Matematika Ku Bisa

Belajar Matematika Online

Hotel Choices in Las Vegas Las Vegas Vacations allow visitors to explore one of Nevada's most populated cities. Tucked into the beautiful scenery of Clark County, the city is filled with gorgeous nature surroundings. This city is in the middle of the arid Mojave Desert. It is commonly called The Entertainment Capital of the World. This title refers to two important features of this location. Here is where vacationers can find a wide array of entertainment choices. Anything from boxing matches, to concerts take place in the great city. Another of the popular entertainment activities is gaming. In fact, this city is known around the world for being the home of the best casinos in the world. People from every country travel here each year, to participate in the gaming choices here. Black Jack, Roulette, and coin machines are some of the most popular casino attractions. One of the helpful things about this city makes it unique. When planning vacations it is important to note, that most hotels here have on site casinos. There are a large number of luxury hotels and resorts located here. Staying in any of these is an adventure in itself. They provide world-class accommodations. Many of these hotels and resorts have shopping, dining, and gaming opportunities, all under one roof. They understand the importance of providing their guests with a fantastic vacation. For this reason, customer service is this town is splendid. A wonderful hotel choice is the Bellagio. This location is known around the world for its elegant style and quality offerings. The Bellagio has been featured in the movies, as well as, on television. Most people recognize this hotel because of its amazing fountain display. The Fountains at Bellagio stretch the length of a quarter mile, in front of its immense lake. These fountains are best viewed at the nightly music and light show. Tourists from around the world come to witness this great sight. The Bellagio is also known for providing one of the world's most famous casino experiences. Hotels like this one goes beyond guests' expectations in supply awesome vacations. The Las Vegas Hilton is another fine hotel choice for vacationers. This chain is recognized around the world for providing guests with excellent service. The hotel has both rooms and suites to choose from. There are standard and grand hotel rooms. And there are standard and executive suites at this location. The amenities here also make your stay special. You will find fitness services, a spa, tennis courts, a pool, and an on site salon. Everything guests may need or want can be found right here. There are also diverse restaurants to choose from at the Las Vegas Hilton. Guests have a choice of fine or casual dining restaurants. They may even sample many of the choices from the hotel's Quick Eats program. For vacationers who love to shop, they will find some great shops in this location, as well. Choosing the right hotel is paramount when it comes to planning your vacation. Finding those along the Vegas Strip is a good way to be near the action. Some visitors will prefer to be in accommodations which display better views of the mountains near the city. It doesn't matter where you lodge in Las Vegas. You trip here will be outstanding. Las Vegas vacations are one of the most popular destinations in the world. When looking at vacation packages and travel deals to Las Vegas bundle and save your packages for better deals on your vacations. Buying the car, flight, hotel, and activities all at once will increase the savings on your trip. hotel in nevada las vegas treasure island hotel in las vegas nevada w hotel in las vegas nevada hotel in las vegas nevada on the strip hotel las vegas nevada strip plaza hotel in las vegas nevada excalibur hotel in las vegas nevada south point hotel in las vegas nevada southpoint hotel in las vegas nevada westgate hotel in las vegas nevada luxor hotel in las vegas nevada hotel in north las vegas nevada orleans hotel in las vegas nevada hotel rooms in las vegas nevada stratosphere hotel in las vegas nevada rio hotel in las vegas nevada four queens hotel in las vegas nevada the d hotel in las vegas nevada hotel deals in las vegas nevada aria hotel in las vegas nevada marriott hotel in las vegas nevada tropicana hotel in las vegas nevada wynn hotel in las vegas nevada mirage hotel in las vegas nevada monte carlo hotel in las vegas nevada golden nugget hotel in las vegas nevada silverton hotel in las vegas nevada elara hotel in las vegas nevada wyndham hotel in las vegas nevada hooters hotel in las vegas nevada tuscany hotel in las vegas nevada gold coast hotel in las vegas nevada mardi gras hotel in las vegas nevada mgm hotel in las vegas nevada mgm grand hotel in las vegas nevada harrah's hotel in las vegas nevada linq hotel in las vegas nevada hotels in las vegas nevada off the strip grandview hotel in las vegas nevada kid friendly hotel in las vegas nevada planet hollywood hotel in las vegas nevada trump hotel in las vegas nevada westin hotel in las vegas nevada hotel suites in las vegas nevada palazzo hotel in las vegas nevada red rock hotel in las vegas nevada palace station hotel in las vegas nevada new orleans hotel in las vegas nevada palms hotel in las vegas nevada hotel rates in las vegas nevada sls hotel in las vegas nevada d hotel in las vegas nevada best western hotel in las vegas nevada hotels in las vegas nevada near the strip m hotel in las vegas nevada best hotel deals in las vegas nevada el cortez hotel in las vegas nevada hotel reservations in las vegas nevada riviera hotel in las vegas nevada all inclusive hotel in las vegas nevada super 8 hotel in las vegas nevada rio all suites hotel in las vegas nevada la quinta hotel in las vegas nevada sahara hotel in las vegas nevada suncoast hotel in las vegas nevada hotel jobs in las vegas nevada new york hotel in las vegas nevada new hotel in las vegas nevada newest hotel in las vegas nevada lucky dragon hotel in las vegas nevada radisson hotel in las vegas nevada aladdin hotel in las vegas nevada grand hotel in las vegas nevada renaissance hotel in las vegas nevada holiday inn hotel in las vegas nevada sheraton hotel in las vegas nevada hotel galaxy in las vegas nevada aliante hotel in las vegas nevada the hotel in las vegas nevada hotel las vegas nevada luxor encore hotel in las vegas nevada days inn hotel in las vegas nevada downtown grand hotel in las vegas nevada texas hotel in las vegas nevada mandalay hotel in las vegas nevada longhorn hotel in las vegas nevada most expensive hotel in las vegas nevada hotel furniture liquidators in las vegas nevada marriott hotel in las vegas nevada on the strip howard johnson hotel in las vegas nevada delano hotel in las vegas nevada directions to excalibur hotel in las vegas nevada pyramid hotel in las vegas nevada hotel taxes in las vegas nevada stardust hotel in las vegas nevada what's the biggest hotel in las vegas nevada hilton grand hotel in las vegas nevada largest hotel in las vegas nevada loews hotel in las vegas nevada

