Cara Membuktikan Pernyataan Ekivalensi

Tahukah Anda perbedaan $p \Leftrightarrow q$ dan $p \equiv q$?  $p \Leftrightarrow q$ dibaca “p jika dan hanya jika q”, adalah proposisi majemuk ekivalensi yang disusun dari dua proposisi p dan q dengan menggunakan kata perangkai “jika dan hanya jika”.

Ekivalensi $p \Leftrightarrow q$ bernilai benar hanya bila p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama. Apabila $p \Leftrightarrow q$ bernilai benar, dua buah proposisi p dan q  tersebut dikatakan ekivalen atau setara. p ekivalen dengan q disajikan dengan lambang $p \equiv q$.

Contoh: Proposisi majemuk $p \Rightarrow q$ ekivalen dengan $\neg p \vee q$, disajikan dengan lambang $p \Rightarrow q \ \equiv \  \neg p \vee q$ karena ekivalensi $(p \Rightarrow q) \ \Leftrightarrow \  (\neg p \vee q)$ bernilai benar (bisa ditunjukkan menggunakan tabel kebenaran).

Pernyataan ekivalensi $p \Leftrightarrow q$ yang bernilai benar, disajikan dengan lambang  $p \equiv q$,  dibuktikan berdasarkan Tautologi Ekivalensi berikut ini.

$(p \Leftrightarrow q) \iff  [(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)]$


yang menyatakan bahwa suatu ekivalensi $p \Leftrightarrow  q$ ekivalen dengan konjungsi dua buah implikasi $p \Rightarrow q$ dan $q \Rightarrow p$. Jadi, pernyataan ekivalensi $p \Leftrightarrow  q$ dibuktikan kebenarannya dalam dua langkah, yaitu:
  1. membuktikan kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$, dan
  2. membuktikan kebenaran implikasi $q \Rightarrow p$
Sedangkan pernyataan ekivalensi berantai yang berbentuk:

$p_1 \Rightarrow p_2 \Rightarrow  p_3 \Rightarrow  … \Rightarrow  P_{n-1} \Rightarrow P_n$


dapat dibuktikan KEBENARANNYA dengan n langkah berikut:

$p_1 \Rightarrow  p_2, \ p_2 \Rightarrow p_3, \ … \ , \ p_{n-1} \Rightarrow p_n, \ p_n \Rightarrow  p_1$.


Keabsahan metode pembuktian tersebut didasarkan pada tautologi Silogisme Hipotesis:

$((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$


yang menyatakan bahwa jika diketahui implikasi $p \Rightarrow  q$ dan $q \Rightarrow r$ benar, maka dapat disimpulkan bahwa implikasi $p \Rightarrow  q$ juga benar.  Berdasarkan tautologi tersebut, dari barisan implikasi

$p_2 \Rightarrow p_3, \ …, \ p_{n-1} \Rightarrow p_n$ dan


$p_n \Rightarrow p_1$


dapat disimpulkan bahwa $p_2 \Rightarrow p_1$.

Sehingga bersama dengan $p_1 \Rightarrow p_2$ disimpulkan bahwa

$p_1 \Leftrightarrow p_2$


benar. Demikian pula, dari barisan implikasi

$p_3 \Rightarrow p_4, \ …, \ p_{n-1} \Rightarrow p_n, \ p_n \Rightarrow  p_1 $ dan

$p_1 \Rightarrow p_2$


Sehingga bersama dengan $p_2 \Rightarrow p_3$ disimpulkan bahwa

$p_2 \Leftrightarrow p_3$


benar. Demikian seterusnya, sampai diperoleh $p_{n-1} \Leftrightarrow  p_n$.


Contoh: Dalam teori himpunan dikenal teorema yang berbunyi:

Untuk setiap dua himpunan A dan B berlaku:

$(A \subset B) \Leftrightarrow  (A \cap B=A) \Leftrightarrow  (A \cup B=B)$


Teorema tersebut dibuktikan dengan membuktikan kebenaran tiga buah implikasi berikut:
  1. $ (A \subset B) \Rightarrow  (A \cap B=A)$
  2. $ (A \cap B =A) \Rightarrow  (A \cup B = B)$
  3. $ (A \cup B = B) \Rightarrow (A \subset B)$

Sumber: Frans Susilo, Landasan Martematika (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012)

0 Response to "Cara Membuktikan Pernyataan Ekivalensi"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA?  Ayo Belajar Matematika dari dasar! Baca Ebook Belajar Matematika dari Dasar.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Mau jual Ebook di Google Play, tapi belum punya akun mitra google book? Baca Cara Daftar Mitra Google Buku yang Sementara Ditutup: Saya Berkali-kali Diterima Lho