Cara Membuktikan Pernyataan Ekivalensi

Tahukah Anda perbedaan $p \Leftrightarrow q$ dan $p \equiv q$?  $p \Leftrightarrow q$ dibaca “p jika dan hanya jika q”, adalah proposisi majemuk ekivalensi yang disusun dari dua proposisi p dan q dengan menggunakan kata perangkai “jika dan hanya jika”.

Ekivalensi $p \Leftrightarrow q$ bernilai benar hanya bila p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama. Apabila $p \Leftrightarrow q$ bernilai benar, dua buah proposisi p dan q  tersebut dikatakan ekivalen atau setara. p ekivalen dengan q disajikan dengan lambang $p \equiv q$.

Contoh: Proposisi majemuk $p \Rightarrow q$ ekivalen dengan $\neg p \vee q$, disajikan dengan lambang $p \Rightarrow q \ \equiv \  \neg p \vee q$ karena ekivalensi $(p \Rightarrow q) \ \Leftrightarrow \  (\neg p \vee q)$ bernilai benar (bisa ditunjukkan menggunakan tabel kebenaran).

Pernyataan ekivalensi $p \Leftrightarrow q$ yang bernilai benar, disajikan dengan lambang  $p \equiv q$,  dibuktikan berdasarkan Tautologi Ekivalensi berikut ini.

$(p \Leftrightarrow q) \iff  [(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)]$

yang menyatakan bahwa suatu ekivalensi $p \Leftrightarrow  q$ ekivalen dengan konjungsi dua buah implikasi $p \Rightarrow q$ dan $q \Rightarrow p$. Jadi, pernyataan ekivalensi $p \Leftrightarrow  q$ dibuktikan kebenarannya dalam dua langkah, yaitu:

1. membuktikan kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$, dan
2. membuktikan kebenaran implikasi $q \Rightarrow p$

Sedangkan pernyataan ekivalensi berantai yang berbentuk:

$p_1 \Rightarrow p_2 \Rightarrow  p_3 \Rightarrow  … \Rightarrow  P_{n-1} \Rightarrow P_n$

dapat dibuktikan KEBENARANNYA dengan n langkah berikut:

$p_1 \Rightarrow  p_2, \ p_2 \Rightarrow p_3, \ … \ , \ p_{n-1} \Rightarrow p_n, \ p_n \Rightarrow  p_1$.

Keabsahan metode pembuktian tersebut didasarkan pada tautologi Silogisme Hipotesis:

$((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$

yang menyatakan bahwa jika diketahui implikasi $p \Rightarrow  q$ dan $q \Rightarrow r$ benar, maka dapat disimpulkan bahwa implikasi $p \Rightarrow  q$ juga benar.  Berdasarkan tautologi tersebut, dari barisan implikasi

$p_2 \Rightarrow p_3, \ …, \ p_{n-1} \Rightarrow p_n$ dan

$p_n \Rightarrow p_1$

dapat disimpulkan bahwa $p_2 \Rightarrow p_1$.

Sehingga bersama dengan $p_1 \Rightarrow p_2$ disimpulkan bahwa

$p_1 \Leftrightarrow p_2$

benar. Demikian pula, dari barisan implikasi

$p_3 \Rightarrow p_4, \ …, \ p_{n-1} \Rightarrow p_n, \ p_n \Rightarrow  p_1 $ dan

$p_1 \Rightarrow p_2$

Sehingga bersama dengan $p_2 \Rightarrow p_3$ disimpulkan bahwa

$p_2 \Leftrightarrow p_3$

benar. Demikian seterusnya, sampai diperoleh $p_{n-1} \Leftrightarrow  p_n$.


Contoh: Dalam teori himpunan dikenal teorema yang berbunyi:

Untuk setiap dua himpunan A dan B berlaku:

$(A \subset B) \Leftrightarrow  (A \cap B=A) \Leftrightarrow  (A \cup B=B)$

Teorema tersebut dibuktikan dengan membuktikan kebenaran tiga buah implikasi berikut:

1. $ (A \subset B) \Rightarrow  (A \cap B=A)$
2. $ (A \cap B =A) \Rightarrow  (A \cup B = B)$
3. $ (A \cup B = B) \Rightarrow (A \subset B)$

---

Sumber: Frans Susilo, Landasan Martematika (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012)