinya sendiri

5. Balikan (invers)
Untuk setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan atau invers adidif yaitu -x yang memenuhi x+(-x)=0 juga mempunyai balikan perkalian (kebalikan) yaitu 1/x yang memenuhi x. 1/x=1

sumber: Kalkulus Purcell Jilid 1

Jika ada yang ingin ditanyakan tentang Sifat-Sifat/Aksioma Medan Pada Bilangan Real silahkan meninggalkan komentar.

Sistem Bilangan Real Bagi Kalkulus

Apa sebabnya kita harus mempelajari sistem bilangan real dalam mempelajari kalkulus? Karena bilangan real meupakan karakter utama dalam kalkulus. Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Lalu apa sajakah sifat-sifat dari bilangan real tersebut? Yaitu sifat-sifat medan dan sifat-sifat urutan. Bilangan real terdiri dari blangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real dapat mengukur panjang bersama-sama negatifnya dan nol. Bila kita hanya menggunakan bilangan bulat saja untuk mengukur panjang, berat, dan tegangan listrik itu tak memadai dan terlalu renggang untuk memberikan cukup kecermatan. Kita juga dituntut untuk menggunakan hasil bag i(rasio) bilangan bulat. Tetapi apakah semua blangan rasional bisa mengukur semua panjang? Tentu tidak, fakta yang mengejutkan ditemukan oleh orang Yunani kuno beberapa abad SM bahwa meskipun √2 merupakan panjang sisi miring miring sebuah sisi segitiga siku-siku dengan sisi-sisi lainnya 1 tetap bilangan ini bukannlah bilangan rasional karena tidak dapat dibentuk kedalam a/b dengan tidak sama dengan 0.

Bilangan-bilangan real ini  dapat dipandang sebagai label untuk sekumpulan titik-titik sepanjang garis bilangan. meskipun kita tidak mungkin memperlihatkan semuanya tapi tiap titik memang mempunyai label tunggal bilangan real yang disebut koordinat kutub.

Adapun himpunan bagian bilangan dari bilangan real yaitu:
N⊂ Z⊂ Q ⊂ R
Dengan:
⊂: Himpunan bagian
N: Bilangan Asli
Z: Bilangan Bulat
Q: Bilangan Rasional
R: Bilangan Real

Untuk anggota dari himpunan bilangan yaitu:
  • Anggota himpunan bilangan asli yaitu 
N={1,2,3,..}
  • Anggota himpunan bilangan bulat yaitu
Z={ . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
  • Anggota himpunan bilangan rasional yaitu mencakup bilangan bulat dan bilangan pecahan
  • Anggota himpunan bilangan real meliputu semua bilangan di atas.
Demikian untuk sistem bilangan real dan himpunan bilangan semoga membantu
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design
Kirim Pesan atau Soal
×
_

Hai, Kamu bisa kirim pesan atau PR Matematikamu ke Admin, di sini! Jangan lupa like halaman admin ya, terima kasih!