Belajar Matematika Online

Isi Landasan Teori dalam Proposal Penelitian Skripsi

Bab II, Landasan Teori, berisis pendekatan-pendekatan atau teori-teori relevan dengan judul dan rumusan masalah yang akan digunakan untuk mengupas, menganalisis, dan menjelaskan variabel yang akan diteliti. Pendekatan atau teori yang akan digunakan, tentunya dikutip dari pendapat para ahli di bidangnya dari berbagai sumber bacaan yang telah teruji kebenarannya.

Pendapat para ahli tersebut berfungsi untuk menguatkan argumentasi kita dalam menganalisis masalah yang kita kaji dalam penelitian skripsi yang kita lakukan. Sebagai seorang mahasiswa atau yang berkecimpung dalam dunia akademik merupakan suatu keharusan terhadap kode etik keilmiahan untuk mencantumkan sumber bacaan tersebut di dalam proposal penelitian skripsi kita.

Pencantuman sumber bacaan ini merupakan penguat dan pengahargaan kita terhadap karya orang lain. Terdapat teknik yang mengatur cara-cara pencantuman sumber bacaan yang shahi, baik sumber bacaan yang beasal dari makalah, laporan, skripsi, tesis, disertasi, buku, majalah, surat kabar, antologi, maupun website di internet yang diatur dalam teknik notasi ilmiah yang terdiri atas catatan teks dan catatan kaki. Perlu diingat bahwa tidak semua sumber bacaan dapat dicantumkan dalam landasan teori, seperti diktat perkuliahan.
(Sumber: Niknik M. Kuntaro, Cermat dalam Berbahasa Teliti dalam Berpikir, 2007, hlm.185)

Ditulisan lain, telah dijelaskan bagaimana  Cara Menulis Latar Belakang Masalah Pendidikan Matematika. Pada tulisan ini, admin akan memberikan contoh bagaimana menyusun sub-sub judul dalam Bab II Landasan Teori.

Contoh Judul Admin: Pengaruh Pemahaman Konsep Limit dan Turunan Fungsi terhadap Hasil Belajar Integral Substitusi Siswa Kelas XII IPA SMAN 1 Wawotobi

Maka, isi landasan teori yang admin gunakan sebagai berikut.
A. Landasan Teori, berisi:
  1. Pembelajaran Matematika
  2. Karakteristik Pembelajaran Matematika
  3. Pengertian Pemahaman Konsep
  4. dst
B. Hasil Penelitian yang Relevan
C. Kerangka Berpikir
D. Hipotesis Penelitian

Demikian tulisan mengenai Isi Landasan Teori dalam Proposal Penelitian Skripsi, semoga dapat bermanfaat.

Sinopsis Buku Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi

Sinopsis Buku Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi

12 tahun waktu yang telah Anda gunakan untuk mempelajari  matematika di sekolah. Apa kesan-kesan yang Anda dapatkan setelah belajar matematika selama itu? Masih ingatkah pelajaran-pelajarannya? Setelah Anda tamat dan ingin melanjutkan ke perguruan tinggi, siapkah Anda bertemu dengan matematika lagi?

Buku ini sengaja ditulis untuk membantu mengatasi kesulitan belajar matematika sebagai persiapan bagi Anda masuk ke perguruan tinggi karena apapun jurusan Anda, matematika tetap akan Anda pelajari.
Bagian ke-1 (pendahuluan) dalam buku ini dijelaskan gambaran tentang apa itu matematika, apa yang harus dipelajari, bagaimana cara belajar, dan apa target yang harus dicapai. Bagian ke-2 dan ke-3 dijelaskan tentang bilangan dan operasi dasar bilangan sebagai materi matematika dasar yang harus dikuasai oleh setiap siswa baik siswa yang suka ataupun tidak suka dengan matematika. Bagian ke-4 dijelaskan langkah-langkah dalam menyelesaikan soal secara umum dan secara khusus untuk materi-materi tertentu. Bagian ke-5 dijelaskan bagaimana membuktikan dalam matematika beserta contohnya. Terakhir, sebagai tambahan pada bagian ke-6 dijelaskan tentang landasan dalam bermatematika yang merupakan pondasi dibangunya bangunan matematika. 

Informasi Buku
  • Judul       : Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi 
  • Penulis    : Fredi Batauga
  • Tebal       : iv+114 halaman
  • Ukuran    : $14 \times 20 \ cm$

Untuk melihat daftar isi dan sebagian isi buku ini, Anda bisa melihatnya pada Google Book >> Matematika Dasar ke Perguruan Tinggi. Untuk mendapatkan versi cetakannya silahkan melakukan pemesanan dengan mengisi Formulir PESAN BUKU MKB agar segera dicetak dan dikirimkan ke alamat Anda karena buku ini masih dalam bentuk ebook. Untuk membeli versi ebooknya silahkan kunjungi Google Play >> Book >> Matematika Dasar Ke Perguruan Tinggi.

EPPOS Mini Printer Bluetooth Mencetak Struk PLN Melalui HP

Assalamualaikum untuk pembaca muslim sekalian, pada kesempatan ini, admin akan melanjutkan tulisan yang sebelumnya mengenai Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa dan Mudahnya Mendapat Untung dari Jual Pulsa Listrik, yang admin beri judul dengan EPPOS Mini  Printer Bluetooth Mencetak Struk PLN Melalui HP.

Kegunaan dan kaitan dari EPPOS Mini  Printer Bluetooth dengan dua artikel kita sebelumnya, alat ini akan kita gunakan sebagai alat untuk mencetak struk pembayaran listrik PLN, yang akan melengkapi bisnis jual beli pulsa all operator dan pulsa listrik Anda. Untuk pemesanan silakah klik  gambar EPPOS Mini  Printer Bluetooth atau Mini Printer  EPPOS   di bawah ini!

Adapun kelebihan dari EPPOS Mini  Printer Bluetooth adalah ukurannya kecil dan menggunakan baterai sehingga bisa dibawa-bawa kemanapun. Syarat HP yang bisa digunakan tentunya HP android yang memiliki bluetooth.

Buku Metode Berhitung Alif: Melatih Kekuatan Otak pada Anak

Buku Metode Berhitung Alif: Melatih Kekuatan Otak pada Anak
Masih ingatkah Anda cara mengerjakan operasi pengurangan bersusun dengan bahasa utang-piutang? Masihkah Anda menggunakan atau mengajarkannya? Ini bahasa yang kurang baik karena mengajarkan mental berhutang (angka) dan tidak membayar utangnya tersebut. Begitu juga bahasa ingat-mengingat dalam operasi penjumlahan bersusun, mengajarkan mental mengingat-ingat apa yang telah  diberikan kepada (angka) yang lain. Sudah saatnya berganti bahasa dengan bahasa yang lebih baik, seperti "memberi lebih baik daripada menerima".

Metode Berhitung Alif: Melatih Kekuatan Otak pada Anak adalah sebuah metode berhitung untuk mengubah kebiasaan yang kurang baik dalam berhitung, yaitu berhutang tetapi tidak untuk dilunasi dan mengingat-ingat apa yang telah diberikan kepada yang lain. Tidak hanya itu, metode berhitung ini dapat digunakan untuk melatih kekuatan atau kemampuan otak pada anak karena menggunakan kebiasaan baru yang berbeda dari biasanya dalam berhitung. Di dalamnya, diperkenalkan Metode Alif, suatu metode yang menerapkan cara membaca al-Qur’an, yaitu membaca dari kanan ke kiri dan menggunaan bahasa akhlak yang dikaitkan dengan pelajaran matematika. Tidak hanya bisa diterapkan pada bilangan desimal, tetapi juga pada basis bilangan lain.
Penerapkan Metode Alif dalam operasi dasar matematika di berbagai basis bilangan bulat ini disebut Metode Berhitung Alif. 
Metode Berhitung Alif sangat sederhana untuk digunakan, tidak mengurangi logika dalam berhitung meskipun menggunakan bahasa yang tidak matematis. Dalam Metode Berhitung Alif, anak diajarkan bahasa akhlak “memberi lebih baik daripada menerima” dalam aturan penyaluran kelebihan bilangan dari sebelah kanan ke sebelah kiri notasi alif sehingga setiap di sebelah kanan notasi alif hanya boleh terdapat satu angka. Selain itu, tidak boleh ada bilangan negatif di sebelah kanan notasi alif sehingga angka yang di sebelah kirinya harus membantu untuk mencukupinya.

