Belajar Matematika Online

Iklan Baris Pencarian

Prev

Next

Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n

Berdasarkan bacaan sebelumnya Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier. Maka, kita dapat menuliskan bentuk umum PD Linier orde n sebagai berikut.

$a_n (x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+... \\ +a_2 (x)y"+a_1 (x)y'+a_0 (x)y=f (x) $

Bila tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan PD tidak linier. Bila f(x)=0 maka disebut PD Linier Homogen sedangkan bila $f(x) \neq 0$ maka disebut PD Linier Tak-Homogen.

Untuk kasus n=1 disebut PD Linier Orde 1 dan untuk n=2 disebut PD Linier Orde 2.

$a_n(x) $ menyatakan fungsi ke-n dalam variabel x, yang dalam hal ini berkedudukan sebagai koefisien. Apabila $a_n(x) $ fungsi konstan maka disebut PD Linier dengan Koefisien Konstan.

Misal diberikan fungsi $y=sin \ x - cos \ x+1$. Bila dilakukan penurunan sebanyak dua kali, yakni $y'=cos  \ x+ sin \ x $ dan $y"=-sin \ x+ cos \ x $ diperoleh hubungan $y"+y=1$ (PD Linier tak Homogen orde 2 dengan koefisien konstan).

Cara memperoleh hubungan tersebut, telah dibahas pada tulisan Pengantar Persamaan Diferensial mengenai bagaimana menyusun persamaan diferensial biasa.

Fungsi $y=sin  \ x - cos \ x +1$ disebut solusi PD $y"+y=1$. Pertanyaan yang muncul kemudian adalah jika diberikan suatu PD linier orde n, bagaimana cara mendapatkan solusinya?  Penyelesaian PD Linier orde n, kita bahas terpisah pada tulisan lain dengan memberikan judul tersendiri dalam dua bahasan, yaitu bagaimana menyelesaikan PD Linier Orde 1 dan PD Linier Orde 2. Silahkan baca selanjutnya berikut ini.
  1. Persamaan Diferensial Tingkat 1 ✔
  2. Persamaan Diferensial Tingkat 2
Search for "Differential Equations"

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Bacaan sebelumnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas. Pada tulisan tersebut dijelaskan bahwa dalam pemodelan fenomena perubahan dunia nyata, syarat awal sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syarat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, membentuk persamaan diferensial.

Pada tulisan kali ini, kita akan membahas pengertian persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linier dan tak linier beserta dengan contohnya.

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa


Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) suatu fungsi dengan y disebut variabel tak bebas dan x variabel bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:

$F(x, \ y, \ y", \ ... \ y^{(n)})=0$

Order dari suatu PDB didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Derajat dari suatu PD adalah pangkat tertinggi dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam PD.

Contoh: 
  1. $1+ ( \frac{dy}{dx} )^2 = 3 \frac{d^2y}{(dx)^2}$ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.
  2. $x (y")^3+(y')^4-y=0$ adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.
Pengertian Persamaan Linier dan Tidak Linier

Suatu PD adalah linier jika dan hanya jika setiap suku persanaan yang memuat variabel terikat atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat 1. 

Contoh:
  1. $y"+4xy'+2y=cos \ x $ adalah PD biasa, linier, dan berorde 2.
  2. $y"+4yy'+y'+2y=cos \ x$ adalah PD tidak linier karena memuat $yy'$.
  3.  $\frac {d^2u}{(dx)^2}+ \frac {dv}{dt}+u+v=sin \ (u)$ adalah PD parsial, linier dalam v, tetapi tidak linier dalam u karena ada fungsi $sin \ (u) $. Jadi, PD tersebut tidak linier.
  4. $\frac {d^2x}{(dt)^2}+ \frac{dy}{dt}+xy =sin \ (t) $ adalah linier dalam setiap variabel tak bebas x dan y tetapi tidak linier dalam himpunan {x, y}. Jadi, PD tersebut tidak linier.
Bacaan selanjutnya Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n.

Search for "Differential Equation"

Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas

Melanjutkan tulisan sebelumnya Pengantar Persamaan Diferensial. Kita akan membahas pada kesempatan ini, Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.

