Belajar Matematika Online

IXL Math On IXL, math is more than just numbers. With unlimited questions, engaging item types, and real-world scenarios, IXL helps learners experience math at its most mesmerizing! Pre-K skills Represent numbers - up to 5 Inside and outside Classify shapes by color Long and short Wide and narrow See all 77 pre-K skills Kindergarten skills Fewer, more, and same Read clocks and write times Seasons Count money - pennies through dimes Shapes of everyday objects I See all 182 kindergarten skills First-grade skills Counting tens and ones - up to 99 Hundred chart Subtraction facts - numbers up to 10 Read a thermometer Measure using an inch ruler See all 210 first-grade skills Second-grade skills Counting patterns - up to 1,000 Greatest and least - word problems - up to 1,000 Compare clocks Create pictographs II Which customary unit of volume is appropriate? See all 287 second-grade skills Third-grade skills Convert between standard and expanded form Count equal groups Estimate sums Show fractions: area models Find equivalent fractions using area models See all 384 third-grade skills Fourth-grade skills Addition: fill in the missing digits Divide larger numbers by 1-digit numbers: complete the table Objects on a coordinate plane Circle graphs Place values in decimal numbers See all 340 fourth-grade skills Fifth-grade skills Least common multiple Multiply fractions by whole numbers: word problems Sale prices Find start and end times: word problems Parts of a circle See all 347 fifth-grade skills Sixth-grade skills Compare temperatures above and below zero Which is the better coupon? Evaluate variable expressions with whole numbers Classify quadrilaterals Create double bar graphs See all 321 sixth-grade skills Seventh-grade skills Solve percent equations Arithmetic sequences Evaluate multi-variable expressions Identify linear and nonlinear functions Pythagorean theorem: word problems See all 289 seventh-grade skills Eighth-grade skills Write variable expressions for arithmetic sequences Add and subtract polynomials using algebra tiles Add polynomials to find perimeter Multiply and divide monomials Scatter plots See all 317 eighth-grade skills Algebra 1 skills Write and solve inverse variation equations Write an equation for a parallel or perpendicular line Solve a system of equations by graphing Solve a system of equations using substitution Rational functions: asymptotes and excluded values See all 309 Algebra 1 skills Geometry skills Triangle Angle-Sum Theorem Proving a quadrilateral is a parallelogram Properties of kites Similarity of circles Perimeter of polygons with an inscribed circle See all 221 Geometry skills Algebra 2 skills Multiply complex numbers Product property of logarithms Find the vertex of a parabola Write equations of ellipses in standard form from graphs Reference angles See all 322 Algebra 2 skills Precalculus skills Identify inverse functions Graph sine functions Convert complex numbers between rectangular and polar form Find probabilities using two-way frequency tables Use normal distributions to approximate binomial distributions See all 261 Precalculus skills Calculus skills Find limits using the division law Determine end behavior of polynomial and rational functions Determine continuity on an interval using graphs Find derivatives of polynomials Find derivatives using the chain rule I See all 97 Calculus skills Mathematics is a persistent source of difficulty and frustration for students of all ages. Elementary students spend years trying to master arithmetic. Teens struggle with the shift to algebra and its use of variables. High-school students must face diverse challenges like geometry, more advanced algebra, and calculus. Even parents experience frustration as they struggle to recall and apply concepts they had mastered as young adults, rendering them incapable of providing math help for their children. Whether you need top Math tutors in Boston, Math tutors in Detroit, or top Math tutors in Dallas Fort Worth, working with a pro may take your studies to the next level. The truth is, everyone struggles with math at one time or another. Students, especially at the high-school level, have to balance challenging coursework with the demands of other courses and extracurricular activities. Illness and school absences can leave gaps in a student’s instruction that lead to confusion as more advanced material is presented. Certain concepts that are notoriously difficult to master, such as fractions and the basics of algebra, persist throughout high school courses, and if not mastered upon introduction, can hinder a student’s ability to learn new concepts in later courses. Even students confident in their math skills eventually find a course or concept incomprehensible as they reach advanced math classes. In other words, no matter what your age or ability, everyone eventually needs help with math. Varsity Tutors offers resources like free Math Diagnostic Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider a Math tutor. Varsity Tutors is happy to offer free practice tests for all levels of math education. Students can take any one of hundreds of our tests that range from basic arithmetic to calculus. These tests are conveniently organized by course name (e.g. Algebra 1, Geometry, etc.) and concept (e.g. “How to graph a function”). Students can select specific concepts with which they are struggling or concepts that they are trying to master. Students can even use these concept-based practice tests to identify areas in which they may not have realized they were struggling. For instance, if a student is struggling with his or her Algebra 1 course, he or she can take practice tests based on broad algebra concepts such as equations and graphing and continue to practice in more specific subcategories of these concepts. In this way, students can more clearly differentiate between those areas that they fully understand and those that could use additional practice. Better yet, each question comes with a full written explanation. This allows students to not only see what they did wrong, but provides the student with step-by-step instructions on how to solve each problem. In addition to the Math Practice Tests and Math tutoring, you may also want to consider taking some of our Math Flashcards. Varsity Tutors’ Learning Tools also offer dozens of Full-Length Math Practice Tests. The longer format of the complete practice tests can help students track and work on their problem-solving pace and endurance. Just as on the results pages for the concept-specific practice tests, the results for these longer tests also include a variety of scoring metrics, detailed explanations of the correct answers, and links to more practice available through other Learning Tools. These free online Practice Tests can assist any student in creating a personalized mathematics review plan, too, as the results show which of the concepts they already understand and which concepts may need additional review. After reviewing the skills that need work, students can take another Full-Length Math Practice Test to check their progress and further refine their study plan. Once a student creates a Learning Tools account, they can also track their progress on all of their tests. Students can view their improvement as they begin getting more difficult questions correct or move on to more advanced concepts. They can also share their results with tutors and parents, or even their math teacher. Create a Varsity Tutors Learning Tools account today, and get started on a path to better understanding math!
Mau EBOOK "MATEMATIKA KU BISA"? KLIK DI SINI!
Hasil Pencarian di Blog Matematika Ku Bisa
Showing posts with label Pra-Kalkulus. Show all posts
Showing posts with label Pra-Kalkulus. Show all posts