Buku Metode Berhitung Alif ini berbeda dari yang lain, berusaha menyatukan berbagai aspek dalam pembelajaran matematika, tidak hanya pada aspek pengetahuan dan keterampilan, tetapi juga aspek sikap. Metode ini mudah dan sederhana, metode yang diharapkan dapat meningkatkan kemampuan berhitung, kemampuan berimajinasi, dan dapat digunakan untuk mengajarkan akhlak kepada anak. Metode Berhitung Alif ini cocok untuk digunakan untuk semua orang baik yang sedang menempuh pendidikan formal pada tingkat dasar, menengah pertama, menengah atas, mahasiswa, atau pun masyarakat umum. 

Metode Berhitung Alif memiliki kekurangan dalam hal penulisan. Akan tetapi, jika sudah terbiasa menggunakannya maka anak hanya perlu berimajinasi tanpa harus menuliskan angkanya. Kunci dari metode ini adalah kebiasaan membaca dari kanan ke kiri (biasakan membaca al-Qur’an untuk mengubah kebiasaan), membiasakan dengan latihan, kecepatan menulis, dan memahami logika berhitung.

Kesimpulan:
Dengan adanya Metode Berhitung Alif, diharapkan dapat menambah pengetahuan dan wawasan kepada para pengajar matematika bahwa aspek apektif, kognitif, dan psikomotorik dapat dijalankan secara bersama-sama dalam waktu yang bersamaan dalam pembelajaran misalnya pembelajaran matematika dalam rangka mencapai tujuan pendidikan yaitu mencerdaskan kehidupan bangsa yang berakhlak mulia sesuai nilai-nilai yang di anut oleh bangsa Indonesia yang berbudi pekerti baik serta tidak bertentangan dengan syariat agama Islam. 


Untuk melihat daftar isi dan sebagian isi buku ini, Anda bisa melihatnya di Google Book >> Metode Berhitung Alif. Untuk mendapatkan versi cetakannya silahkan melakukan pemesanan di Cekpiona.com >> Metode Berhitung Alif. Untuk membeli versi ebooknya silahkan kunjungi Google Play >> Metode Berhitung Alif. Jika Anda belum punya Google Play Book, silahkan download dulu karena ebook akan bisa dilihat jika Anda punya aplikasi Google Play Book. 👇
Demikian postingan kami ini, semoga dapat bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya!

Mudahnya Mendapat Untung dari Jual Pulsa Listrik

Pulsa Listrik oleh istilah orang-orang adalah pulsa yang digunakan untuk membayar tagihan pemakaian listrik.  Bayar tagihan pulsa ini ada dua macam, bayar sebelum dan sesudah pemakaian. Dulunya hanya ada tagihan listrik sesudah pemakaian, tapi sekarang ada yang membayar terlebih dahulu sebelum menggunakan listrik.

Tidak bisa dipungkiri bahwa kebutuhan listrik menjadi kebutuhan primer, karena segala peralatan yang ada dirumah hampir seluruhnya membutuhkan listrik. Misalnya, lampu, mesin pemompa air, kipas angin, kulkas, dan lain-lain.

Karena hal tersebut merupakan kebutuhan yang harus ada di setiap rumah, maka Anda bisa memanfaatkan peluang ini dengan berjualan pulsa listrik, baik prabayar maupun pasca bayar. Lalu bagaimana caranya?

Pertama, baca artikel ini Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa. Jika Anda yakin hal tersebut bukan penipuan, maka mulailah menjadi agen jual pulsa melalui situs tersebut. Insya Allah, bukan penipuan karena admin sudah mencoba bergabung di sana. Tapi jika Anda ragu, tidak perlu meneruskannya atau carilah yang terpercaya.

Kedua, setelah Anda sudah mendaftar di PORTAL PULSA, dan sudah mempunyai saldo pulsa yang akan digunakan untuk transaksi pembayaran listrik maka langkah selanjutnya adalah promosi kepada orang-orang di sekitar Anda dan menyediakan fasilitas yang dibutuhkan, yaitu buku catatan dan pulpen sebagai alat tulis Anda nantinya ketika menuliskan ID PLN Pelanggan, no HP pembeli, dan hal-hal yang diperlukan, tetapi ini tidak cukup jika untuk melayani listrik pasca bayar (tagihan PLN) karena Anda harus mencetak struk pembayarannya sebagai bukti pembayaran. Untuk itu Anda harus menyiapkan print, laptop, dan koneksi internet.

Ketiga, setelah Anda menyiapkan hal-hal yang dibutuhkan dan diperlukan maka pelajari cara transaksinya sebagai berikut.
Listrik Pra-Bayar
  • Mintalah nomor meter / ID PLN yang akan diisi dengan panjang 11 digit kepada pembeli. Minta juga nomor HP pembeli untuk keperluan pengiriman TOKEN PLN yang selanjutnya akan dimasukkan ke KWH meter. Nantinya Anda sebagai penjual juga akan menerima kode token PLN tersebut sebagai backup jika pembeli tidak menerima maka Anda dapat membantu mengirimkan kode token PLN yang Anda terima ke pembeli
  • Kemudian beli token pln dengan format: KODE IDPLN NOHP PIN contoh PLN50 11223344556 081234567890 1234, lalu kirim ke center transaksi dan tunggu hingga mendapat reply sukses.
  • Setelah transaksi berhasil, pembeli akan menerima kode token PLN dengan panjang 20 digit yang harus dimasukkan ke KWH Meternya. Anda juga akan mendapat reply sukses serta kode token PLN Termurah tersebut sebagai backup.
  • Adapun kode produknya sebagai berikut. 
Voucher PLN 20000 kodenya adalah PLN20Voucher PLN 50000 kodenya adalah PLN50
Voucher PLN 100000 kodenya adalah PLN100
Voucher PLN 500000 kodenya adalah PLN500
Voucher PLN 1000000 kodenya adalah PLN1000

Listrik Pasca-Bayar
  • Ketika ada yang ingin membayar tagihan listrik PLN melalui Anda, maka minta ID Pelanggan yang bisa dilihat di struk pembayaran yang ada ketika dia membayarkan ke pihak PLN langsung; dan Nohp Pembeli yang nanti digunakan untuk info bahwa tagihan telah dibayar.
  • Cek berapa tagihan yang harus dibayarkannya, dengan mengetik via sms dengan format: TG KODE IDPEL NOHP PIN contoh TG PLN 11223344556 081234567890 1234, lalu kirim ke center transaksi. Anda akan mendapatkan reply rincian tagihan yang harus dibayar dan TRXID/IDTAGIHAN.
  • Setelah tahu berapa yang harus dibayarkan melalui sms balasan, maka selanjutnya lakukan transaksi pembayaran dengan cara ketik via sms dengan format:  BY IDTAGIHAN PIN contoh BY 16011520008 1234, lalu kirim ke nomor sms center yang dipakai seperti pada transaksi pengiriman pulsa.
  • Cetak struk pembayarannya, dengan mengunjungi Cara Cetak Struk PLN, kemudian nyalakan printer dan print, selesai.
  • Akhirnya, Anda tinggal meminta bayaran berupa pulsa yang terpotong+biaya admin, misal kalau pulsa yang terpotong adalah 20.000 maka Anda bisa meminta pembeli Anda untuk membayar sebesar 25.000. 
Semoga informasi dan tutorial singkat ini bermanfaat. 

Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa

Apakah Portal Pulsa Penipu? Menjadi Agen Pulsa
Assalamu'alaikum, sobat MKB sekalian. Kali ini admin akan memposting artikel mengenai agen pulsa  melalui Portal Pulsa. Mungkin, bagi Anda yang sedang mencari situs online yang terpercaya untuk menjadi agen pulsa, dan kebetulan Google yang Anda jadikan tempat bertanya mengantarkan kepada PORTAL PULSA untuk menjadi agen pulsa all operator, tetapi masih ragu apakah  portal pulsa penipu atau tidak, maka saya sarankan lakukan pencarian di Google dengan mengetik  "Portal Pulsa Penipu" kemudian cari. Ketika Anda tidak menemukan artikel yang membahas hal tersebut, maka bisa dibilang tidak pernah ada penipuan dari Portal Pulsa atau belum ada yang menuliskan artikel tentang penipuan yang dilakukan oleh Portal Pulsa di internet khususnya yang mensubmit blog/situsnya ke Google dan juga jangan langsung percaya artikel-artikel yang ada di Internet, jika Anda meragukan penulisnya.

Ketika Anda menemukan artikel ini yang disarankan oleh Google untuk dibaca, maka saya akan memberikan pengalaman saya tentang Portal Pulsa karena saya telah bergabung menjadi member sejak 17/10/2017 dan alhamdulillah BUKAN PENPUAN. Selama ini transaksinya berjalan lancar, meskipun saya tidak terlalu serius untuk menjadi agen, hehe. Tapi, bisa mengisi pulsa sendiri dengan harga yang lebih murah daripada membeli kepada orang lain, itu sudah menghemat pengeluarkan untuk beli pulsa.

Cara Daftar Menjadi Agen?
 
Bagaimana caranya menjadi member Portal Pulsa? Caranya gampang, Anda tinggal menuju ke link pendaftarannya yang merupakan link referal admin, KLIK DISINI. Maka akan tampil Form Pendaftarannya sebagimana pada gambar berikut ini.
  
Silahkan isi data yang diperlukan, mulai dari no. HP Anda sebagai tempat transaksi Anda, email Anda yang aktif, nama lengkap, kota Anda, NIK KTP, serta mengisi pertanyaan keamanan 1 dan 2. Setelah  selesai, masukan captcaha yang ada, kemudian klik daftar sekarang. Seteleh itu tunggu konfirmasinya melalui SMS atau di email yang Anda daftarkan tadi. Di situ akan ada informasi mengenai akun anda seperti PIN, dll.

Selanjutnya, Anda tinggal melakukan deposit saldo. Setelah memiliki saldo, artinya Anda sudah bisa memberi tahu kepada orang lain, untuk memberi pulsa kepada Anda. Adapun transaksinya sebagai berikut.

Cara Transaksi Mengirim Pulsa

KETERANGAN FORMAT CONTOH
Isi Pulsa Tanpa Kode       NOMINAL NOHP PIN     10 081329111222 1234
Isi Pulsa Tanpa Kode Dobel     NOMINAL NOHP PIN URUTAN 10 081329111222 1234 2
Kirim Ke Nomor Center 082324433107/085326603455. Untuk cara transaksi yang lain silahkan klik DISINI.
 
Selain berjualan pulsa, Portal Pulsa juga menyediakan transaksi yang lain, misalnya untuk pulsa listrik, dll. kalau tidak percaya silahkan baca sendiri di PORTAL PULSA.   Apabila Anda kesulitan dalam mendaftar dan ingin dipandu cara deposit saldonya, nanti saya yang daftar dan ajarkan, jika ingin didaftarkan silahkan langsung WA Ke +6285246493737 

Demikian tutorial singkatnya, semoga bermanfaat.
Pencarian Terkait

Bukti Identitas |cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)

Bukti identitas $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$, ini dipertanyakan oleh salah satu teman saya yang kebetulan sedang mengambil mata kuliah Analisis Kompleks pada program studi pendidikan matematika, Universitas Lakidende, Unaaha. Agar dapat bermanfaat bagi pembaca blog ini, saya menulis buktinya di sini. Sebelumnya terima kasih telah berkunjung!

Tulisan ini diperuntuhkan bagi mahasiswa yang sedang mencari cara memuktikan identitas tersebut. Entah itu tugas dari dosen atau kebutuhan mahasiswa sendiri. Sehingga, bagi Anda yang sedang atau telah mengambil mata kuliah Analisis Kompleks, bukalah kembali buka Anda yang membahas tentang fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan modulus pada pelajaran analisis kompleks karena kali ini hanya akan dibuktiktikan identitas di atas saja, tidak membahas materi-materi yang disebutkan sebelumnya. Pada bukti di bawah ini, saya hanya memberikan ide cara membuktikannya, selebihnya Anda tinggal mempelajarinya mengapa langkah-langkah yang ada bisa terjadi. Itu adalah tugas Anda. 

Untuk membuktikan kesamaan di atas, dapat dilakukan dengan cara merubah salah satu ruas (ruas kiri atau ruas kanan) sehingga sama dengan ruas lainnya menggunakan kesamaan-kesamaan yang telah diketahui atau dibuktikan sebelumnya. 

Perhatikan kesamaannya, dari ruas kiri yaitu $|cosh (z)|^2$ akan ditujukkan $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$ sebagai berikut.

$ \begin{align} & |cosh (z)|^2 & = (cosh (z))(cosh ( \overline{z})) \\ & = (cosh (x+iy))(cosh (x-iy)) \\ & = (cosh (x) cosh (iy) + sinh (x) sinh (iy)) \\ & (cosh (x) cosh (iy) - sinh (x) sinh (iy)) \\ & = (cosh (x) cos (y) + sinh (x) i sin (y)) \\ & (cosh (x) cos (y) - sinh (x) i sin (y)) \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 - (sinh (x) i sin (y))^2 \\ & = (cosh (x) cos (y))^2 + (sinh (x) sin (y))^2 \\ & = cos^2 (y) (cosh^2 (x) - sinh^2 (x)) + sinh^2 (x) cos^2 (y1 \\ & + sinh^2 (x) (sin^2 (y) + cos^2 (y)) - sinh^2 (x) cos^2 (y) \\ & = cos^2 (y) . (1) + sinh^2 (x) . (1) \\ & = cos^2 (y) + sinh^2 (x) \end{align} $.

Kita peroleh ruas kanannya yaitu $sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Karena ruas kiri samadengan ruas kanan maka kita telah membuktikan bahwa $|cosh (z)|^2=sinh^2 (x) + cos^2 (y)$. Demikian bukti singkat ini, semoga dapat bermanfaat bagi pembaca. 

Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi

Setelah mempelajari Pra-Kalkulus dengan baik, memudahkan Anda mempelajari materi kalkulus yaitu limit, turunan, dan integral. Kalkulus dibangun dari konsep dasar berupa limit fungsi. Sehingga, pada kesempatan ini, yang akan dipelajari mula-mula adalah Definisi Limit Fungsi Secara Intuisi dan dilengkapi dengan Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi. Setelah menguasai materi ini, selanjutnya pelajarilah Definisi Limit Secara Formal. Anda bisa membaca tulisan kami yang lain pada blog kami yang lain dengan judul Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi. Berikut diberikan definisi/pengertian dari limit fungsi secara intuisi (bukan secara formal).

Definisi: Misalkan $ f $ sebuah fungsi dari bilangan real ke bilangan real ($ f : R \rightarrow R \, $) dan misalkan $ L $ dan $ a $ bilangan real. Kita katakan bahwa:

$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ 
jika dan hanya jika $ f(x) $ mendekati $ L $ untuk semua $ x $ mendekati $ a $.

Adapun Cara Membaca notasi limit fungsi di atas adalah sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L \, $ dibaca limit fungsi $ f(x) \, $ untuk $ x $ mendekati $ a $ sama dengan $ L $
Syarat suatu fungsi mempunyai limit di titik tertentu:
Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ . Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ .

Artinya, jika nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = L \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) = L \, $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = L $ .

Contoh: Apakah fungsi berikut ini mempunyai limit atau tidak?

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $
untuk $ x \, $ mendekati 1?