Misalkan diberikan PD: $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ dengan $a_2(x)$, $a_1(x)$, $a_0(x)$ dinamakan koefisien-koefisien dapat sebagai fungsi dari x atau konstanta; dan r(x) merupakan fungsi kontinu pada $a \le x \le b $ dengan $a_2 \neq 0$. Jika PD tersebut mempunyai syarat awal:
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
Maka bentuk
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
disebut sebagai Masalah Syarat Awal.

Search "Fungsi Kontinu".

Jika PD dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada interval $a \le x \le b $, misalkan y(a)=A dan y(b)=B maka disebut sebagai Masalah Syarat Batas yang disajikan dalam bentuk:
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (a)=A$ dan $y(b)=B$

Dalam pemodelan fenomena perubahan di dunia nyata, syarat awal ini sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syatat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, model matematikanya berbentuk persamaan diferensial.

Masalah syarat awal selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syatat awal. Adapun untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak ada solusi.

Misalnya $y_1(x) $ dan $y_2 (x) $ merupakan dua solusi yang bebas linier dari persamaan $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ seperti $y_p $ merupakan solusi khususnya maka solusi umumnya berbentuk $y_p (x)=C_1y_1 (x)+C_2 y_2 (x)+y_p (x) $.

Dengan menggunakan sistem batasnya, maka:
$y (a)=C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a) \\  <=> C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a)=A $
$y (b)=C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b) \\ <=> C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b)=B $

Dari sini,
$C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)=A-y_p (a)$
$C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)=B-y_p (b)$

Kedua persamaan di atas membentuk sistem persamaan linier nonhomogen dalam $C_1$ dan $C_2$ yang mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak punya solusi.

Baca selanjutnya Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Search for "Differential Equation"

Pengantar Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial (PD) merupakan salah satu mata kuliah yang pernah saya pelajari. Saya ingin berbagi catatan di blog ini tentang materi Persamaan Diferensial. Bagi kalian yang ingin mengikuti catatan-catatan ini silahkan untuk melihatnya pada kategori Persamaan Diferensial.

1. Pengertian Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dan derivatif-derivatifnya. Jika pada persamaan tersebut, hanya terdapat satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial biasa (PDB) dan jika lebih dari satu variabel bebas yang terlibat maka disebut persamaan diferensial parsial.

2. Membentuk Persamaan Diferensial

Jika diketahui suatu fungsinya maka untuk membentuk persamaan diferensialnya, diturunkan sampai orde (tingkat) ke banyaknya konstanta yang termuat dalam fungsi dan kemudian mengeliminasi konstanta-konstanta berdasarkan banyaknya konstanta+1 persamaan.

Silahkan search "Pengertian Konstanta".

Misalnya diberikan fungsi $y=A sin \ 3x + B cos \ 3x $. Kita akan membentuk persamaan diferensial dari fungsi tersebut.

Pertama, kita turunkan y terhadap x sampai turunan kedua karena terdapat dua konstanta yang ingin kita hilangkan yang termuat dalam fungsi, yaitu A dan B.

$y=A sin \ 3x + B cos \ 3x \ .... (1)$
$\frac{dy}{dx} = 3A cos \ 3x - 3B sin \ 3x \ .... (2)$
$\frac{d^2y}{(dx)^2} = -9A sin \ 3x - 9B cos \ 3x \ .... (3)$

Kedua, kita mengeliminasi konstanta A dan B dengan menggunakan pers 1 dan 3, sehingga kita peroleh:

$\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$

Jadi, persamaan diferensial rumpun kurva tersebut adalah  $\frac {d^2y}{(dx)^2} + 9y=0$ atau bisa juga ditulis dengan $y"+9y=0$

3. Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Menyelesaikan persamaan diferensial adalah menemukan y=f(x) yang memenuhi suatu PD dan inilah yang disebut sebagai solusi PD.

a. Solusi Umum: Sebuah solusi yang dinyatakan secara eksplisit atau implisit yang memuat semua solusi yang mungkin atas suatu domain. Solusi umum ini memuat n konstanta sebarang.

b. Solusi Khusus: Solusi yang tidak memuat konstanta sebarang.

c. Solusi Singular: Dalam beberapa kasus terdapat solusi lain dari peraamaan yang diberikan oleh solusi tersebut ternyata tidak dapat diperoleh dengan memberikab nilai tertentu pada sembarang konstanta dari solusi umum.