Prinsip Injeksi dan Bijeksi

Prinsip Injeksi dan Bijeksi
Prinsip injeksi dan bijeksi dibahas dalam mareri kombinatorik dimana kombinatorik merupakan bidang yang ikut diujikan pada matematika olimpiade. Sebelum membahas prinsip injeksi dan bijeksi, marilah kita mengingat kembali apa yang dimaksud dengan fungsi injektif dan bijektif. Masih ingatkah Anda apa yang dimaksud fungsi injektif dan bijektif? Definisi secara formal, telah kita bahas pada tulisan Definisi Fungsi dan Fungsi-fungsi Khusus. Untuk memahami prinsip injeksi dan bijeksi bacalah contoh masalah berikut ini.

Pada suatu pertemuan diketahui bahwa setiap pria datang harus dengan istrinya, sedangkan suami dapat datang sendiri. Kemudian, diketahui bahwa jumlah laki-laki yang datang adalah 100 orang. Tanpa menghitung lagi, kita tahu bahwa jumlah wanita $\le 100$. Tetapi, jika diketahui bahwa semua laki-laki juga datang dengan pasangannya, maka kita tahu bahwa jumlah laki-laki dan wanita sama banyak. Ini adalah prinsip injeksi dan bijeksi dimana kita anggap A himpunan wanita yang datang dan B himpunan laki-laki yang datang, sehingga:
  • Jika tidak semua laki-laki datang dengan pasangannya maka $n(A) < n(B) $
  • Jika semua laki-laki datang dengan pasangannya maka $n(A)=n(B) $.
Kita akan menggunakan ini untuk situasi yang lebih umun.

Prinsip Injeksi dan Bijeksi:Misalkan A dan B dua himpunan berhingga dan ada  fungsi $f: \ A \rightarrow B $.
  • Jika f bersifat injektif maka $n(A) \le n(B) $.
  • Jika f bersifat bijektif maka $n (A)=n (B)$
Prinsip injeksi dan bijeksi kita gunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah kombinatorial, yakni yang berkaitan dengan relasi khusus yang memetakan setiap elemen di himpunan A tepat satu kali ke himpunan B atau disebut dengan fungsi, tetapi fungsi tersebut termasuk dalam fungsi injektif atau fungsi bijektif.

Contoh. Misalkan X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  1. Tuliskan semua kombinasi yang terdiri dari 3 unsur di X tetapi tidak saling berurutan.
  2. Tuliskan banyaknya kombinasi 3 unsur tersebut.
Solusi:
1. Kita mulai dengan angka 1, maka pilihan berikutnya adalah 3, 4, 5, 6, atau 7. Kemudian pilih angka ke-tiganya. Sebagaimana tampak pada gambar berikut ini.