Penyelesaian:
Keterangan fungsi: jika nilai $ x \leq 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x > 1 \, $ maka berlaku $ f(x) = x + 1 $

Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka f(x) mendekati 1:
$\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =1^2= 1$
dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka f(x) mendekati 2:
$ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =1+1=2 $

Karnena nilai limit kiri dan kananya tidak sama, maka fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. \, $ untuk $ x \, $ mendekati 1 tidak mempunyai limit.

Mempelajari definisi limit fungsi, baik secara intuisi maupun seara formal adalah syarat dan dasar memahami materi limit fungsi dan mempelajari teorema-teorema limit. Salah satu teorema yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi, baik fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri adalah teorema substitusi yang akan dibahas berikut ini. 

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Cara Substitusi maksudnya adalah  mensubstitusikan/memasukan langsung nilai $ x \, $ ke fungsi $ f(x) $ tersebut yakni sebagai berikut.
$ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $ 
Cara substitusi ini bisa dilakukan apabila f(a) memiliki nilai atau dengan kata lain f(x) terdefinisi pada x=a. Apabila tidak memiliki nilai maka cara substitusi ini tidak dapat dilakukan. Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Tentukan nilai limit dari bentuk berikut!
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } $

Penyelesaian:

a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) - 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $.

Coba perhatikan jawaban soal pada bagian a), dengan mensubstitusikan x=2 ke fungsi f(x)=2x+1 diperoleh f(2)=5. Oleh karena itu,  $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $. Perhatikan juga jawaban soal pada bagian b), dengan mensubstitusikan x=-1 ke fungsi $ f(x)= \frac{x^2 + 2}{2x - 1 }$ diperoleh f(-1)=-1. Oleh karena itu, $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x - 1 } = -1 $. Adapaun apabila f(a) tidak memiliki nilai, caranya telah dijelaskan dalam tulisan lain dalam blog ini. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.

Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi

Setelah mahir Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan Fungsi baik untuk fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri. Sekarang pada tulisan ini, akan diberikan Rumus Dasar Turunan Fungsi yang akan digunakan untuk Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi.

Berikut ini daftar rumus-rumus dasar turunan fungsi:

1). $ y = c \rightarrow y^\prime = 0 $ .
dimana $ c \, $ adalah konstanta. Jadi, setiap kostanta turunannya adalah nol.

2). $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} $
dimana $ n \, $ adalah bilangan real.

3). $ y = U \pm V \rightarrow y^\prime = U^\prime \pm V^\prime $

4). $ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime $

5). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} $

dimana $ U \, $ dan $ V \, $ adalah dua buah fungsi yang berbeda.

6). $ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) $

7). $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

Contoh-contoh soalnya sebagai berikut.

1). Tentukan turunan fungsi aljabar berikut:
a). $ y = 3 $
b). $ y = x^5 $
c). $ y = \frac{5}{x^2} $
d). $ y = 3\sqrt{x} $
e). $ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } $
f). $ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} $

Penyelesaian :

a). Turunan konstanta adalah nol (rumus dasar 1).
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b). Rumus dasar 2) dengan $ n = 5 $
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
c). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{5}{x^2} = 5 x^{-2} \\ \rightarrow y^\prime = n . a . x^{n-1} \\ = (-2). 5. x^{(-2) - 1} \\ = -10x^{-3} = \\ \frac{-10}{x^3} $
d). Gunakan rumus dasar 2, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \\ \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} \\ = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} \\ = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} \\ = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
e). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{2}{3x\sqrt{x} } = \frac{2}{3x^1. x^\frac{1}{2} } = \frac{2}{3x^\frac{3}{2} } = \frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} $
$ y^\prime = n.a.x^{n-1} = -\frac{3}{2} . \frac{2}{3} . x^{-\frac{3}{2} - 1 } = - x^{-\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^\frac{5}{2}} = \frac{-1}{x^2.x^\frac{1}{2}} = \frac{-1}{x^2\sqrt{x}} $
f). Rumus dasar 2, dan gunakan sifat eksponen,
$ y = \frac{3}{2}\sqrt[5]{x^3} = \frac{3}{2}x^\frac{3}{5} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{3}{5}. \frac{3}{2}.x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{9}{10} x^{-\frac{2}{5}} = \frac{9}{10} \frac{1}{ x^{\frac{2}{5}} } = \frac{9}{10 \sqrt[5]{x^2}} $

2). Tentukan turunan ($ f^\prime (x) $) dari setiap fungsi berikut.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $

Penyelesaian :

Untuk menentukan turunan fungsi-fungsinya, kita gunakan rumus dasar 3. Rumus dasar 3 itu maksudnya setiap suku masing-masing diturunkan.
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
Misalkan :
$ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x $
$ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 $
Untuk fungsi yang variabelnya pangkat satu : $ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
Turunan fungsinya adalah :
$ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

3). Tentukan turunan fungsi aljabar dari fungsi $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $

Penyelesaian :

Kita gunakan rumus dasar 4. Sebenarnya setiap fungsi bisa dikalikan terlebih dahulu kemudian diturunkan menggunakan rumus dasar 3 dan 2.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ & = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ & = 10x^4 - 3x^2 - 1 \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 10x^4 - 3x^2 - 1 $

4). Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ?

Penyelesaian :
Kita gunakan rumus dasar 5).

Misalkan :
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ \begin{align} y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ & = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ & = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} \end{align} $
Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

Demikianlah Rumus Dasar Menyelesaikan Soal-Soal Turunan Fungsi, semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi yang sedang membutuhkannya.

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan

Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan - Matematika Ku Bisa - Turunan fungsi $f(x)\,$ di $x=a\,$ dinotasikan dengan $f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) - f(a)}{\Delta x} \, \, $ jika limitnya ada.

atau bisa ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, a $ ". Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x - a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sehingga definisi limit di atas bisa juga ditulis:

$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) - f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) - f(a)}{x-a} $

Notasi Turunan

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya.

Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan: $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum

Turunan fungsi $ f(x) \, $ untuk semua $ x \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (x) \, $ , didefinisikan sebagai:

$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \, \, $ jika limitnya ada.

Bentuk $ f^\prime (x) \, $ dibaca " $ f \, $ aksen $ \, x $ ".

Contoh Soal:
Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut:
a). $ f(x) = 5x - 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $

Penyelesaian: (Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $)

a). $ f(x) = 5x - 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h - 2) - (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] - (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
¤ Ingat bentuk:
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Sehingga:
$ \begin{align} f(x+h) & = \sin (x + h) \\ & = \sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $

¤ Rumus:
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sehingga :
$ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $.

¤Bentuk :
$ \begin{align} \cos h - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ & = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h \end{align} $

¤ Menentukan penyelesaiannya:
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h - \sin x ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) \\ & + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) \\ & + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $

Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Demikianlah cara Menyelesaikan Turunan Suatu Fungsi Menggunakan Definisi Turunan. Semoga tulisan sederhana ini bermanfaat bagi pembaca sekalian.

Definisi dan Teorema Order dari Suatu Anggota Grup

Definisi: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$. Order dari a, ditulis $o(a)$, adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga $a^n=e$. Jika tidak ada bilangan n yang demikian maka dikatakan order a adalah nol atau tak hingga. 

Teorema: Misalkan (G,*) grup dan $a \in G$ dengan $o(a)=n$.
1) Jika $a^m=e untuk suatu bilangan bulat positif m, maka n membagi m
2) Untuk setiap bilangan bulat positif t, berlaku $o(a^t)=n/FPB(t,n)$
Bukti 1): Karena n bilangan asli terkecil demikian sehingga $a^n=e$, maka n harus lebih kecil atau sama dengan m. Andaikan n tidak membagi m, maka menurut algoritma pembagian m=np+q dimana 0 < q < n.
Pandang!
$a^m=e$
$a^(np+q)=e$
$a^(np) a^q=e$
Jadi diperoleh $a^q$ juga sama dengan e dimana  0 < q < n. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa n adalah yang terkecil sedemikian hingga $a^n=e$. Jadi, pengandaian salah yang benar adalah n membagi m.