Demikian pembahasan singkat ini, semoga dapat dipahami.

Baca selanjutnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.

Search for "Differential Equation"

Cara Mencari Info Lowongan Kerja di Daerah Anda

Cara Mencari Info Lowongan Kerja di Daerah Anda
Info lowongan kerja banyak dicari oleh orang-orang yang sangat butuh dengan pekerjaan. Apalagi bagi mereka yang baru saja menyelesaikan pendidikan. Bagi yang berpendidikan tinggi, mungkin mudah saja bagi mereka mencari pekerjaan yang sesuai dengan bidang mereka. Namun, tidak selalu berlaku bagi tamatan SMA/SMK (sederajat). Persaingan mendapatkan pekerjaan semakin ketat, ditemukan banyak sarjana memilih bekerja tidak sesuai dengan bidangnya. Bekerja tidak sesuai bidang pendidikan, bagi mereka tidak menjadi masalah, yang penting bagi mereka adalah kehalalannya. Tak heran jika ada slogan "kerja apa saja yang penting halal".

Pekerjaan yang tidak ada pensiunnya adalah berdagang. Asalkan kita memiliki barang atau jasa yang bisa dijual. Tidak sedikit yang memilih untuk menjadi penjual. Bahkan kalau mau dipikir sumber pendapatan tertinggi itu diperoleh dari hasil jual beli. Misalnya, jual beli mobil, pesawat, tanah, dll. Hehe. Karena keuntungan serta kecepatan menghasilkan uang dari proses jual beli, tergantung dari apa yang dijual, maka tidak sedikit orang yang memilih menjadi penjual. Apalagi dengan perkembangan internet sekarang ini. Banyak yang menjalankan bisnis Online Shop.


Masuk ke topik utama, salah satu cara mencari info lowongan pekerjaan adalah join ke grup-grup facebook yang ada. Banyak grup-grup facebook yang dibuat dengan judul Lowongan Kerja Kendari, Lowongan Kerja Makassar, Lowongan Kerja Boggor, Lowongan Kerja Surabaya, dan lain-lain. Grup-grup tersebut dibuat khusus untuk suatu daerah tertentu, sehingga yang join adalah orang-orang yang berada di daerah tersebut. Namun, kekurangan dari info yang didapatkan dari grup-grup tersebut adalah rawan penipuan. Maka, Anda harus berhati-hati, jangan mudah percaya dengan orang begitu saja.

Selain dengan menggunakan media sosial facebook, Anda bisa juga memanfaatkan situs pencarian milik Google. Salah satu situs yang terindeks di google saat mencari info lowongan kerja di daerah Anda yang bisa dicoba  adalah Loker Jora Indonesia. Silahkan baca selengkapnya di Loker Jora Indonesia. Di situs tersebut, Anda bisa mengetik langsung pekerjaan apa dan di daerah mana untuk mencati info lowongan kerja, sebagaimana tampak pada gambar berikut ini.


Buat Toko Online Anda secara Gratis

Jika Anda adalah seorang pebisnis online shop yang sudah cukup lama, menjual berbagai barang lewat internet misalnya yang sekarang banyak digemari yaitu melalui situs sosial media seperti facebook, instagram, dan sebagainya, kendala yang terjadi adalah Anda harus selalu terhubung ke internet (online) untuk selalu mempromosikan barang-barang Anda dan menjawab pertanyaan para pelanggan Anda.

Untuk meningkatkan kinerja Anda dengan hasil yang memuaskan, mengapa Anda tidak membuat sebuah "toko online"? Dengan toko online, Anda bisa memposting semua barang beserta rincian dan kategorinya, sehingga Anda tinggal memberikan alamat toko online kepada pelanggan Anda untuk mengecek barang-barang apa saja yang tersedia. Selain itu, pada toko online tersebut juga dimudahkan dengan adanya form pemesanan yang akan di isi oleh pelanggan Anda jika ingin mengorder barang Anda. Ketika pelanggan Anda, mensubmit data-datanya berupa nama, nomor telpon, alamat rumah, dsb maka data-data tersebut akan langsung masuk ke email atau no WA/tlpn Anda.