Cara Mudah Belajar Matematika dari Dasar

Cara Mudah Belajar Matematika dari Dasar
Mencari cara mudah belajar matematika  dari dasar tentunya menjadi hal yang ingin diketahui banyak orang yang kesulitan dalam belajar matematika baik pada matematika dasar maupun lanjut.

Mengapa Matematika Sulit Dipelajari?

Banyak faktor penyebab matematika sulit dipelajari. Mungkin masing-masing orang memiliki kesulitan tersendiri. Meskipun banyak tersedia konten belajar matematika seperti ebook, buku, video, dsb., tetap saja, ada sebagian orang yang kesulitan dalam mengikuti pembelajaran tersebut. Padahal, bagi orang lain cara mengajar atau cara menjelaskan sang tutor tersebut sangat mudah untuk dipahami.

Tetapi, mengapa orang lain kesulitan?

Sekali lagi, masing-masing memiliki kesulitan tersendiri, pengetahuan, kemampuan,  dan pengalaman belajar yang berbeda-beda. Semakin banyak pengetahuan matematika seseorang maka semakin baik ia dalam belajar materi matematika yang baru. Begitu juga dengan  memiliki kemampuan yang lebih daripada biasanya dan pengalaman yang banyak.


Belajar matematika seperti sedang berlari. Dimulai dari start awalnya yaitu dari dasar. Apa yang awal kita pelajari dari matematika, tidak lain mengenal bilangan dan operasinya. Kalian harus betul-betul memahami bilangan sehingga mampu membedakan suatu anggota dari himpunan bilangan, serta mampu melakukan berbagai operasi dasar pada bilangan tersebut. Ini yang menjadi awal dalam belajar matematika dasar. Jika kalian telah menguasai ini, maka insya Allah akan  lebih mudah kelanjutannya.

Sebuah ebook tentang bagaimana kita Belajar Matematika dari Dasar. Karena menurut kami, inilah cara mudah belajar matematika karena matematika ibarat suatu bangunan yang memiliki sebuah dasar dimana semakin kokoh dasar sebuah bangunan maka bangunannya akan mampu berdiri dengan tegak dan tinggi. Dalam ebook tersebut, Anda akan:
  1. Belajar tentang bilangan dan himpunannya.✔
  2. Belajar penguasaan operasi dasar di berbagai bilangan.✔
  3. Belajar cara mengerjakan soal-soal matematika berdasarkan materi-materi terpilih yang ada dalam materi matematika SD sampai SMA.✔
  4. Belajar cara membuktikan teorema dalam matematika baik secara langsung ataupun tidak langsung dengan kaidah inferensial.✔
  5. Belajar sekilas pengantar landasan matematika berupa logika matematika, himpunan, serta relasi dan fungsi.✔

Latihan Soal Pembuktian dalam Pra Kalkulus

Berikut ini adalah soal latihan pembuktian dalam pra kalkulus di buku kalkulus purcel.

1. Buktikan bahwa $a < b \Rightarrow a < \frac{a+b}{2} < b$

2. Jika $a \le b$ maka manakah diantara berikut selalu benar?
a. $a^2 \le ab $
b. $a-3 \le b-3$
c. $a^3 \le a^2b$
d. $-a \le -b$

3. Tunjukkan bahwa akar 2 tak-rasional!

Petunjuk: Andaikan $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ $\in N$ (bukan 1) maka $2=p^2/q^2$ atau $2q^2=p^2$. Untuk menemukan suatu kontradiksi gunakan Teorema Dasar Aritmatika bahwa "kuadrat sebarang bilangan asli (selain 1) dapat dituliskan sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima". Sebagai contoh $45^2=3×3×3×3×5×5$.

4. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional!

5. Tunjukkan bahwa jika bilangan asli $m$ bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna, maka $\sqrt{m}$ tak rasional!

Itulah sedikitnya lima soal yang dapat dijadikan latihan bagi kamu dalam membuktikan.

Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi

Tidak sedikit mahasiswa yang tidak memahami konsep fungsi. Akibatnya, ia gagal faham dan kesulitan dalam memahami konsep kalkulus. Semua bahasan dalam kalkulus tidak terlepas dari yang namanya fungsi, yakni limit fungsi, turunan fungsi, dan integral fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi transenden. Fungsi yang dibicarakan adalah fungsi real yaitu fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real.

Fokus dalam memahami konsep kalkulus adalah fokus dalam pembelajaran kalkulus. Ridgon dalam pengantar buku kalkulus mengatakan bahwa fokus buku kalkulus tersebut ditulis adalah fokus pada pemahaman konsep kalkulus. Sehingga, penting memahami konsep dari fungsi yang merupakan materi pra-syarat mempelajari kalkulus. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan fungsi? Ketika merekontruksi rumus integral rienman yang digunakan adalah konsep fungsi untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Sangat penting menguasai dasar-dasar sebelum masuk pada matakuliah kalkulus bukan? Untuk itu, marilah mencermati masalah berikut ini yang merupakan sebuah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang semoga dapat memudahkan kita untuk memahami konsep fungsi.

Misalkan A himpunan usaha yaitu A={$w_1, w_2, ..., w_n$} dan B={sukses, gagal}. Adakah hubungan antara himpunan A ke himpunan B? Suatu usaha hanya memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses atau gagal. Hasil yang dicapai merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Karena setiap usaha yang dilakukan hanya ada satu hasil, sukses ataukah gagal (tidak mungkin keduanya), maka relasi "hasil yang dicapai" dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi, mengapa? Untuk menjawabnya , berikut ini diberikan pengertian fungsi.

Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.

$f: X \rightarrow Y$

Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika $x \in X $, maka $y \in Y$ yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={$ y \in Y$ : $y=f(x) \forall x \in X$}. Dalam istilah lain, $x \in X$ disebut variabel bebas dan $y \in Y$ disebut variabel tak bebas.

Definisi Fungsi Formal

Misalnya $f: X \rightarrow Y$, f adalah fungsi jika dan hanya jika $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$.

Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika $f(x)=x^3-4$ maka $f(1)=1^3 -4=-3$.

Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.

Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.

Demikian tulisan ini, semoga bermanfaat.

Desimal, Kalkulator, dan Penaksiran

Kita telah membahas bilangan real adalah objek dari kalkulus. Tentu memahami refresentasi bilangan real akan mencerahkan dalam kuliah kalkulus kita. Tidak kalah pentingnya membahas Cara Membuktikan Teorema-teorema dalam Kalkukus yang nantinya banyak kita temui. Kali ini kita akan membahas desimal, kalkulator, dan penaksiran.

Bilangan Desimal

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Karena hasil bagi dua bilangan bulat akan diperoleh suatu desimal. Misalnya, 3/8=0,375. Bilangan-bilangan tak-rasional ternyata dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal. Contohnya adalah $\sqrt{2}=1,4142135623...$. Apakah yang membedakan dari keduanya?

Bilangan Rasional atau Tak-Rasional?

Apabila bilangan desimal itu berakhir maka pasti ia bilangan rasional. Contohnya 0,375 yang merupakan hasil dari 8 dibagi 3. Namun, apabila bentuk desimalnya tak berakhir maka ada dua kasus yang harus diperhatikan, yaitu apakah ia berulang atau tak berulang.

0,375 sebenarnya dapat dinyatakan sebagai desimal berulang yakni $0,375000...$. Jadi, setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Pertanyaannya, apakah setiap bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional? Jawabannya ialah benar. Perhatikanlah contoh berikut ini!

Tunjukkan bahwa $x=0,136136...$ merupakan bilangan rasional!

Penyelesaian: Kita kurangkan  $x$ dari $1000x$ kemudian selesaikan untuk $x$ diperoleh:

$(1000x-x)=(136,136136...) - (0,136136...)$
<=> $999x=136$
<=> $x=136/999$ (Terbukti)

Adapun bilangan tak-rasional merupakan anti dari bilangan rasional sehingga bilangan yang tak berulang bukan merupakan bilangan rasional. Contohnya $0,101001000100001...$ bukan merupakan bilangan rasional karena tidak berulang menurut suatu daur yang tetap seperti pada $0,136136136...$. Sudah jelaskan perbedaannya?