Bukti 2): Misalkan KPK dari t dan n adalah m. Hal ini berarti bahwa t membagi m dan n membagi m. Akibatnya, $a^m=e$. Jadi, orde dari $a^t$ adalah p dimana t.p=m. Andaikan diketahui bahwa FPB dari t dan m adalah q. Maka, menurut suatu teorema dalam teori bilangan m=(t.n)/q. Dengan demikian orde dari $a^t$ adalah:
p=m/t
p={(t.n)/q}/t
p=n/q.
Karena q adalah FPB dari t dan n maka terbukti.

Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers

Suatu hal yang sangat penting untuk diketahui bahwa unsur identitas dalam Grup adalah tunggal. Hal ini mengakibatkan bahwa unsur invers dalam Grup juga tunggal.

Apa yang terjadi ketika unsur identitas itu tidak tunggal? Maka, suatu unsur akan memiliki lebih dari satu invers tergantung banyaknya unsur identitas. Kalau suatu unsur memiliki lebih dari satu invers maka setiap unsur itu di dalam G harus dituliskan sebanyak unsur inversnya dalam himpunan G tersebut. Hal ini bertentangan dengan konsep menuliskan keanggotaan himpunan sebab {a, a, b, b}={a, b}. Akibatnya, sulit membayangkan ketidakkonsistenan hal ini akan terjadi dalam matematika. Padahal, matematika dibangun atas dasar konsistensinya. Namun, hal ini tidak akan pernah terjadi karena kalau suatu himpunan G dengan operasi * adalah Grup maka Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers menyertainya sebagai sifat yang dimilikinya yang akan ditunjukkan di bawah ini dengan bukti kontradiksi yang lebih formal dari penjelasan barusan.

Di dalam kehidupan, pernahkah kita memikirkan bahwa setiap dari kita adalah tunggal? Hukum ketunggalan unsur identitas ini juga berlaku bagi diri kita sebagai individu manusia dalam himpunan manusia. Tidak ada satupun manusia yang sama persis walaupun mereka dilahirkan kembar atau dengan kata lain tidak ada satupun manusia yang memiliki identitas yang sama tetapi memiliki dua badan yang berbeda. Misalnya, identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga. Hal yang tidak bisa diterima oleh akal sehat karena jika identitas Ibnu Batauga dimiliki juga oleh Ahmad Batauga maka orang tua mereka juga sama yaitu sama-sama dilahirkan olehnya. Jika orang tua mereka itu sama maka sebenarnya Ibnu Batauga dan Ahmad Batauga adalah orang yang sama hanya nama panggilannya berbeda. Artinya tidak ada satu identitas tetapi dalam dua tubuh yang berbeda walaupun mereka terlahir kembar dari orang tua yang sama. Hal ini dibuktikan dengan penemuan ilmiah bahwa setiap orang memiliki pola garis pada jarinya itu unik. Jadi, setiap manusia memiliki identitasnya sendiri yang membedakan dengan orang lain.

Berikut ini diberikan bukti Ketunggalan Unsur Identitas dan Invers secara formal.

¤) Unsur identitas itu tunggal

Bukti:
Andaikan tidak tunggal, maka suatu Grup memiliki unsur identitas lain (misalnya f) selain dari e. Akibatnya, e=e*f. Karena e=e*e maka diperoleh persamaan e*f=e*e. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh f=e yang kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa f tidak sama dengan e. (terbukti).

¤¤) Unsur invers itu juga tunggal sebagai akibat unsur identitas itu tunggal.

Bukti:
Andaikan untuk setiap a $\in G$ memiliki unsur invers lain (misalnya c) selain dari b. Maka, a*c=e. Karena a*b=e, diperoleh persamaan a*c=a*b. Dengan menggunakan hukum pencoretan kiri diperoleh c=b. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian kita bahwa c berlainan dengan b. (terbukti).

#CMIWW

Memahami Hukum Pencoretan

Hukum pencoretan merupakan hukum yang digunakan dalam melakukan penyederhanaan bentuk persamaan yang melibatkan operasi biner seperti operasi penjumlahan (+), perkalian (x), dsb. Contohnya sebagai berikut.

2x + 4= 6

Menerapkan hukum pencoretan untuk menyelesaikan persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

2x + 4 = 6
2x + 4 = 2 + 4
2x = 2
2x = 2.1
x = 1

Perhatikan di atas, 6 dirubah menjadi 2 + 4 agar menjadi 2x + 4 = 2 + 4 sehingga hukum pencoretan kanan untuk operasi penjumlahan dapat dilakukan. Setelah dilakukan pencoretan maka bentuk persamaannya menjadi 2x=2. Agar hukum pencoretan kiri untuk operasi perkalian juga dapat digunakan, 2 dirubah menjadi 2.1 sehingga 2x=2 berubah menjadi 2x=2.1. Dengan menerapkan hukum pencoretan kiri diperoleh x=1.

Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan definisnya.

Definisi:

1. Suatu himpunan A terhadap operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kiri jika a*b=a*c mengakibatkan b=c.

2. Suatu himpunan A dengan operasi * dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika b*a=c*a mengakibatkan b=c.

Catatan: Untuk himpunan A yang komutatif, jika memenuhi hukum pencoretan kiri, pasti memenuhi hukum pencoretan kanan karena a*b=b*a dan a*c=c*a sehingga jika a*b=a*c yang mengakibatkan b=c maka untuk b*a=c*a juga mengakibatkan b=c.

Hasil penting berikut ini adalah jaminan suatu himpunan memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan tanpa melihat apakah himpunan tersebut komutatif atau tidak.

"Jika A suatu grup maka A memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kanan"

Bukti:

Ambil sebarang a, b, c, f, g, dan h $\in A$. Jika a*b=a*c dan g*f=h*f akan diperlihatkan b=c dan g=h.

Karena A grup maka terdapat a' dan f' sedemikian hingga a'*a=a*a'=e dan f*f'=f'*f=e dimana e unsur identitas terhadap operasi *. Maka,

a*b=a*c
a'*(a*b)=a'(a*c)
(a'*a)*b=(a'*a)*c
e*b=e*c
b=c.

g*f=h*f
(g*f)*f'=(h*f)f'
g*(f*f')=h*(f*f')
g*e=h*e
g=h
(Terbukti)

Contoh-contoh:
¤ Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian memenuhi hukum pencoretan kiri dan kanan sekaligus karena pada himpunan tersebut dengan operasi perkalian berlaku sifat komutatif.

¤ Karena (Z, +) adalah grup maka berlaku hukum pencoretan kiri dan kanan.

Latihan: Coba perlihatkan apakah himpunan matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks memenuhi atau tidak memenuhi hukum pencoretan kiri dan hukum pencoretan kenan.

Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika (G,*) memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Untuk mengingat ke empat sifat ini, Anda bisa memberi singkatannya secara berurutan, misalnya TERAS IDENVERS.

Pada pemabahasan sebelumnya, telah dijelaskan secara khusus bagaimana cara Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya yang didefinisikan pada himpunan tersebut bahwa untuk setiap a dan b aggota di G harus berlaku a*b anggota di G juga. Selanjutnya, untuk membuktikan apakah berlaku sifat asosiatif atau tidak, sangat sederhana untuk dilakukan yaitu cukup mengambil sebarang 3 anggota di dalam himpunan G misalnya a, b, dan c, kemudian diperlihatkan apakah (a*b)*c=a*(b*c). Jika memenuhi, dikatakan bahwa berlaku sifat asosiatif. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat asosiatif penjumlahan yaitu (a+b)+c=a+(b+c), untuk a, b, c bilangan bulat.

Pada kesempatan ini, akan dibahas bagaimana membuktikan suatu himpunan bersama operasinya apakah memenuhi sifat identitas atau sifat invers karena kedua hal ini berkaitan. Kita tidak akan mengetahui invers tanpa mengetahui unsur identitasnya.

Membuktikan Sifat Identitas dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Untuk membuktikan sifat identitas, harus dapat menemukan suatu unsur dalam G (biasa disimbolkan dengan e) sehingga untuk semua g anggota dalam G jika dioperasikan dengan suatu operasi * dengan unsur e tersebut, berlaku g*e=e*g=g. Jadi, ingat bahwa e harus merupakan anggota himpunan G juga, g*e=g dan e*g=g.

