Belajar Matematika Online

Hotel Choices in Las Vegas Las Vegas Vacations allow visitors to explore one of Nevada's most populated cities. Tucked into the beautiful scenery of Clark County, the city is filled with gorgeous nature surroundings. This city is in the middle of the arid Mojave Desert. It is commonly called The Entertainment Capital of the World. This title refers to two important features of this location. Here is where vacationers can find a wide array of entertainment choices. Anything from boxing matches, to concerts take place in the great city. Another of the popular entertainment activities is gaming. In fact, this city is known around the world for being the home of the best casinos in the world. People from every country travel here each year, to participate in the gaming choices here. Black Jack, Roulette, and coin machines are some of the most popular casino attractions. One of the helpful things about this city makes it unique. When planning vacations it is important to note, that most hotels here have on site casinos. There are a large number of luxury hotels and resorts located here. Staying in any of these is an adventure in itself. They provide world-class accommodations. Many of these hotels and resorts have shopping, dining, and gaming opportunities, all under one roof. They understand the importance of providing their guests with a fantastic vacation. For this reason, customer service is this town is splendid. A wonderful hotel choice is the Bellagio. This location is known around the world for its elegant style and quality offerings. The Bellagio has been featured in the movies, as well as, on television. Most people recognize this hotel because of its amazing fountain display. The Fountains at Bellagio stretch the length of a quarter mile, in front of its immense lake. These fountains are best viewed at the nightly music and light show. Tourists from around the world come to witness this great sight. The Bellagio is also known for providing one of the world's most famous casino experiences. Hotels like this one goes beyond guests' expectations in supply awesome vacations. The Las Vegas Hilton is another fine hotel choice for vacationers. This chain is recognized around the world for providing guests with excellent service. The hotel has both rooms and suites to choose from. There are standard and grand hotel rooms. And there are standard and executive suites at this location. The amenities here also make your stay special. You will find fitness services, a spa, tennis courts, a pool, and an on site salon. Everything guests may need or want can be found right here. There are also diverse restaurants to choose from at the Las Vegas Hilton. Guests have a choice of fine or casual dining restaurants. They may even sample many of the choices from the hotel's Quick Eats program. For vacationers who love to shop, they will find some great shops in this location, as well. Choosing the right hotel is paramount when it comes to planning your vacation. Finding those along the Vegas Strip is a good way to be near the action. Some visitors will prefer to be in accommodations which display better views of the mountains near the city. It doesn't matter where you lodge in Las Vegas. You trip here will be outstanding. Las Vegas vacations are one of the most popular destinations in the world. When looking at vacation packages and travel deals to Las Vegas bundle and save your packages for better deals on your vacations. Buying the car, flight, hotel, and activities all at once will increase the savings on your trip. hotel in nevada las vegas treasure island hotel in las vegas nevada w hotel in las vegas nevada hotel in las vegas nevada on the strip hotel las vegas nevada strip plaza hotel in las vegas nevada excalibur hotel in las vegas nevada south point hotel in las vegas nevada southpoint hotel in las vegas nevada westgate hotel in las vegas nevada luxor hotel in las vegas nevada hotel in north las vegas nevada orleans hotel in las vegas nevada hotel rooms in las vegas nevada stratosphere hotel in las vegas nevada rio hotel in las vegas nevada four queens hotel in las vegas nevada the d hotel in las vegas nevada hotel deals in las vegas nevada aria hotel in las vegas nevada marriott hotel in las vegas nevada tropicana hotel in las vegas nevada wynn hotel in las vegas nevada mirage hotel in las vegas nevada monte carlo hotel in las vegas nevada golden nugget hotel in las vegas nevada silverton hotel in las vegas nevada elara hotel in las vegas nevada wyndham hotel in las vegas nevada hooters hotel in las vegas nevada tuscany hotel in las vegas nevada gold coast hotel in las vegas nevada mardi gras hotel in las vegas nevada mgm hotel in las vegas nevada mgm grand hotel in las vegas nevada harrah's hotel in las vegas nevada linq hotel in las vegas nevada hotels in las vegas nevada off the strip grandview hotel in las vegas nevada kid friendly hotel in las vegas nevada planet hollywood hotel in las vegas nevada trump hotel in las vegas nevada westin hotel in las vegas nevada hotel suites in las vegas nevada palazzo hotel in las vegas nevada red rock hotel in las vegas nevada palace station hotel in las vegas nevada new orleans hotel in las vegas nevada palms hotel in las vegas nevada hotel rates in las vegas nevada sls hotel in las vegas nevada d hotel in las vegas nevada best western hotel in las vegas nevada hotels in las vegas nevada near the strip m hotel in las vegas nevada best hotel deals in las vegas nevada el cortez hotel in las vegas nevada hotel reservations in las vegas nevada riviera hotel in las vegas nevada all inclusive hotel in las vegas nevada super 8 hotel in las vegas nevada rio all suites hotel in las vegas nevada la quinta hotel in las vegas nevada sahara hotel in las vegas nevada suncoast hotel in las vegas nevada hotel jobs in las vegas nevada new york hotel in las vegas nevada new hotel in las vegas nevada newest hotel in las vegas nevada lucky dragon hotel in las vegas nevada radisson hotel in las vegas nevada aladdin hotel in las vegas nevada grand hotel in las vegas nevada renaissance hotel in las vegas nevada holiday inn hotel in las vegas nevada sheraton hotel in las vegas nevada hotel galaxy in las vegas nevada aliante hotel in las vegas nevada the hotel in las vegas nevada hotel las vegas nevada luxor encore hotel in las vegas nevada days inn hotel in las vegas nevada downtown grand hotel in las vegas nevada texas hotel in las vegas nevada mandalay hotel in las vegas nevada longhorn hotel in las vegas nevada most expensive hotel in las vegas nevada hotel furniture liquidators in las vegas nevada marriott hotel in las vegas nevada on the strip howard johnson hotel in las vegas nevada delano hotel in las vegas nevada directions to excalibur hotel in las vegas nevada pyramid hotel in las vegas nevada hotel taxes in las vegas nevada stardust hotel in las vegas nevada what's the biggest hotel in las vegas nevada hilton grand hotel in las vegas nevada largest hotel in las vegas nevada loews hotel in las vegas nevada
Mau tanya soal? Kirim ke https://f-math.web.id
Hasil Pencarian di Blog Matematika Ku Bisa
Showing posts with label Teori Grup. Show all posts
Showing posts with label Teori Grup. Show all posts