Hasilnya adalah {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 3, 7}, {1, 4, 6}, {1, 4, 7}, dan {1, 5, 7}. Kemudian mulai dengan angka 2, yaitu {2, 4, 6}, {2, 4, 7}, {2, 5, 7} dan mulai dengan angka 3 adalah {3, 5, 7}. Sehingga jumlah totalnya adalah 10.

2. Kita akan menghitung hasil di atas dengan lebih cerdik. Misalkan A adalah himpunan semua kombinasi tiga unsur dengan unsur tidak ada yang berurutan. Misalkan $A=\{a_1, a_2, a_3\}$ adalah satu unsur di A. Kita tahu bahwa $a_1, \ a_2 \ a_3 \in X $ dan $1 \le a_1 < a_2 < a_3$. Kemudian kita bentuk himpunan $\{a_1,a_2,a_3-2 \}$. Unsur ini semua berbeda dan berada di Y={1, 2, 3, 4, 5}. Jika B adalah kombinasi tiga unsur dari elemen di Y, mudah dibuktikan bahwa $n (A)=n (B) $. Dalam hal ini $n (B)= C_3^5$.

Cukup sampai di sini pembahasan singkat kita mengenai Prinsip Injeksi dan Bijeksi yang nantinya kita gunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah banyaknya kombinasi. Semoga bermanfaat.

Referensi: Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika SMA, Wono Setya Budhi.

Persamaan Diferensial Riccati

PD Riccati merupakan salah satu PD khusus yang dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1 sama seperti PD Bernoulli, juga dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1. Secara khusus kita telah membahasnya pada Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli. Adapun bentuk umum PD Riccati adalah sebagai berikut.
$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$
Jika $R(x)=0$, maka PD menjadi PD Bernoulli. Jika $R(x) \neq 0$ maka PD tersebut diubah ke PD Linier Tingkat 1 dengan cara berikut ini.
  1. Ambil satu penyelesaian khusus $y=u(x) $ (biasanya dalam soal sudah diketahui). Karena itu, dipunyai $\frac{dy}{dx}=P(x)u^2+Q(x)u+R(x)$.
  2. Substitusikan $y=u+ \frac{1}{z}$ dengan derivatifnya $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{1}{z^2} \frac{dz}{dx}$ ke persamaan diferensial Riccati, maka diperoleh:
$\frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z=-P(x)$
Contoh: Selesaikan persamaan $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$ dengan $y=2$ adalah penyelesaian khususnya!

Penyelesaian: Sudah jelas bahwa persamaan tersebut termasuk dalam PD Riccati, kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & \frac{dy}{dx} =-2-y+y^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} =y^2-y-2  \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas maka diketahui $P(x)=1$, $Q(x)= -1$ dan $R(x)=-2$. Dari soal diketahui bahwa $u(x)=2$. Dengan menggunakan transformasi $y=u+ \frac{1}{z} \Leftrightarrow y=2+ \frac{1}{z}$ maka persamaan direduksi menjadi:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z &= -P(x) \\ \Leftrightarrow  \frac{dz}{dx}+[2(2)(1)-1]z &= -1 \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+3z &= -1 \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah PD linier tingkat 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int 3  \ dx} &= e^{3x}  \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx}+3z = -1$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{e^{3x}}( \int (-1)e^{3x} \ dx) \\ &= e^{-3x}(- \int e^{3x} \ dx) \\ &=e^{-3x}(- \frac{1}{3}e^{3x}+k) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y-2} &= ke^{-3x}-\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow y-2 &= \frac{1}{ke^{-3x}-\frac{1}{3}} \\ \Leftrightarrow y &= 2+\frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}} \end{align} $

Jadi, $y=2+ \frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}}$ adalah penyelesaian dari $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$.
    