Terdapat suatu kesulitan dalam hal menemukan unsur identitasnya ketika kita akan membuktikan sifat identitas. Oleh karena itu, dapat dilakukan dengan cara menduga suatu unsur identitas dalam G (misal f dimana f $ \in G $), kemudian mengujinya apakah untuk setiap g dalam G berlaku g*f=f*g=g, jika ia maka f disebut unsur identitas dalam G terhadap operasi *. Operasi bintang maksudnya adalah suatu operasi tertentu yang didefinisikan pada suatu himpunan G. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi penjumlahan yang biasa, kita tahu bahwa sebarang a bilangan bulat jika dijumlahkan dengan 0 yakni a+0 atau 0+a pasti menghasilkan a (a+0=0+a=a). Karena keberadaan 0 ini yang merupakan anggota himpunan bilangan bulat juga, maka kita katakan 0 adalah unsur identitas terhadap operasi penjumlahan biasa pada bilangan bulat. Jadi, kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat identitas. Begitu juga untuk operasi x biasa bahwa unsur identitas terhadap operasi x biasa adalah 1 karena untuk setiap a bilangan bulat berlaku ax1=1xa=a.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat identitas karena sebarang bilangan real ditambahkan dengan 0 atau dikalikan dengan 1 pasti menghasulkan bilangan real itu juga dan kita tahu 0 dan 1 merupakan anggota dalam himpunan bilangan real.

Intinya, kita harus mampu menduga unsur identitasnya (e $\in G $), kemudian menguji apakah untuk setiap g anggota G berlaku g*e=e*g=g.

Misalkan G={1, -1, i, -i}, tentukan apakah G memiliki unsur idenditas terhadap operasi perkalian biasa!

Dengan memperhatikan setiap anggota G, kita menduga bahwa unsur identitasnya terhadap operasi perkalian adalah 1 karena untuk setiap g $\in$ G berlaku gx1=1xg=g, yakni 1x1=1, (-1)x1=1x(-1)=-1, ix1=1xi=i, (-i)x1=1x(-i)=-i.

Untuk pembaca: Apakah, G juga memiliki unsur identitas terhadap operasi penjumlahan yang biasa?

Membuktikan Sifat Invers dari Suatu Himpunan Sesuai Operasinya

Selanjutnya akan dibahas bagaimana membuktikan sifat invers. Kita pahami dulu apa yang dimaksud dengan invers. Kita telah mengetahui bahwa inversnya 2 terhadap operasi penjumlahan adalah -2, karena 2+(-2)=(-2)+2=0 sedangkan inversnya 2 terhadap operasi perkalian adalah 1/2 karena 2 x 1/2=1/2 x 2=1. Jadi tergantung operasinya apa dan identitasnya. Oleh karena itu untuk membuktikan sifat invers untuk suatu (G,*) dilakukan dengan cara:

" Mengambil sebarang anggota g dalam himpunan G, kemudian menentukan invers dari g yang dimisalkan dengan g', g' juga harus merupakan anggota G sehingga g*g'=g'*g=e. Artinya, untuk setiap g anggota G terdapat g' sehingga g*g'=g'*g=e. "

Perhatikan contoh berikut ini!

Misal G adalah himpunan bilangan bulat atau G=Z. Pada bahasan sebelumnya di atas, unsur identitas G terhadap operasi penjumlahan adalah 0 (e=0). Pertanyaan yang timbul sekarang, apakah (G,+) memenuhi sifat invers?

Ambil sebarang a $\in G$, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap a, terdapat a' $\in G$ sehingga a+a'=a'+a=0.

Perhatikan bahwa a+(-a)=0 dan (-a)+a=0, jadi a'=-a. Karena -a juga bilangan bulat maka -a merupakan anggota di G. Oleh karena itu, kita simpulkan (G,+) memenuhi sifat invers.

Untuk pembaca: Apakah himpunan bilangan bulat memenuhi sifat invers terhadap operasi perkalian?

Semoga bermanfaat.

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Suatu himpunan misalnya (himpunan G) dengan suatu operasi (misalnya operasi bintang (*) yang didefinisikan pada himpunan G) adalah Grup (atau dengan kata lain (G,*) membentuk grup) jika memenuhi empat sifat berikut ini.

1) Tertutup
2) Asosiatif
3) Identitas
4) Invers

Membuktikan Sifat Tertutup dari Suatu Himpunan terhadap Operasinya

Untuk membuktikan sifat tertutup, harus dapat ditunjukkan bahwa semua anggota dalam himpunan G jika dioperasikan satu sama lainnya dengan operasi * maka menghasilkan anggota di himpunan G juga. Artinya bahwa, jika dua anggota sebarang dalam G dioperasikan dengan operasi * maka hasil operasinya juga merupakan anggota di G. Hal ini sulit dilakukan apabila banyaknya anggota di G tidak berhingga. Sehingga, apabila jumlah anggota di himpunan G tak berhingga maka cara membuktikan sifat tertutup adalah sebagai berikut.

Pertama-tama, ambil sebarang dua anggota dalam himpunan G (misalnya a dan b). Selanjutnya, operasikan dengan operasi * yakni a*b. Kita jalankan sampai kita mendapatkan hasil misalnya c sehingga c memenuhi syarat keanggotaan himpunan G, karena itu kita simpulkan bahwa a*b=c merupakan anggota G. Dengan demikian, (G,*) bersifat tertutup

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Misal Z himpunan bilangan bulat dan + adalah operasi + biasa, kita tahu bahwa sebarang a dan b bilangan bulat jika dijumlahkan yakni a+b pasti menghasilkan bilangan bulat juga sehingga kita katakan himpunan bilangan bulat dengan operasi + ditulis (Z,+) memenuhi sifat tertutup. Begitu juga untuk operasi x biasa.

Himpunan bilangan real terhadap operasi + atau x juga memenuhi sifat tertutup karena sebarang dua bilangan real ditambahkan atau dikalikan pasti bilangan real juga.

Pertanyaannya, apakah Q himpunan bilangan rasional, juga tertutup pada operasi + dan x? Sekarang mari kita lihat bagaimana caranya menunjukan sifat tertutup. Kita tahu bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b diamana a, b adalah bilangan bulat dan b#0. Jadi, himpunan bilangan rasional kita tuliskan dengan Q={a/b : b#0, a, b $ \in Z $}. Untuk membuktikan (Q,+) dan (Q,x) memenuhi sifat ketertutupan adalah:

"Ambil sebarang x, y anggota Q akan ditunjukan bahwa x+y dan x.y $\in Q$. Karena x dan y bilangan rasional maka masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dan r/s dimana p, q, r, s bilangan bulat dan q dan s tak nol. Perhatikan bahwa hasil dari p/q + r/s dan p/q x r/s juga merupakan bilangan rasional jadi kita simpulkan (Q,+) dan (Q, x) bersifat tertutup."

p/q + r/s=(ps+rq)/rs

p/q + r/s= pr/qs

Perhatikan bahwa ps+rq adalah bilangan bulat (berdasarkan contoh sebelumnya) dan rs tidak sama dengan 0 sehingga (ps+rq)/rs merupakan bilangan rasional. Begitu juga untuk pq/rs merupakan bilangan rasional.

Bagaimana sudah mengerti? Intinya, kita harus menunjukan bahwa untuk sebarang a, b anggota di G maka a*b juga anggota di G. Ingat bahwa operasi * merupakan operasi biner tertentu (operasi biner yaitu operasi yang memerukan dua buah unsur dalam suatu himpunan) yang didefinisikan untuk himpunan G, bisa operasi +, x, dll. Jadi, bisa yang lain dong? Iya, misal: a*b=a+b-2ab, sehingga untuk a=3 dan b=4 maka 3*4=3+4-2(3)(4)=7-24=-17.

Untuk pembaca: apakah operasi * yang didefinisikan oleh a*b=a+b-2ab tertutup pada himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan himpunan bilangan real?