Di sini saya akan jelaskan bagaimana mendapatkan toko online sendiri jika Anda tidak memiliki kemampuan untuk membuatnya sendiri atau tidak memiliki banyak uang untuk membeli jasa pembuatannya.


1. Buat blog secara gratis di www.blogger.com

Jika Anda memiliki akun gmail maka Anda sudah bisa membuat toko online Anda. Anda tidak perlu mengeluarkan duit untuk membuat tempat memposting barang-barang Anda di blog, karena membuat blog di www.blogger.com adalah gratis.

2. Setelah membuat blog, tentu saja Anda tidak langsung melihat toko online yang saya ceritakan di atas, Anda perlu mengganti template blog khusus yang didesain untuk toko online. Disini, templatenya ada dua yaitu ada yang versi gratis dan ada yang versi premium (berbayar). Versi berbayar tentu saja lebih bagus dan lebih lengkap fitur-fiturnya. Harga template berbayar saat ini adalah sekitar 150 ribu. Namun, bagi Anda yang tidak ingin mengeluarkan uang sebesar itu, tentu pilihan yang ada adalah menggunakan template gratis.


3. Pilih tempate yang responsive (bisa menyesuaikan di berbagai ukuran layar versi mobile maupun desktop), ringan dan cepat diakses, serta tampilannya yang keren. Disini ada dua template yang dipilih yaitu dengan atau tanpa shopping cart. Shopping cart atau keranjang belanja adalah fitur yang mengumpulkan semua barang yang akan dibeli dalam satu kali pemesanan beserta dengan total biayanya. Beda dengan yang tidak memakai shopping cart, produk yang dipesan tidak bisa sekaligus dalam satu tempat (satu laman). Jika Anda seorang reseller, saya sarankan pakai yang tanpa Shoppiny Cart.

Coba cari di 👉 Template Toko Online Gratis

4. Setelah memilih template, silahkan edit atau sesuaikan dengan informasi Anda, seperti judul toko online, deskripsi, kontak Anda dan sebagainya. Posting artikel dengan judul barang yang akan di jual dan isinya adalah rincian-rinciannya pada blog tersebut.

5. Terakhir, disarankan bagi Anda untuk memakai domain seperti .com, .info, dan lain-lain.

Cari domain murah DI SINI

Contohnya, Anda bisa melihat demo blog Toko Online yang saya buat pada alamat www.cekpiona.com dengan blogspot, blog tersebut saya buat khusus untuk jualan di daerah Kab. Konawe. Untuk melihat tutor lengkap pembuatan toko onlinenya beserta template yang saya gunakan, silahkan menuju pada tulisan saya yang lain Cara Buat Toko Online dengan Blogspot.

Daftar Materi OSN Matematika SMA/MA 2018

Bagi Anda yang biasa mengikuti seleksi Olimpiade Siswa Nasional (OSN) sejak dini hingga ke SMA/MA tentu tidak merasa asing lagi dengan materi-materi atau soal-soal yang akan diujikan. Anda minimal sudah tahu bagaimana tingkat kesulitannya dan bagaimana strategi yang jitu dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Namun, bagi mereka yang baru ingin mencoba mengikuti seleksi pada tahun ini atau tahun depan, blog Matematika Ku Bisa berikut ini memberikan  Daftar Materi OSN Matematika SMA/MA 2018 (sebaran dari kemendikbud) yang bisa dijadikan acuan bagi Anda untuk mempersiapkan diri.

A. Bidang Aljabar

1. Sistem bilangan real
o Himpunan bilangan real dilengkapi dengan operasi tambah dan kali
beserta sifat-sifatnya.
o Sifat urutan (sifat trikotomi, relasi lebih besar/kecil dari, beserta sifat-
sifatnya)

2. Ketaksamaan
o Penggunaan sifat urutan untuk menyelesaikan soal-soal ketaksamaan.
o Penggunaan sifat bahwa kuadrat bilangan real selalu non negatif
untuk menyelesaikan soal-soal ketaksamaan.
o Ketaksamaan yang berkaitan dengan rataan kuadratik, rataan
aritmatika, rataan geometri, dan rataan harmonik.