Kalkulator dan Penaksiran

Kalkulator sangat penting dimiliki dalam kuliah kalkulus. Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma). Jika mampu, kami rekomendasikan versi grafik karena akan banyak dijumpai penggunaan kalkulator dalam penyelesaian soal-soal kalkulus. Lakukan perhitungan yang mudah tanpa memakai kalkulator, khususnya jika dapat menghasilkan jawaban yang sebenarnya. Namun, dalam perhitungan yang rumit dianjurkan penggunaan kalkulator tetapi dengan cara yang benar.

Dalam menghadapi suatu soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh akan dengan gembira menekan sedikit tombol kalkulator dan melaporkan jawaban, tanpa menyadari bahwa tanda kurung yang hilang atau jari yang terlewat telah merusak jawaban secara total. Mahasiswa yang teliti dengan kepekaan bilangan akan menekan tombol-tombol yang sama, segera mengenali jawaban menyimpang (terlalu besar atau terlalu kecil) dan menghitung ulang secara benar. Sehingga, penting untuk mengetahui bagaimana membuat taksiran dalam hati untuk mengetahui jawaban yang diharapkan.

Penaksiran adalah keterampilan penting yang harus dimiliki untuk menghitung sebuah soal. Kita menerka, mengira-ngira berapakah jawaban yang menghampiri dan segera membuat taksiran. 

Contohnya hitung $(\sqrt{430}+72+^3 \sqrt{7,5})/2,75$

Penyelesaian: $(20+72+2)/2 \approx 30$

Silahkan lanjut pada pembahasan Ketaksamaan.

Urutan dan Sifat-Sifat/Aksioma Urutan dalam Bilangan Real

Kita telah membahas sebelumnya Sifat-sifat/Aksioma Medan pada Bilangan Real. Lanjutan pembahasan kita adalah Urutan dan sifat-sifatnya. 

Urutan dalam bilangan real menyatakan suatu relasi ketaksamaan bilangan real lebih besar dari $( > )$ atau kurang dari $( < )$. Pada sistem garis bilangan real semakin ke kanan semakin besar dan semakin ke kiri semakin kecil. Contoh $0 < 0,5 < 1$ artinya dalam garis bilangan real 1 berada di sebelah kanan 0,5 dan 0 berada disebelah kiri 0,5.

Beberapa sifat atau aksioma urutan yang harus diketahui untuk mempelajari kalkulus adalah:

1) Sifat Trikotomi

Menyatakan jika $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real, maka ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi (tidak sekaligus) yaitu $x < y$ atau $x=y$ atau $x > y$.

2) Ketransisitifan

Menyatakan jika $x < y$ dan $y < z$ mengakibatkan $x < z$

3) Penambahan

Menyatakan jika $x < y$ dan $z$ sebarang bilangan real maka $x+z < y+z$

4) Perkalian

Menyatakan jika $x < y$ dan $z$ bilangan real positif maka $xz < yz$ dan jika z bilangan real negatif maka $xz > yz$

Demikian pembahan mengenai Urutan dan Sifat-sifat Urutan yang harus kamu tahu. Selanjutnya silahkan baca Sedikit Logika Cara Membuktikan Teorema-teorema dalam Kalkulus.

Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang

Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang
Daftar Isi:
1. Koordinat Cartesius
2. Rumus Jarak
3. Persamaan Lingkaran
4 .Rumus Titik Tengah    


1. Koordinat Cartesius
Koordinat cartesius adalah perpotongan anatara dua garis real mendatar (sumbu-x) dan garis real tegak (sumbu-y) pada titik asal O(0,0) yang perpotongan tersebut membagi empat daerah yang disebut kuadran-kuadran yang diberi label I, II, III, dan IV. 

Misalkan pada sebuah titik P pada bidang yang dinyatakan dengan sepasang bilangan terurut, itu dinamakan koordinat-kordinat kaetesiusnya. P(3,5), dimana 3 adalah koordinat-x (absis) dan 5 adalah koordinat-y (ordinat).

2. Rumus Jarak
Bagaimana menghitung jarak antara dua titik pada bidang? Misalkan kita ingin mencari jarak antara titik A dan B dengan $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Dari gambar diketahui bahwa panjang AB' adalah $|x_2-x_1|$ dan panjang BB' adalah $|y_2-y_1|$ maka untuk menghitung jarak antara A dan B kita gunakan rumus Teorema Phythagoras yaitu:
 $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Contoh: Carilah jarak antara P(-2,3) dan Q(4,-1)!

Solusi:
$d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-3)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{(6)^2+(-4)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{36+16}$
$d(P,Q)=\sqrt{52}$

3. Persamaan Lingkaran
a. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

b. Persamaan Lingkaran
Secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (a,b) mempunyai persamaan: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 

Persamaan baku lingkaran tersebut diperoleh dari sebuah rumus jarak. Misalkan S(a,b) dan P(x,y) maka:

$d(S,P)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
$r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
$r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$

Contoh: Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 5 dan pusat (1,-5)!