Definisi dan Teorema Order dari Suatu Anggota Grup

Definisi: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$. Order dari a, ditulis $o(a)$, adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga $a^n=e$. Jika tidak ada bilangan n yang demikian maka dikatakan order a adalah nol atau tak hingga. 

Teorema: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$ dengan $o(a)=n$.
1) Jika $a^m=e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi m
2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku $o(a^t)=n/FPB(t,n)$
Bukti 1): Karena n bilangan asli terkecil demikian sehingga $a^n=e$, maka n harus lebih kecil atau sama dengan m. Andaikan n tidak membagi m, maka menurut algoritma pembagian m=np+q dimana 0 < q < n.
Pandang!
$a^m=e$
$a^(np+q)=e$
$a^(np) a^q=e$
Jadi diperoleh $a^q$ juga sama dengan e dimana  0 < q < n. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa n adalah yang terkecil sedemikian hingga $a^n=e$. Jadi, pengandaian salah yang benar adalah n membagi m.

Bukti 2): Misalkan KPK dari t dan n adalah m. Hal ini berarti bahwa t membagi m dan n membagi m. Akibatnya, $a^m=e$. Jadi, orde dari $a^t$ adalah p dimana t.p=m. Andaikan diketahui bahwa FPB dari t dan m adalah q. Maka, menurut suatu teorema dalam teori bilangan m=(t.n)/q. Dengan demikian orde dari $a^t$ adalah:
p=m/t
p={(t.n)/q}/t
p=n/q.
Karena q adalah FPB dari t dan n maka terbukti.

Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers

Suatu hal yang sangat penting untuk diketahui bahwa unsur identitas dalam Grup adalah tunggal. Hal ini mengakibatkan bahwa unsur invers dalam Grup juga tunggal.

Apa yang terjadi ketika unsur identitas itu tidak tunggal? Maka, suatu unsur akan memiliki lebih dari satu invers tergantung banyaknya unsur identitas. Kalau suatu unsur memiliki lebih dari satu invers maka setiap unsur itu di dalam G harus dituliskan sebanyak unsur inversnya dalam himpunan G tersebut. Hal ini bertentangan dengan konsep menuliskan keanggotaan himpunan sebab {a, a, b, b}={a, b}. Akibatnya, sulit membayangkan ketidakkonsistenan hal ini akan terjadi dalam matematika. Padahal, matematika dibangun atas dasar konsistensinya. Namun, hal ini tidak akan pernah terjadi karena kalau suatu himpunan G dengan operasi * adalah Grup maka Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers menyertainya sebagai sifat yang dimilikinya yang akan ditunjukkan di bawah ini dengan bukti kontradiksi yang lebih formal dari penjelasan barusan.

Di dalam kehidupan, pernahkah kita memikirkan bahwa setiap dari kita adalah tunggal? Hukum ketunggalan unsur identitas ini juga berlaku bagi diri kita sebagai individu manusia dalam himpunan manusia. Tidak ada satupun manusia yang sama persis walaupun mereka dilahirkan kembar atau dengan kata lain tidak ada satupun manusia yang memiliki identitas yang sama tetapi memiliki dua badan yang berbeda. Misalnya, identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga. Hal yang tidak bisa diterima oleh akal sehat karena jika identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga maka orang tua mereka juga sama yaitu sama-sama dilahirkan olehnya. Jika orang tua mereka itu sama maka sebenarnya Ibnu Batauga dan Ahmad Batauga adalah orang yang sama hanya nama panggilannya berbeda. Artinya tidak ada satu identitas tetapi dalam dua tubuh yang berbeda walaupun mereka terlahir kembar dari orang tua yang sama. Hal ini dibuktikan dengan penemuan ilmiah bahwa setiap orang memiliki pola garis pada jarinya itu unik. Jadi, setiap manusia memiliki identitasnya sendiri yang membedakan dengan orang lain.

Berikut ini diberikan bukti Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers secara formal.

¤) Unsur identitas itu tunggal

Bukti:
Andaikan tidak tunggal, maka suatu Grup memiliki unsur identitas lain (misalnya f) selain dari e. Akibatnya, e=e*f. Karena e=e*e maka diperoleh persamaan e*f=e*e. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh f=e yang kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa f tidak sama dengan e. (terbukti).

¤¤) Unsur invers itu juga tunggal sebagai akibat unsur identitas itu tunggal.

Bukti:
Andaikan untuk setiap a $\in G$ memiliki unsur invers lain (misalnya c) selain dari b. Maka, a*c=e. Karena a*b=e, diperoleh persamaan a*c=a*b. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh c=b. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa c berlainan dengan b. (terbukti).

#CMIWW

Memahami Hukum Pencoretan

Hukum pencoretan merupakan hukum yang digunakan dalam melakukan penyederhanaan bentuk persamaan yang melibatkan operasi biner seperti operasi penjumlahan (+), perkalian (x), dsb. Contohnya sebagai berikut.