Penggunaan Huruf Kapital dan Huruf Miring

Penggunaan Huruf Kapital 

Huruf kapital dalam bahasa Indonesia adalah A, B, C, dst. Tahukah Anda bagaimana penggunaan huruf kapital yang benar? Berikut ini kami sajikan penggunaan-penggunaan huruf kapital.
  • Pertama, dipakai sebagai huruf pertama kata pada awal kalimat.
Misalnya:
- Menulis itu menyenangkan.
- Dia sedang membaca buku.
- Apa maksudnya?
dll.
  • Kedua, dipakai sebagai huruf pertama petikan langsung.
Misalnya,
- "Kemarin, engkau pergi ke rumah sakit," katanya.
- Ibu bilang, "Hati-hati di jalan".
dll.
  • Ketiga, dipakai sebagai huruf pertama dalam ungkapan yang berhubungan dengan nama Tuhan dan kitab agama.
Misalnya,
Allah, yang Mahakuasa; Yang Maha Pengasih; Quran; Islam; dll.
  • Keempat, dipakai sebagai huruf pertama nama gelar kehormatan, keturunan, dan keagamaan yang diikuti nama orang.
Misalnya, 
Sultan Hasanuddin; Imam Syafii; Nabi Ibrahim; dll.
Catatan: Jika tidak diikuti nama orang maka huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertama nama gelar kehormatan, keturunan, dan keagamaan.
  • Kelima, dipakai sebagai huruf pertama unsur nama jabatan dan pangkat yang diikuti nama orang atau yang dipakai sebagai penganti nama orang tertentu, nama instansi, atau nama tempat.
Misalnya, 
Wakil Presiden Indonesia; Gubernur Irian Jaya; Sekretaris Jendral Departemen Pertanian; dll.
Catatan: Jika nama jabatan dan pangkat tidak diikuti nama orang, nama instansi, atau nama tempat maka huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertamanya. Contohnya, "Siapakah gubernur yang baru dilantik?". Salah jika kita menulis "Siapa Gubernur yang baru dilantik?"
  • Keenam, dipakai sebagai huruf pertama unsur-unsur nama orang. 
Misalnya,
Tri Wulandari; Lia Ekawati; dll.
Catatan: Huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertama nama orang yang digunakan sebagai nama jenis atau satuan ukuran.
  • Ketuju, dipakai sebagai huruf pertama nama nama bangsa, suku bangsa, dan bahasa.
Misalnya, 
bangsa Indonesia, suku Jawa, bahasa Tolaki, dll.
  • Kedelapan, dipakai sebagai huruf pertama nama tahun, bulan, hari, hari raya, dan peristiwa sejarah.
Misalnya,
tahun Hijriah; bulan Agustus; hari Senin, Proklamasi Kemerdekaan Indonesia; dll.
Catatn: Huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertama peristiwa sejarah yang tidak dipakai sebagai nama. Misalnya Soekarno dan Hatta memproklamasikan
kemerdekaan bangsanya.
  • Kesembilan, dipakai sebagai huruf pertama nama geografi. 
Misalnya,
Asia Tenggara; Bukit Barisan; Selat Lombok; dll.
Catatan: Huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertama nama geografi yang digunakan sebagai nama jenis. Misalnya, gula jawa, kacang bogor, garam inggris, dll.
  • Kesepuluh,dipakai sebagai huruf pertama semua unsur nama negara, lembaga pemerintah dan ketatanegaraan, serta nama dokumen resmi kecuali kata seperti dan. 
Misalnya,
Republik Indonesia; Keputusan Presiden Republik Indonesia, Nomor 57, Tahun 1972.
Catatan: Huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertama kata yang bukan nama resmi negara, lembaga pemerintah dan ketatanegaraan, badan, serta nama dokumen resmi. Misalnya, menjadi sebuah republik, beberapa badan hukum, dll.
  • Kesebelas, dipakai sebagai huruf pertama setiap unsur bentuk ulang sempurna yang terdapat pada nama badan, lembaga pemerintah dan ketatanegaraan, serta dokumen resmi.
Misalnya, 
Perserikatan Bangsa-Bangsa.
  • Keduabelas, dipakai sebagai huruf pertama semua kata (termasuk semua unsur kata ulang sempurna) di dalam nama buku, majalah, surat kabar dan judul karangan, keucali kata seperti di, ke, dari, dan, yang, untuk yang tidak terletak pada posisi awal. 
Misalnya,
Bacalah majalah Bahasa dan Sastra.
  • Ketigabelas, dipakai sebagai huruf pertama unsur singkatan nama gelar, pangkat, dan sapaan.
Misalnya, 
Dr.; M.A; S.E; Prof.; Sdr.; dll.
  • Keempatbelas, dipakai sebagi huruf pertama kata penunjuk hubungan kekerabatan seperti bapak, ibu, saudara, kakak, adik, dan paman yang dipakai dalam penyapaan dan pengacuan. 
Misalnya, 
- "Kapan Bapak berangkat?" tanta Harto. 
- "Silahkan duduk, Dik!" kata Ucok.
Catatan: Huruf kapital tidak dipakai sebagai huruf pertama kata penunjuk hubungan kekerabatan yang tidak dipakai dalam pengacuan atau penyapaan. Contohnya, Kita harus
menghormati ibu dan bapak kita.
  • Kelimabelas, dipakai sebagai huruf pertama kata ganti Anda. Misalnya, Sudahkah Anda tahu? 
Penggunaan Huruf Miring