Solusi:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$(x-1)^2+(y-(-5))^2=5^2$
$(x-1)^2+(y+5)^2=25$

Pertanyaan: Apakah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ juga merupakan bentuk persamaan lingkaran?

Solusi:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
 $(x^2+Ax)+(y^2+By)+C=0$
 $(x^2+Ax+(\frac{A}{2})^2)+(y^2+By+(\frac{B}{2})^2+C=(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2$
$(x+\frac{A}{2})^2+(y+\frac{B}{2})^2=(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C$

Bentuk terakhir ini disebut sebagai bentuk baku persamaan lingkaran (terbukti) dengan pusat $(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})$ dengan jari-jari $r=\sqrt{(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C}$

Contoh: Perlihatkan bahwa persamaan $x^2-2x+y^2+6y=-6$ menyatakan sebuah lingkaran dan tentukan pusat dan jari-jarinya!

Solusi:
$(x^2-2x)+(y^2+6y)=-6$
 $(x^2-2x+(\frac{-2}{2})^2)+(y^2+6y+(\frac{6}{2})^2=-6+(\frac{-2}{2})^2+(\frac{6}{2})^2$
$(x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=-6+1+9$
$(x-1)^2+(y+3)^2=4$
Jadi pusat $(1,-3)$ dan jari-jari=$\sqrt{4}=2$

4. Rumus Titik Tengah
Tinjau dua titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ dengan $x_1 < x_2$, perhatikan bahwa:
$x_1+\frac{1}{2}(x_2-x_1)=x_1+\frac{1}{2}X_2-\frac{1}{2}x_1$
$=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}X_2$
$=\frac{x_1+x_2}{2}$

Kesimpulan: Titik tengah potongan garis $A(x_1,y_1)$ ke $B(x_2,y_2)$ mempunyai koordinat $P(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$


Contoh: Tentukan titik tengah antara (1,3) dan (7,11)!


Solusi:
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
$(\frac{1+7}{2},\frac{3+11}{2})$
$(\frac{8}{2},\frac{14}{2})$
$(4,7)$

Referensi: Kalkulus I Purcel

KETAKSAMAAN

KETAKSAMAAN
Daftar Isi:

1. Penulisan Selang (Interval)
2. Menyelesaikan Ketaksamaan
a. Bentuk Liear
b. Bentuk Kuadrat
c. Bentuk Pecahan
d. Nilai Mutlak  

1. Penulisan Selang (Interval)
Untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan berarti kita mencari semua hipunan bilangan yang membuat ketaksamaan berlaku. Himpunan penyelesaian itu berupa suatu selang. Adapun penulisannya, sbb:
 

2. Menyelesaikan Ketaksamaan  
A. BENTUK LINEAR 
Bentuk linear yaitu hanya mempunyai variabel berpangkat 1 dan jika digambarkan dalam sebuah grafik berupa garis lurus.

Contoh: Selesaikan $x-7 < 2x-5$ ! 
Penyelesaian:
$x - 7 < 2x -5 \\ x -2x < -5+7 \\ -x<2 \\ x>-2$

B. BENTUK KUADRAT 
Fungsi kuadrat berbentuk $ax^2 +bx+c$ dengan $a \neq 0$

Contoh: Selesaikan $x^2 -x < 6$ ! 
Penyelesaian:
$x^2 - x < 6 \\ x^2 -x - 6 < 0 \\ (x-3)(x+2) <0 \\ x-3<0 \ atau \ x+2>0 \\ x < 3 \ atau \ x > -2$

C. BENTUK PECAHAN 
Bentuk umum: $\frac{A(x)}{B(x)}$ < $\frac{C(x)}{D(x)}$, tanda < bisa diganti dengan tanda pertidaksamaan lain. Adapun cara menyelesaikan pertidaksamaan bentuk pecahan adalah:
  • Nyatakan persamaan sehingga di dapat salah satu ruasnya menjadi 0 (nol), yaitu: $\frac{A(x)}{B(x)} - \frac{C(x)}{D(x)} < 0$
  • Sederhanakan ruas kiri, misal diperoleh $\frac{p(x)}{q(x)}$
  • Tentukan titik-titik pemecah. Titik pemecah adalah nilai yang menyebabkan 0
  • Ujilah titik-titik pada setiap selang dari titik-titik pemecah dan himpunan penyelesaiannya adalah interval yang membuat ketaksamaan berlaku.
Contoh: Selesaikan  $\frac{x-2}{x-1} > \frac{x+3}{x+1}$! 
Penyelesaian: $\frac{x-2}{x-1} > \frac{x+3}{x+1} \\ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x+3}{x+1}>0 \\ \frac{-3x+1}{(x-1)(x+1)}>0$ 
Jadi titik-titik pemecahnya adalah $-1$, $1/3$, dan $1$.