2x + 4= 6

Menerapkan hukum pencoretan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

2x + 4 = 6
2x + 4 = 2 + 4
2x = 2
2x = 2.1
x = 1

Perhatikan di atas, 6 dirubah menjadi 2 + 4 agar menjadi 2x + 4 = 2 + 4 sehingga hukum pencoretan kanan untuk operasi penjumlahan dapat dilakukan. Setelah dilakukan pencoretan maka bentuk persamaannya menjadi 2x=2. Agar hukum pencoretan kiri untuk operasi perkalian juga dapat digunakan, 2 dirubah menjadi 2.1 sehingga 2x=2 berubah menjadi 2x=2.1. Dengan menerapkan hukum pencoretan kiri diperoleh x=1.

Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan definisnya.

Definisi:

1. Suatu himpunan A terhadap operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika a*b=a*c mengakibatkan b=c.

2. Suatu himpunan A dengan operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika b*a=c*a mengakibatkan b=c.

Catatan: Untuk himpunan A yang komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan karena a*b=b*a dan a*c=c*a sehingga jika a*b=a*c yang mengakibatkan b=c maka untuk b*a=c*a juga mengakibatkan b=c.

Hasil penting berikut ini adalah jaminan suatu himpunan memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan tanpa melihat apakah himpunan tersebut komutatif atau tidak.

"Jika A suatu grup maka A memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan"

Bukti:

Ambil sebarang a, b, c, f, g, dan h $\in A$. Jika a*b=a*c dan g*f=h*f akan diperlihatkan b=c dan g=h.

Karena A grup maka terdapat a' dan f' sedemikian hingga a'*a=a*a'=e dan f*f'=f'*f=e dimana e unsur identitas terhadap operasi *. Maka,

a*b=a*c
a'*(a*b)=a'(a*c)
(a'*a)*b=(a'*a)*c
e*b=e*c
b=c.

g*f=h*f
(g*f)*f'=(h*f)f'
g*(f*f')=h*(f*f')
g*e=h*e
g=h
(Terbukti)

Contoh-contoh:
¤ Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus karena pada himpunan tersebut dengan operasi perkalian berlaku sifat komutatif.

¤ Karena (Z, +) adalah grup maka berlaku hukum pencoretan kiri dan kanan.

Latihan: Coba perlihatkan apakah himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks memenuhi atau tidak memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kenan.

Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika (G,*) memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Untuk mengingat ke empat sifat ini, Anda bisa memberi singkatannya secara berurutan, misalnya TERAS IDENVERS.

Pada pemabahasan sebelumnya, telah dijelaskan secara khusus bagaimana cara Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya yang didefinisikan pada himpunan tersebut bahwa untuk setiap a dan b aggota di G harus berlaku a*b anggota di G juga. Selanjutnya, untuk membuktikan apakah berlaku sifat asosiatif atau tidak, sangat sederhana untuk dilakukan yaitu cukup mengambil sebarang 3 anggota di dalam himpunan G misalnya a, b, dan c, kemudian diperlihatkan apakah (a*b)*c=a*(b*c). Jika memenuhi, dikatakan bahwa berlaku sifat asosiatif. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif penjumlahan yaitu (a+b)+c=a+(b+c), untuk a, b, c bilangan bulat.

Pada kesempatan ini, akan dibahas bagaimana membuktikan suatu himpunan bersama operasinya apakah memenuhi sifat identitas atau sifat invers karena kedua hal ini berkaitan. Kita tidak akan mengetahui invers tanpa mengetahui unsur identitasnya.

Membuktikan Sifat Identitas dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Untuk membuktikan sifat identitas, harus dapat menemukan suatu unsur dalam G (biasa disimbolkan dengan e) sehingga untuk semua g anggota dalam G jika dioperasikan dengan suatu operasi * dengan unsur e tersebut, berlaku g*e=e*g=g. Jadi, ingat bahwa e harus merupakan anggota himpunan G juga, g*e=g dan e*g=g.