Tahukah Anda penggunaan huruf miring di dalam kalimat? Pernahkah Anda membaca sebuah kata yang ditulis atau dicetak miring dalam sebuah bacaan? Selanjutnya, kita akan menjelaskan apa kegunaan dari huruf miring yang mewakili sebuah kata atau beberapa kata dalam kalimat.
  • Pertama, huruf miring dalam cetakan dipakai untuk menuliskan nama buku, majalah, surat kabar yang dikutip dalam tulisan. 
Misalnya, 
majalah Bahasa dan Kesusastraan, surat kabar Suara Karya.
  • Kedua, huruf miring dalam cetakan dipakai untuk menegaskan atau mengkhususkan huruf, bagian kata, kata, atau kelompok kata.
Misalnya,
- Huruf pertama kata abad ialah a.
- Dia tidak menipu, tetapi ditipu.
- Buatlah kalimat dengan berpangku tangan.
  • Ketiga, huruf miring dalam cetakan dipakai untuk menuliskan kata nama ilmiah atau uangkapan asing kecuali yang telah disesuaikan ejaannya.
Catatan: Dalam tulisan tangan atau ketikan, huruf atau kata yang akan dicetak miring diberi satu garis di bawahnya.
Demikian tulisan mengenai penggunaan huruf kapital dan huruf miring, semoga bermanfaat. 
Sumber: Kuntarto, Niknik M. 2007. Cermat dalam Berbahasa, Teliti dalam Berpikir. Jakarta: Penerbit Mitra Wacana Media.

Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli

PD Bernoulli memiliki bentuk umum 
$\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)y^n \ \ ; \ n \neq 0$
Untuk $n \neq 1$, kita dapat mentransformasi bentuk tersebut menjadi PD Linier Tingkat 1 dengan menggunakan transformasi $z=y^{-n+1} $. Dari sini diketahui:
$\frac{dz}{dx}=(-n+1)y^{-n} \frac{dy}{dx} \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^n}{1-n} \frac{dz}{dx} $

Jika $\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)y^n$ dikalikan dengan $(1-n)y^{-n} $ maka diperoleh:
$\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)r(x) $
Contoh: Selesaikan persamaan $2xy \frac{dy}{dx}-y^2=x^2$

Penyelesaian: Untuk memperjelas bahwa persamaan tersebut termasuk dalam PD Bernoulli, kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & 2xy \frac{dy}{dx}-y^2=x^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} - \frac{y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x} y = \frac{x}{2} y^{-1} \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas, diketahui $p(x)=- \frac{1}{2x} $, $ r (x)= \frac{x}{2}$ dan $n=-1$. (Dengan menggunakan transformasi $z=y^{-n+1}=y^{-(-1)+1}=y^2$ dan mengalikan $(1-n)y^{-n+1}=2y^2$ di kedua ruas PD Bernoulli di atas) Maka diperoleh:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z &=(1-n)r(x) \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+(1-(-1))(- \frac{1}{2x})z &=(1-(-1)) \frac{x}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+2(- \frac{1}{2x})z &=2 ( \frac{x}{2}) \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x}z &= x \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah PD linier tingkat 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int - \frac{1}{x}  \ dx} &= e^{-ln(x)} \\ &= e^{ln (x^{-1})} \\ &= x^{-1} \\ &= \frac{1}{x} \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx} - \frac{1}{x} z=x$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{ \frac{1}{x}}( \int x( \frac{1}{x}) \ dx)  \\ &= x ( \int 1 \ dx) \\ &= x (x+k) \\ &= x^2+kx \end{align} $

Jadi, 
$y^2=x^2+kx \Leftrightarrow y= \sqrt{x^2+kx} $

Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1

Pengertian PD Linier Tingkat 1


Suatu persamaan diferensial tingkat 1 dikatakan linier dalam y jika tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi non linier lainnya dari y atau y'. Bentuk umum dari PD linier tingkat (order) 1 diberikan sebagai berikut.
$y'+p(x)y=f(x) $
Cara Menyelesaikan PD Linier Tingkat 1

Jika $p(x)=0$ maka dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, sedangkan jika $f(x)=0$ maka persamaan adalah  PD terpisahkan, yakni:

$\begin{align} y'+p(x)y &=0 \\ y' &= -p(x)y \\ \frac{dy}{dx} &= -p(x) \ dx \\ \frac{1}{y} \ dy &= -p(x) \ dx \\ \int \frac{1}{y} \ dy &= \int -p(x) \ dx \\  ln (y) &= - \int p(x) \ dx \\ y &= e^{- \int p(x) \  dx } \end{align}$

Jika $p(x) \neq 0$ dan $f(x) \neq 0$, untuk menentukan solusi PD linier tingkat 1 tersebut adalah sebagai berikut.