Uji titik pada selang $(-\infty, -1)$ diperoleh hasil positif atau >0 ... (i) 
Uju titik pada selang $(-1 , 1/3 )$ diperoleh hasil negatif atau <0 ... (ii) 
Uji titik pada selang $(1/3, 1)$ diperoleh hasil positif atau >0      ... (iii) 
Uji titik pada selang $(1, \infty)$ diperoleh hasil negatif atau <0   ... (iv) 

Dengan demikian berdasarkan hasil titik uji tersebut kita simpulkan bahwa HP-nya adalah $(- \infty, -1) \cup (1/3, 1)$  

D. NILAI MUTLAK 
Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan dengan  $|x|$ didefinisikan sebagai :
$|x| = x$ jika $x  > 0$ atau $x=0$
$|x| = -x$ jika $x < 0$ atau $x=0$

Sifat-sifat nilai mutlak
  1. Jika $|x| < p$ maka himpunan penyelesaiannya $-p < x < p$,    $p > 0$
  2. Jika $|x| > p$ maka himpunan penyelesaiannya $x < -p$ atau $x > p$,    $p>0$
  3. Jika $|f(x)| < p$ maka himpunan penyelesaiannya $-p < f(x) < p$,    $p > 0$
  4. Jika $|f(x)| > p$ maka himpunan penyelesaiannya $f(x) < -p$ atau $f(x) > p$,    $p>0$
  5. $|x| = \sqrt{x^2}$
  6. Jika $|f(x)|<|g(x)|$ maka ekuivalen dengan $[f(x)]^2 < [g(x)]^2$
  7. Jika $|f(x)|>|g(x)|$ maka ekuivalen dengan $[f(x)]^2 > [g(x)]^2$
  8. \mid (a+b) \mid \ge \mid a \mid - \mid b \mid ; \mid (a+b) \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid ; \mid (a-b) \mid \ge \mid a \mid - \mid b \mid ;
    \mid (a-b) \mid \le \mid a \mid + \mid b \mid ;
  9. \mid ab \mid = \mid a \mid \, \mid b \mid ;
    \mid \frac{a}{b} \mid = \frac{\mid a \mid}{\mid b \mid} , b \ne 0 ;
Contoh: Selesaikan $|3x-5| < 1$ !

Berdasarkan sifat ke-1 maka penyelesaiannya adalah
$3x - 5 < -1$ atau $3x - 5 > 1$
$\Leftrightarrow$ $3x < 4$ atau $3x > 6$
$\Leftrightarrow$ $x < 4/3$ atau $x > 2$

Cara Menentukan Titik Potong Grafik

Assalamu'alaikum, lama tidak posting materi di blog ini, karena akses internet saya terganggu. Kali ini saya akan menulis artikel tentang Cara Menentukan Titik Potong Grafik dari dua grafik persamaan atau pada sumbu koordinat x dan y.

A. Cara Menentukan Titik Potong Grafik pada sumbu-sumbu koordinat

yaitu dilakukan dengan memisalkan x=0 untuk mendapatkan perpotongan grafik pada sumbu-y dan memisalkan y=0 unruk mendapatkan perpotongan grafik pada sumbu-x.

Contoh: Tentukan perpotongan grafik y=2x+2 pada sumbu-sumbu koordinat cartesius !
Jawab:

misalkan x=0 disubsitusikan ke persamaan y=2x+2 maka grafik memotong sumbu y pada
y=2 <=> y=2(0)+2
y=0+2
y=2
Misalkan y=0 disubsitusikan ke persamaan y=2x+2 maka grafik memotong sumbu x pada
x=-1 <=> 0=2x+2
<=> 2x+2=0
2x=-2
x=-2/2=-1

B. Cara Menentukan Titik Potong antara Dua Grafik

misalkan ada dua grafik persamaan y=f(x) dan y=g(x)untuk mendapatkan perpotongan kedua grafik tersebut dilakukan dengan cara menyulingkan persamaan tersebut, yaitu:

y=y
f(x)=g(x)
Sehingga kita menemukan nilai x sebagai perpotongan kedua grafik tersebut sekaligus nilai y, dengan titik (x,y)
Contoh: Tentukan perpotongan grafik y=2x+2 dan y=x !
Jawab:
y=y
<=> 2x+2=x
<=>2x+2-x=0
<=>x+2=0
<=>x=-2
untuk x=-2 maka y=-2 (y=x)
jadi perpotongan grafik tersebut yaitu pada titik (-2,-2)

Demikianlah Cara Menentukan Titik Potong Grafik pada sumbu koodinat atau antara dua grafik. Semoga membantu.

Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus

Telah kita pelajari Sistem Bilangan Real bagi Kalkulus dimualai dari penjelesan mengapa harus mempelajari Sistem Bilangan Real untuk kalkulus, apa itu empat operasi aritmatika dan sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real baik sifat medan maupun sifat urutan. Kali ini, kita akan belajar sedikit logika sebagai bekal untuk mempelajari kalkulus.