Cara Membuat Blog yang Memuaskan Pembaca

Setelah kita membuat blog berdasarkan Cara Buat Blog Gratis yang telah dibahas sebelumnya, selanjutnya kita fokus dulu menulis artikel secukupnya sebelum mengurus yang lainnya. Pada umumnya, blog dibuat untuk tujuan menyampaian sesuatu ke publik baik berupa informasi maupun pengetahuan. Inilah tujuan utama dibuatnya sebuah blog. Dengan keberadaannya yang berisi artikel dengan tema tertentu, sangat memudahkan seseorang untuk mencari informasi atau pengetahuan melalui internet. Sehingga, artikel yang dibuat harus mampu memberikan informasi yang bermanfaat. Beberapa aspek yang perlu diperhatikan dalam membuat blog yang memuaskan pembaca.

1. Kualitas Artikel Terjamin

Merupakan suatu keharusan bagi setiap penulis memperhatikan hal ini. Artikel yang berkualitas akan dapat membuat para pembaca puas dengan artikelnya. Sebuah artikel yang berkualitas menjamin isinya terhindar dari plagiat, sebisa mungkin menyertakan sumber kutipan baik yang diperoleh dari buku maupun dari sumber yang lain. Hindari membahas sesuatu yang kita tidak ahli dalam bidang itu sehingga isi artikel terhindar dari kadar subjektifitas penulis. Isi artikel harus benar dan terpercaya. Jika tidak, pembaca tidak akan membaca artikel kita di internet karena tidak dipercayai. Selain itu, artikel juga harus memudahkan pembaca dalam memahami isinya serta selengkap mungkin dalam membahasnya sesuai dengan judul artikel agar pembaca tidak perlu lagi mencari artikel dengan judul yang sama pada blog lainnya. Jika kita mampu menulis artikel sehingga pembaca tidak perlu lagi mencari artikel dengan judul yang sama, artinya pasti kita sudah memuaskan pembaca.

2. Memudahkan Pembaca Mengakses Blog

Walaupun artikel kita berkualitas, tidak akan memuaskan pembaca apabila blog kita sulit untuk diakses. Sehingga, pembaca yang baru saja mengklik link judul artikel, tetapi karena lambat maka ia memilih kembali atau batal untuk membacanya. Kesulitan itu misalnya diakibatkan karena blog terlalu berat untuk diakses sehingga lambat loading atau kebanyakan berisi gambar dan iklan. Blog yang seperti ini tidak akan disukai oleh pembaca. Blog yang dapat memuaskan pembaca adalah ringan, jelas tata letaknya sehingga pembaca dapat mengenali bagian-bagian yang ada pada blog tersebut agar memudahkan mengotak atik artikel yang ada pada blog tersebut, misalnya, membuat daftar isi artikel berdasarkan label tertentu. Jika perlu tampilan blog harus responsive untuk semua perangkat penjelajah internet (browser). Jadi jika blognya ringan namun tatap keren tampilannya, tata letaknya tertata dengan baik, dan dapat diakses semua perangkat maka kita sudah dapat memuaskan pembaca.

3. Memperbanyak Artikel yang Berkualitas

Setelah mampu menulis artikel yang berkualitas dan mendesain blog yang mudah diakses untuk semua perangkat, maka hal terakhir yang dilakukan adalah memperbanyak artikel yang berkualitas. Periksalah kembali setiap artikel, buang artikel yang tidak berhubungan dengan tema blog dan kurang berkualitas atau jika tidak, lakukan pengeditan setiap saat untuk meningkatkan kualitas tulisan, dan usahakan setiap artikel saling terhubung dengan sebuah link internal untuk artikel yang saling terkait. Misalnya, menyertakan artikel yang berkaitan dengan label yang sama sehingga di setiap kali pembaca membaca sebuah judul artikel, ia disuguhkan lagi judul artikel yang terkait yang mungkin menarik pembaca untuk membacanya.

Ke tiga hal di atas, tidak akan tercapai apabila penulis blog tidak memiliki kemampuan menulis yang baik sesuai dengan kaidah penulisan yang baku. Sehingga disarankan bagi penulis blog untuk melatih kemampuan menyajikan tulisan dalam suatu karangan. Seorang penulis harus mampu membuat kalimat yang baik dan benar, serta mampu menyusun paragraf yang utuh dan saling berkaitan antara satu paragraf dengan paragraf yang lain dalam satu karangan agar informasi atau pengetahuan yang ingin disampaikan dapat tercapai. Selain itu, hal yang harus dimiliki penulis adalah kemampuan dalam mengelolah blog. Misalnya, mengetahui pengeditan blog menggunakan bahasa HTML, php, dan sebagainya. Untuk itu, seorang penulis harus lebih banyak membaca dan berlatih daripada pembaca.

Akhiru kalam, semoga pembahasan tentang Cara Membuat Blog yang Memuaskan Pembaca dapat bermanfaat bagi kita semua.

Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi

Tidak sedikit mahasiswa yang tidak memahami konsep fungsi. Akibatnya, ia gagal faham dan kesulitan dalam memahami konsep kalkulus. Semua bahasan dalam kalkulus tidak terlepas dari yang namanya fungsi, yakni limit fungsi, turunan fungsi, dan integral fungsi baik fungsi aljabar maupun fungsi transenden. Fungsi yang dibicarakan adalah fungsi real yaitu fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real.

Fokus dalam memahami konsep kalkulus adalah fokus dalam pembelajaran kalkulus. Ridgon dalam pengantar buku kalkulus mengatakan bahwa fokus buku kalkulus tersebut ditulis adalah fokus pada pemahaman konsep kalkulus. Sehingga, penting memahami konsep dari fungsi yang merupakan materi pra-syarat mempelajari kalkulus. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan fungsi? Ketika merekontruksi rumus integral rienman yang digunakan adalah konsep fungsi untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Sangat penting menguasai dasar-dasar sebelum masuk pada matakuliah kalkulus bukan? Untuk itu, marilah mencermati masalah berikut ini yang merupakan sebuah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang semoga dapat memudahkan kita untuk memahami konsep fungsi.

Misalkan A himpunan usaha yaitu A={$w_1, w_2, ..., w_n$} dan B={sukses, gagal}. Adakah hubungan antara himpunan A ke himpunan B? Suatu usaha hanya memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses atau gagal. Hasil yang dicapai merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Karena setiap usaha yang dilakukan hanya ada satu hasil, sukses ataukah gagal (tidak mungkin keduanya), maka relasi "hasil yang dicapai" dari himpunan A ke B merupakan suatu fungsi, mengapa? Untuk menjawabnya , berikut ini diberikan pengertian fungsi.

Pengertian Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memetakan untuk setiap himpunan X hanya sekali ke himpunan Y. Pemetaan itu disajikan dengan lambang sebagai berikut.

$f: X \rightarrow Y$

Himpunan X disebut daerah asal fungsi atau domain f (dom f) dan Y disebut daerah kawan atau daerah hasil fungsi atau kodomain (kod f). Jika $x \in X $, maka $y \in Y$ yang berelasi dengan elemen x disebut bayangan (atau peta) dari x oleh f, atau nilai dari fungsi f di x dan dilambangkan dengan y=f(x). Jadi jika b adalah bayangan a oleh f ditulis b=f(a) atau dengan kata lain nilai dari fungsi f di a adalah f(a)=b. Adapaun range (daerah hasil) dari f adalah himpunan bagian dari himpunan Y yang merupakan bayangan dari setiap anggota di himpuana X oleh f. Jadi dapat dituliskan dengan, rangge (f)={$ y \in Y$ : $y=f(x) \forall x \in X$}. Dalam istilah lain, $x \in X$ disebut variabel bebas dan $y \in Y$ disebut variabel tak bebas.

Definisi Fungsi Formal

Misalnya $f: X \rightarrow Y$, f adalah fungsi jika dan hanya jika $\forall x_1, x_2 \in X$, $x_1=x_2 \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$.