Terdapat suatu kesulitan dalam hal menemukan unsur identitasnya ketika kita akan membuktikan sifat identitas. Oleh karena itu, dapat dilakukan dengan cara menduga suatu unsur identitas dalam G (misal f dimana f $ \in G $), kemudian mengujinya apakah untuk setiap g dalam G berlaku g*f=f*g=g, jika ia maka f disebut unsur identitas dalam G terhadap operasi *. Operasi bintang maksudnya adalah suatu operasi tertentu yang didefinisikan pada suatu himpunan G. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi penjumlahan yang biasa, kita tahu bahwa sebarang a bilangan bulat jika dijumlahkan dengan 0 yakni a+0 atau 0+a pasti menghasilkan a (a+0=0+a=a). Karena keberadaan 0 ini yang merupakan anggota himpunan bilangan bulat juga, maka kita katakan 0 adalah unsur identitas terhadap operasi penjumlahan biasa pada bilangan bulat. Jadi, kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat identitas. Begitu juga untuk operasi x biasa bahwa unsur identitas terhadap operasi x biasa adalah 1 karena untuk setiap a bilangan bulat berlaku ax1=1xa=a.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat identitas karena sebarang bilangan real ditambahkan dengan 0 atau dikalikan dengan 1 pasti menghasulkan bilangan real itu juga dan kita tahu 0 dan 1 merupakan anggota dalam himpunan bilangan real.

Intinya, kita harus mampu menduga unsur identitasnya (e $\in G $), kemudian menguji apakah untuk setiap g anggota G berlaku g*e=e*g=g.

Misalkan G={1, -1, i, -i}, tentukan apakah G memiliki unsur idenditas terhadap operasi perkalian biasa!

Dengan memperhatikan setiap anggota G, kita menduga bahwa unsur identitasnya terhadap operasi perkalian adalah 1 karena untuk setiap g $\in$ G berlaku gx1=1xg=g, yakni 1x1=1, (-1)x1=1x(-1)=-1, ix1=1xi=i, (-i)x1=1x(-i)=-i.

Untuk pembaca: Apakah, G juga memiliki unsur identitas terhadap operasi penjumlahan yang biasa?

Membuktikan Sifat Invers dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Selanjutnya akan dibahas bagaimana membuktikan sifat invers. Kita pahami dulu apa yang dimaksud dengan invers. Kita telah mengetahui bahwa inversnya 2 terhadap operasi penjumlahan adalah -2, karena 2+(-2)=(-2)+2=0 sedangkan inversnya 2 terhadap operasi perkalian adalah 1/2 karena 2 x 1/2=1/2 x 2=1. Jadi tergantung operasinya apa dan identitasnya. Oleh karena itu untuk membuktikan sifat invers untuk suatu (G,*) dilakukan dengan cara:

" Mengambil sebarang anggota g dalam himpunan G, kemudian menentukan invers dari g yang dimisalkan dengan g', g' juga harus merupakan anggota G sehingga g*g'=g'*g=e. Artinya, untuk setiap g anggota G terdapat g' sehingga g*g'=g'*g=e. "

Perhatikan contoh berikut ini!

Misal G adalah himpunan bilangan bulat atau G=Z. Pada bahasan sebelumnya di atas, unsur identitas G terhadap operasi penjumlahan adalah 0 (e=0). Pertanyaan yang timbul sekarang, apakah (G,+) memenuhi sifat invers?

Ambil sebarang a $\in G$, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a, terdapat a' $\in G$ sehingga a+a'=a'+a=0.

Perhatikan bahwa a+(-a)=0 dan (-a)+a=0, jadi a'=-a. Karena -a juga bilangan bulat maka -a merupakan anggota di G. Oleh karena itu, kita simpulkan (G,+) memenuhi sifat invers.

Untuk pembaca: Apakah himpunan bilangan bulat memenuhi sifat invers terhadap operasi perkalian?

Semoga bermanfaat.