Dalam mempelajari kalkulus terdapat teorema-teorema yang digunakan untuk menyelesaikan soal-soal. Teorema merupakan hasil penting dalam matematika yang telah terbukti kebenarannya, misalkan teorema yang terkenal yaitu Teorema Phytagoras yang berusaha untuk menjawab permasalahan tentang panjang suatu sisi miring segitiga. Sedangkan sesuatu pernyataan yang belum terbukti kebenarannya disebut sebagai konjektur. Konjektur yang telah terbukti kebenarannya naik status menjadi teorema.

Pada umumnya sebuah teorema itu ditandai dengan kata " jika p maka q " atau ditulis "$p \Rightarrow q $". Dalam logika matematika, $p$ sebagai hipotesis dan $q$ sebagai kesimpulan, atau $p$ adalah syarat cukup untuk menyimpulkan $q$ dan $q$ syarat perlu bagi $p$. Bagi mahasiswa matematik adalah tugas kita untuk dapat membuktikan teorema-teorema yang ada dalam kalkulus. Bagaimana cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus?

Ada beberapa cara dalam membuktikan teorema yang berbentuk "Jika p maka q", tersebut:

1. Bukti Langsung
2. Bukti Tak Langsung
3. Bukti dengan Kontradiksi

Pembuktian secara langsung yaitu menggunakan aturan silogisme. Artinya, kita asumsikan $p$ bernilai benar sehingga didapatkan $q$ bernilai benar. 

Pembuktian secara tidak langsung yaitu menggunakan kontraposisinya. Kontraposisi dari $p \Rightarrow q $ adalah $\neg q \Rightarrow \neg p $. Jika kita asumsikan $\neg q $ dan mengakibatkan $\neg p$ maka kita telah membuktikan pernyataan $p \Rightarrow q $ bernilai benar.

Contoh: Buktikan bahwa $∫ 0 \ dx=C$

Kita ubah pernyataannya sebagai contoh bagaimana membuktikan, yaitu "Jika f(x)=0 maka integral f(x) terhadap x adalah C".
  • Bukti Langsung
Menurut definisi bahwa :
∫ f(x) dx=F(x)+C
Dengan f(x) =integran, C konstanta dan F'(x)=f(x) dimana F'(x) menyatakan turunan pertama fungsi F(x)

Dari definisi tersebut dapat ditunjukkan bahwa turunan suatu bilangan konstanta adalah nol (0) sehingga kita sudah membuktikannya secara langsung menggunakan definisinya.
  • Bukti Tak Langsung
Untuk membuktikan teorema di atas kita hanya memanfaatkan bahwa :
$p \Rightarrow q $ ekuivalen $\neg q \Rightarrow \neg p $

Jadi jika kita telah mampu menunjukkan $\neg q \Rightarrow \neg p $ bernilai benar maka secara tidak langsung kita telah membuktikan kebenaran dari $p \Rightarrow q $. Kita hanya perlu merubah ∫ 0 dx=C dalam bentuk teorema sebagaimana yang telah lewat yaitu:

"Jika f(x) adalah 0 maka integralnya adalah suatu konstanta C" atau setara dengan " jika integral suatu fungsi misalkan f(x) adalah bukan C (variabel x) maka f(x) bukan 0 "

Misalkan ∫ f(x) dx=F(x)+c dimana F(x) bukan fungsi konstan, karena turunan dari fungsi bukan konstan adalah bukan nol maka menurut definisi F'(x)=f(x) tidak sama dengan nol. Dengan demikian kita telah menunjukkan kebenaran teorema "jika integral suatu fungsi misalkan f(x) adalah bukan C (variabel x) maka f(x) bukan 0" sekaligus "Jika f(x) adalah 0 maka integralnya adalah suatu konstanta C".

Oke, demikian dulu untuk Cara Membuktikan Teorema-Teorema dalam Kalkulus. Pembuktian dengan kontradiksi dan sebagainya yang lebih detil silahkan baca pada blog kami yang lain pada tulisan Cara Membuktikan dalam Matematika. Adapun untuk latihan soalnya silahkan kerjakan Latihan Soal Pembuktian dalam Pra Kalkulus.

Silahkan baca selanjutnya Desimal, Kalkulator, Penaksiran yang penting diketahui ketika berhadapan dengan perhitungan pada bilangan real.

Sifat-Sifat/Aksioma Medan Pada Bilangan Real

Pada postingan sebelumnya, kita telah membahas masalah pentingnya menguasai sistem bilangan real untuk mempelajari mata kuliah kalkulus. Baca Sistem Bilangan Real Bagi kalkulus! Karena Sistem bilangan Real merupakan karakter utama dalam kalkulus.