Definisi ini sama artinya dengan definisi yang diberikan sebelumnya. Definisi ini digunakan untuk mengecek apakah suatu relasi adalah suatu fungsi. Sangat dianjurkan untuk menghapal dan memahaminya karena banyak digunakan nantinya.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca "f dari x" atau "f pada x" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika $f(x)=x^3-4$ maka $f(1)=1^3 -4=-3$.

Setelah memahami apa itu fungsi diharapkan kita dapat mengklasifikasi apa-apa saja yang termasuk fungsi dari berbagai relasi antara dua himpunan baik dalam pembelajaran matematika maupun di luar pembelajaran matematika, misalkan di dalam kehidupan sehari-hari seperti contoh sebelumnya di atas.

Untuk memhami konsep fungsi kalian tentu harus memahami konsep relasi antara dua himpunan dan konsep himpunan itu sendiri. Untuk memahami kesemua ini, kita harus benar-benar menguasai konsep logika matematika. Inilah yang belakangan ini disebut landasan matematika yaitu logika matematika, himpunan, relasi, dan fungsi.

Demikian tulisan ini, semoga bermanfaat.

Desimal, Kalkulator, dan Penaksiran

Kita telah membahas bilangan real adalah objek dari kalkulus. Tentu memahami refresentasi bilangan real akan mencerahkan dalam kuliah kalkulus kita. Kali ini kita akan membahas desimal, kalkulator, dan penaksiran.

Bilangan Desimal.

Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Karena hasil bagi dua bilangan bulat akan diperoleh suatu desimal. Misalnya, 3/8=0,375. Bilangan-bilangan tak-rasional ternyata dapat juga dinyatakan dalam bentuk desimal. Contohnya adalah akar 2=1,4142135623... . Apakah yang membedakan dari keduanya?

Bilangan Rasional atau Tak-Rasional?

Apabila bilangan desimal itu berakhir maka pasti ia bilangan rasional. Contohnya 0,375 yang merupakan hasil dari 8 dibagi 3. Namun, apabila bentuk desimalnya tak berakhir maka ada dua kasus yang harus diperhatikan, yaitu apakah ia berulang atau tak berulang.

0,375 sebenarnya dapat dinyatakan sebagai desimal berulang yakni 0,375000... . Jadi, setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal berulang. Pertanyaannya, apakah setiap bilangan desimal berulang adalah bilangan rasional? Jawabannya ialah benar. Perhatikanlah contoh berikut ini!

Tunjukkan bahwa x=0,136136... merupakan bilangan rasional!

Peny: Kita kurangkan x dari 1000x kemudian selesaikan untuk x diperoleh:
(1000x-x)=(136,136136...) - (0,136136...)
<=> 999x=136
<=> x=136/999 (Terbukti)

Adapun bilangan tak-rasional merupakan anti dari bilangan rasional sehingga bilangan yang tak berulang bukan merupakan bilangan rasional. Contohnya 0,101001000100001... bukan merupakan bilangan rasional karena tidak berulang menurut suatu daur yang tetap seperti pada 0,136136136... . Sudah jelaskan perbedaannya?

Kalkulator dan Penaksiran

Kalkulator sangat penting dimiliki dalam kuliah kalkulus. Yakinkan untuk memperoleh model ilmiah (dengan sinus, kosinus, dan logaritma). Jika mampu, kami rekomendasikan versi grafik karena akan banyak dijumpai penggunaan kalkulator dalam penyelesaian soal-soal kalkulus. Lakukan perhitungan yang mudah tanpa memakai kalkulator, khususnya jika dapat menghasilkan jawaban yang sebenarnya. Namun, dalam perhitungan yang rumit dianjurkan penggunaan kalkulator tetapi dengan cara yang benar.

Dalam menghadapi suatu soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh akan dengan gembira menekan sedikit tombol kalkulator dan melaporkan jawaban, tanpa menyadari bahwa tanda kurung yang hilang atau jari yang terlewat telah merusak jawaban secara total. Mahasiswa yang teliti dengan kepekaan bilangan akan menekan tombol-tombol yang sama, segera mengenali jawaban menyimpang (terlalu besar atau terlalu kecil) dan menghitung ulang secara benar. Sehingga, penting untuk mengetahui bagaimana membuat taksiran dalam hati untuk mengetahui jawaban yang diharapkan.

Teorema-Teorema Grup

Setelah memahami Definisi Grup dan Cara Membuktikan Suatu Himpunan Beserta Operasinya adalah Grup atau tidak, sekarang marilah perhatikan teorema-teorema berikut.

Teorema 1
Jika (G,*) adalah suatu Grup maka berlaku :

i) $(a^{-1})^{-1}=a$ untuk setiap $a \in G$

ii) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$ untuk setiap $a, b \in G$

Sebelum kita buktikan, pahami dululah maksudnya. Contoh Misal kita punya himpunan bilangan bulat (Z) anggotanya { . . . , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, . . .} telah dibuktikan pada tulisan sebelumnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa (+) membentuk grup kita tulis aja (Z,+) . Sekarang karena (Z,+) grup maka berdasarkan Teorema 1 pasti sebarang anggota a di Z berlaku $(a^{-1})^{-1}=a$. Contoh a=3 invers penjumlahan dari a=3 adalah $a^{-1}=-3$ sekarang kita lihat bahwa $(a^{-1})^{-1}=3$ karena invers penjumlahan dari -3 adalah 3.

Untuk yang bagian ii) kita coba misal a=3 dan b=4 maka $(a+b)^{-1}=-b+(-a)=-4+(-3)=-7$. Ternyata benar ya invers penjumlahan dari (3+4) adalah -7.

Catatan: $a^{-1}=-a$ karena operasi yang kita gunakan adalah operasi + biasa. Kalau operasi yang kita gunakan adalah perkalian biasa (x) maka $a^{-1}=1/a$. Kalau belum faham, fahami definisi grup dulu hehe.

Bukti Teorema 1

i) Karena (G, *) Grup maka perhatikan: $(a^{-1})^{-1}*a^{-1}=e$ dan pada sisi lainnya $a*a^{-1}=e$, dari sini kita simpulkan $(a^{-1})^{-1}=a$.

ii Karena (G,*) grup maka:
1) $(a*b)^{-1}*(a*b)=e$ dan
2) $(b^{-1}*a^{-1})*(a*b)=b^{-1}*(a^{-1}*a)*b$

$=b^{-1}*e*b=(b^{-1}*e)*b=b^{-1}*b=e$. 
Jadi berdasarkan 1) dan 2) $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$

Pada tulisan selanjutkan akan kita bahas hukum pencoretan kiri/kanan dan ketunggalan solusi. Ditungguh ya hehe

Urutan dan Sifat-Sifat/Aksioma Urutan dalam Bilangan Real

Urutan dalam bilangan real menyatakan suatu relasi ketaksamaan bilangan real lebih besar dari $( > )$ atau kurang dari $( < )$. Pada sistem garis bilangan real semakin ke kanan semakin besar dan semakin ke kiri semakin kecil. Contoh 0 < 0,5 < 1 artinya dalam garis bilangan real 1 berada di sebelah kanan 0,5 dan 0 berada disebelah kiri 0,5.

Beberapa sifat atau aksioma urutan yang harus diketahui untuk mempelajari kalkulus adalah:

1) Sifat Trikotomi

Menyatakan jika x dan y adalah bilangan-bilangan real, maka ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi (tidak sekaligus) yaitu x < y atau x=y atau x > y.

2) Ketransisitifan

Menyatakan jika x < y dan y < z mengakibatkan $x < z$

3) Penambahan

Menyatakan jika x < y dan z sebarang bilangan real maka $x+z < y+z$

4) Perkalian

Menyatakan jika x < y dan z bilangan real positif maka $xz < yz$ dan jika z bilangan real negatif maka $xz > yz$
Info Kesehatan

Kontak Kami

SMS/Phone : 082271051411
WhatsApp: 085246493737
Email: matematikakubisa@gmail.com

Statistik Pengunjung

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design
Messenger Admin
×
_

Hai, Kamu bisa kirim pesan ke Admin di sini! Jangan lupa like halaman admin ya, terima kasih!