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Untuk membuktikan sifat tertutup, harus dapat ditunjukkan bahwa semua anggota dalam himpunan G jika dioperasikan satu sama lainnya dengan operasi * maka menghasilkan anggota di himpunan G juga. Artinya bahwa, jika dua anggota sebarang dalam G dioperasikan dengan operasi * maka hasil operasinya juga merupakan anggota di G. Hal ini sulit dilakukan apabila banyaknya anggota di G tidak berhingga. Sehingga, apabila jumlah anggota di himpunan G tak berhingga maka cara membuktikan sifat tertutup adalah sebagai berikut.

Pertama-tama, ambil sebarang dua anggota dalam himpunan G (misalnya a dan b). Selanjutnya, operasikan dengan operasi * yakni a*b. Kita jalankan sampai kita mendapatkan hasil misalnya c sehingga c memenuhi syarat keanggotaan himpunan G, karena itu kita simpulkan bahwa a*b=c merupakan anggota G. Dengan demikian, (G,*) bersifat tertutup

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi + biasa, kita tahu bahwa sebarang a dan b bilangan bulat jika dijumlahkan yakni a+b pasti menghasilkan bilangan bulat juga sehingga kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat tertutup. Begitu juga untuk operasi x biasa.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat tertutup karena sebarang dua bilangan real ditambahkan atau dikalikan pasti bilangan real juga.

Pertanyaannya, apakah Q himpunan bilangan rasional, juga tertutup pada operasi + dan x? Sekarang mari kita lihat bagaimana caranya menunjukan sifat tertutup. Kita tahu bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b diamana a, b adalah bilangan bulat dan b#0. Jadi, himpunan bilangan rasional kita tuliskan dengan Q={a/b : b#0, a, b $ \in Z $}. Untuk membuktikan (Q,+) dan (Q,x) memenuhi sifat ketertutupan adalah:

"Ambil sebarang x, y anggota Q akan ditunjukan bahwa x+y dan x.y $\in Q$. Karena x dan y bilangan rasional maka masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dan r/s dimana p, q, r, s bilangan bulat dan q dan s tak nol. Perhatikan bahwa hasil dari p/q + r/s dan p/q x r/s juga merupakan bilangan rasional jadi kita simpulkan (Q,+) dan (Q, x) bersifat tertutup."

p/q + r/s=(ps+rq)/rs

p/q + r/s= pr/qs

Perhatikan bahwa ps+rq adalah bilangan bulat (berdasarkan contoh sebelumnya) dan rs tidak sama dengan 0 sehingga (ps+rq)/rs merupakan bilangan rasional. Begitu juga untuk pq/rs merupakan bilangan rasional.

Bagaimana sudah mengerti? Intinya, kita harus menunjukan bahwa untuk sebarang a, b anggota di G maka a*b juga anggota di G. Ingat bahwa operasi * merupakan operasi biner tertentu (operasi biner yaitu operasi yang memerukan dua buah unsur dalam suatu himpunan) yang didefinisikan untuk himpunan G, bisa operasi +, x, dll. Jadi, bisa yang lain dong? Iya, misal: a*b=a+b-2ab, sehingga untuk a=3 dan b=4 maka 3*4=3+4-2(3)(4)=7-24=-17.

Untuk pembaca: apakah operasi * yang didefinisikan oleh a*b=a+b-2ab tertutup pada himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real?

Teorema-Teorema Grup

Setelah memahami Definisi Grup dan Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup atau tidak, sekarang marilah perhatikan teorema-teorema berikut.

Teorema 1
Jika (G,*) adalah suatu Grup maka berlaku :

i) $(a^{-1})^{-1}=a$ untuk setiap $a \in G$

ii) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$

Sebelum kita buktikan, pahami dululah maksudnya. Contoh Misal kita punya himpunan bilangan bulat (Z) anggotanya { . . . , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, . . .} telah dibuktikan pada tulisan sebelumnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa (+) membentuk grup kita tulis aja (Z,+) . Sekarang karena (Z,+) grup maka berdasarkan Teorema 1 pasti sebarang anggota a di Z berlaku $(a^{-1})^{-1}=a$. Contoh a=3 invers penjumlahan dari a=3 adalah $a^{-1}=-3$ sekarang kita lihat bahwa $(a^{-1})^{-1}=3$ karena invers penjumlahan dari -3 adalah 3.