3. Nilai mutlak
o Pengertian nilai mutlak dan sifat-sifatnya
o Aspek geometri nilai mutlak
o Persamaan dan ketaksamaan yang melibatkan nilai mutlak

4. Sukubanyak (polinom)
o Algoritma pembagian
o Teorema sisa
o Teorema faktor
o Teorema Vieta (sifat simetri akar)

5. Fungsi
o Pengertian dan sifat-sifat fungsi
o Komposisi fungsi
o Fungsi invers
o Pencarian fungsi yang memenuhi sifat tertentu

6. Sistem koordinat bidang
o Grafik fungsi
o Persamaan dan grafik fungsi irisan kerucut (lingkaran, ellips, parabola,
dan hiperbola)

7. Barisan dan deret
o Suku ke-n suatu barisan
o Jumlah n suku pertama suatu deret
o Deret tak hingga
o Notasi sigma

8. Persamaan dan sistem persamaan
o Penggunaan sifat-sifat fungsi untuk menyelesaikan persamaan dan
sistem persamaan
o Penggunaan ketaksamaan untuk menyelesaikan persamaan dan sistem
persamaan

B. Bidang Geometri

1. Hubungan antara garis dan titik

2. Hubungan antara garis dan garis

3. Bangun-bangun bidang datar
o Segitiga
o Segiempat
o Segibanyak beraturan
o Lingkaran

4. Kesebangunan dan kekongruenan

5. Sifat-sifat segitiga: garis istimewa (garis berat, garis bagi, garis tinggi, garis
sumbu)

6. Dalil Menelaus

7. Dalil Ceva

8. Dalil Stewart

9. Relasi lingkaran dengan titik
o Titik kuasa (power point)

10. Relasi lingkaran dengan garis:
o Bersinggungan
o Berpotongan
o Tidak berpotongan

11. Relasi lingkaran dengan segitiga:
o Lingkaran dalam
o Lingkaran luar

12. Relasi lingkaran dengan segiempat:
o Segi empat tali busur (beserta sifat-sifatnya)
o Dalil Ptolomeus

13. Relasi lingkaran dengan lingkaran:
o Dua lingkaran tidak beririsan: baik salah satu di dalam atau di luar
yang lain
o Dua lingkaran beririsan di satu titik (bersinggungan): dari dalam atau
dari luar
o Dua lingkaran beririsan di dua titik
o Lingkaran-lingkaran sepusat

14. Garis-garis yang melalui satu titik (konkuren), titik-titik yang segaris
(kolinier)

15. Trigonometri (perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas)

16. Bangun-bangun ruang sederhana

C. Bidang Kombinatorika

1. Prinsip pencacahan
o Prinsip penjumlahan
o Prinsip perkalian
o Permutasi dan kombinasi
o Penggunaan prinsip pencacahan untuk menghitung peluang suatu
kejadian

2. Prinsip rumah merpati (pigeonhole principle, prinsip Dirichlet)

3. Prinsip paritas

D. Bidang Teori Bilangan

1. Sistem bilangan bulat (himpunan bilangan bulat dan sifat-sifat operasinya)
2. Keterbagian (pengertian, sifat-sifat elementer, algoritma pembagian)
3. Faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil, relatif
prima, algoritma Euklid
4. Bilangan prima
5. Teorema dasar aritmatika (faktorisasi prima)
6. Persamaan dan sistem persamaan bilangan bulat
7. Fungsi tangga

Demikian postingan kami tentang  Daftar Materi OSN Matematika SMA/MA 2018. Semoga bermanfaat, terima kasih atas kunjungannya!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design
Kirim Pesan atau Soal
×
_

Hai, Kamu bisa kirim pesan atau PR Matematikamu ke Admin, di sini! Jangan lupa like halaman admin ya, terima kasih!