Kali ini kita akan membahas masalah Sifat-Sifat/Aksioma Medan pada bilangan real yang berlaku pada operasi aritmatika dasar. Ada empat operasi Aritmatika yaitu penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (×), dan pembagian ( : ). Sifat-sifat yang akan kita pelajari ini berguna dalam menyederhanakan operasi-operasi dasar aritmatika. Adapun Sifat-Sifat Aksioma Medan Pada Bilangan Real tersebut adalah sebagai berikut.

1. Sifat Komunikatif yaitu suatu sifat yang kedudukan bilangan tidak mempengaruhi hasil. sifat ini berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian.

$x+y=y+x$ dan $x.y=y.x$

Contoh: $2+3=3+2=5$ dan $2.3=3.2 =6$

2. Sifat Distributif hanya berlaku jika terdapat dua operasi sbb:

$x(y+z)=xy+xz$ dan $x(y-z)=xy-xz$

Contoh:
$\begin{align} 2(3+6) &=2.3+2.6 \\ & =6+12 \\ &=18 \end{align}$
Akan sama hasilnya dengan $2(3+6)=2.9=18$

3. Sifat Asosiatif yaitu suatu sifat yang urutan pengerjaaan yang mana duluan tidak mempengaruhi hasil. Sifat ini hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian.

$x+(y+z)=(x+y)$ dan $x(yz)=(xy)z$

4. Elemen-Elemen Identitas

0 adalah elemen identitas penjumlahan artinya bilangan real apapun yang ditambahkan dengan 0 misalkan $x+0$ adalah dirinya sendiri yaitu suatu $x$ dan 1 adalah elemen identitas perkalian berarti bilangan real apapun yang dikalikan dengan 1 adalah juga dirinya sendiri yaitu $x.1=x$

5. Balikan (invers)

Untuk setiap bilangan real $x$ mempunyai balikan penambahan atau invers aditif yaitu  $-x$ yang memenuhi $x+(-x)=0$ juga mempunyai balikan perkalian (kebalikan) yaitu $\frac{1}{x}$ dimana $x$ tak-nol yang memenuhi  $x. \frac{1}{x}=1$

Sumber: Kalkulus Purcell Jilid 1

Jika ada yang ingin ditanyakan tentang Sifat-Sifat/Aksioma Medan Pada Bilangan Real silahkan meninggalkan komentar. Baca selanjutnya Urutan dan Sifat-sifat/Aksioma Urutan.

Sistem Bilangan Real Bagi Kalkulus

Apa sebabnya kita harus mempelajari sistem bilangan real dalam mempelajari kalkulus? Bilangan real meupakan karakter utama dalam kalkulus. Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Lalu apa sajakah sifat-sifat dari bilangan real tersebut? Yaitu sifat-sifat medan dan sifat-sifat urutan. 

Bilangan real terdiri dari blangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan real dapat mengukur panjang bersama-sama negatifnya dan nol. Bila kita hanya menggunakan bilangan bulat saja untuk mengukur panjang, berat, dan tegangan listrik itu tak memadai dan terlalu renggang untuk memberikan cukup kecermatan. Kita juga dituntut untuk menggunakan hasil bagi (rasio) bilangan bulat. Tetapi apakah semua blangan rasional bisa mengukur semua panjang? Tentu tidak, fakta yang mengejutkan ditemukan oleh orang Yunani kuno beberapa abad SM bahwa meskipun √2 merupakan panjang sisi miring miring sebuah sisi segitiga siku-siku dengan sisi-sisi lainnya 1 tetap bilangan ini bukannlah bilangan rasional karena tidak dapat dibentuk kedalam $\frac{a}{b}$ dengan $b$ tidak sama dengan 0.

Bilangan-bilangan real ini  dapat dipandang sebagai label untuk sekumpulan titik-titik sepanjang garis bilangan. meskipun kita tidak mungkin memperlihatkan semuanya tapi tiap titik memang mempunyai label tunggal bilangan real yang disebut koordinat kutub.

Adapun himpunan bagian bilangan dari bilangan real yaitu:
$N⊂ Z⊂ Q ⊂ R$
Dengan:
⊂: Himpunan bagian
N: Bilangan Asli
Z: Bilangan Bulat
Q: Bilangan Rasional
R: Bilangan Real

Untuk anggota dari himpunan bilangan yaitu:
  • Anggota himpunan bilangan asli yaitu 
$N=\{1,2,3,..\}$
  • Anggota himpunan bilangan bulat yaitu
$Z=\{ . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .\}$
  • Anggota himpunan bilangan rasional yaitu mencakup bilangan bulat dan bilangan pecahan.
  • Anggota himpunan bilangan real meliputi semua bilangan di atas.
Demikian untuk sistem bilangan real dan Himpunan Bilangan Real semoga membantu. Silahkan baca selanjutnya Sifat-sifat (Aksioma) Medan pada Bilangan Real.

Kategori Lainnya

Contact Form

Name

Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design