Untuk yang bagian ii) kita coba misal a=3 dan b=4 maka $(a+b)^{-1}=-b+(-a)=-4+(-3)=-7$. Ternyata benar ya invers penjumlahan dari (3+4) adalah -7.

Catatan: $a^{-1}=-a$ karena operasi yang kita gunakan adalah operasi + biasa. Kalau operasi yang kita gunakan adalah perkalian biasa (x) maka $a^{-1}=1/a$. Kalau belum faham, fahami definisi grup dulu hehe.

Bukti Teorema 1

i) Karena (G, *) Grup maka perhatikan: $(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e$ dan pada sisi lainnya $a*a^{-1}=e$, dari sini kita simpulkan $(a^{-1})^{-1}=a$.

ii Karena (G,*) grup maka:
1) $(a*b)^{-1}*(a*b)=e$ dan
2) $(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b$

$=b^{-1}*e*b=(b^{-1}*e)*b=b^{-1}*b=e$. 
Jadi berdasarkan 1) dan 2) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

Pada tulisan selanjutkan akan kita bahas hukum pencoretan kiri/kanan dan ketunggalan solusi. Ditungguh ya hehe

Definisi Grup

Jika sebuah himpunan tak-kosong G ($G \neq \varnothing$), G adalah grup, jika pada himpunan G didefinisikan suatu operasi tertentu (*) sedemikian sehingga:

1) Jika $\forall a,b \in G$ maka $a*b \in G$. (Bersifat tertutup)

2) Jika $\forall a, b, c \in G$ maka $(a*b)*c=a*(b*c)$ (Bersifat Asosiatif)

3) $\forall a \in G$ $\exists e \in G$ sehingga berlaku $e*a=a*e=a$ (Ada Unsur Identitas)

4) $\forall a \in G$ $\exists a^{-1} \in G$, sehingga $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ (Mempunyai Invers)

Contoh: Apakah Himpunan bilangan bulat $Z$ dengan operasi $+$ adalah Grup?

Jawab:
1) Tertutup, karena sebarang bilangan bulat jika dijumlahkan dengan bilangan bulat hasilnya juga bilangan bulat.

2) Asosiatif, seperti yang kita ketahui bahwa penjumlahan pada bilangan bulat, salah satu sifat operasi yang dimiliki adalah asosistif. (Contoh: $(2+3)+4=2+(3+4)$)

3)Apakah ada unsur identitas? Iya yaitu $0$ karena sebarang bilangan bulat dijumlahkan dengan bilangan nol (0) adalah bilangan bulat itu sendiri. (Contoh: 2+0=2)

4)Apakah untuk setiap anggota himpunan bilangan bulat ada inversnya? Ambil sebarang $a \in Z$ yang memenuhi $a+a^{-1}=e=0$, sehingga diperoleh inversnya $-a$ sehingga $a+(-a)=0$. (contoh: 2+(-2)=0 jadi invers dari 2 adalah -2)

Jadi $Z$ dengan opeasi $+$ adalah grup.

Latihan Soal Grup:
1. Apakah $(R,.)$ adalah grup?

2. Tunjukkan bahwa $(Q,+)$ adalah Grup!

R: Real
Q: Rasional
. : perkalian biasa
$\forall$ : Untuk setiap (semua)
$\exists$ : Terdapat/ada
math websites for elementary students online math tutor i need help with my math homework math tutor elementary math websites cool math i need to solve a math problem interactive math websites for elementary students math websites for all grades math games online for adults best math help websites math games com go math login math tutor website top math websites for elementary students online math sites for elementary coolmath3 cool math games puzzles and more cool math website think through math coolmath com https cool math help math program online math software cpm math mths website all levels of math
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design