Misal $u(x)$ adalah suatu fungsi dalam x.

$\begin{align} y'+p(x)y=f(x) \\ \iff u(y'+py) &= uf \\ \iff uy'+upy' &= uf \\ \iff uy'+u'y-u'y+upy &= uf \\ \iff (uy)' - (u'y-upy) &= uf \\ \iff \frac{d(uy)}{dx} - y'(u'-up) &= uf \end{align} $

Agar bentuk di atas dapat menggunakan integrasi di kedua ruas, kita harus mencari $u(x)$ dengan memberikan ketentuan bahwa $u'-up=0$, sehingga:

$\begin{align} \frac{d(uy)}{dx} &= uf \\ d(uy) &= uf \ dx \\ \int d(uy) &= \int uf \ dx \\ uy &= \int uf \ dx \\ y &= \frac{1}{u} \int uf \ dx \end{align}$ 

Ini bisa terjadi jika $u(x)=e^{ \int p(x) \ dx} $ sehingga $u'(x)-u(x)p(x)=0$.

Selanjutnya $u(x)$ disebut faktor integrasi PD Linier Tingkat 1.

Contoh Soal Penyelesaian PD Linier Tingkat 1 dengan Faktor Integrasi

Selesaikan $dy/dx + y tan (x) = sec (x) $ !

Penyelesaian:
Diketahui $p(x)=tan (x)$ maka faktor integrasinya adalah:
$\begin{align} u(x) &= e^{ \int tan (x) \ dx} \\ &= e^{-ln (cos (x))} \\ &= sec (x) \end {align}$.

Jadi,
$\begin{align} y &= \frac{1}{u(x)} \int u(x)f(x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec(x)} \int sec (x) \ sec (x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec (x)} \int sec^2 (x) \ dx \\ &= \frac{1}{sec (x)} (tan (x)+k) \\ y &= sin (x)+k \ cos(x) \end{align}$.

k suatu bilangan konstan.

Persamaan Diferensial Tingkat 2

Pada bacaan sebelumnya di Persamaan Diferensial Tingkat 1, sudah dijelaskan bahwa tulisan-tulisan untuk kategori Persamaan Diferensial hanya membahas PD yang dapat diselesaikan secara eksak. Yang dimaksud PD Tingkat 2 juga sudah dibahas di situ, yaitu PD yang memuat derivatif dalam persamaan paling tinggi adalah 2. Silahkan baca Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier.

Pada PD Tingkat 2, insya Allah dibahas materi-materi berikut ini.
  • PD Khusus Tak Linier
  • PD Linier Orde 2 Homogen dengan Koefisien Konstan
  • PD Linier Orde Dua Tak Homogen dengan Koefisien Konstan
Pada PD khusus tak linier kita menggunakan metode reduksi tingkat. Jadi, ada PD khusus tingkat 2 tak linier yang dapat direduksi menjadi PD tingkat 1 dengan melakukan pemisalan, sehingga dengan bentuk PD tingkat 1 nya tersebut, kita dapat menyelesaikannya dengan suatu cara yang ada pada PD tingkat 1. Kemudian menjadi sederhanalah penyelesaian PD tingkat 2 nya, dengan mengembalikan kembali variabel yang telah dimisalkan tadi.

Pada PD linier orde 2 homogen dengan koefisien konstan, kita menggunakan kriteria akar-akar persamaan karakteristik yang terdiri dari 3 kemungkinan, yaitu dua akar real berbeda, dua akar real kembar, dan dua akarnya kompleks.

Pada PD linier orde 2 tak homogen dengan koefisien konstan, solusi umnya berbentuk $y=y_c +y_p $ dengan $y_c $ solusi PD homogen dan $y_p $ adalah solusi khusus dari persamaan tak homogen. Adapun solusi khusus dapat dicari dengan 3 metode berikit ini.
  1. Metode Koefisien Tak-Tentu
  2. Metode Variasi Parameter
  3. Metode Operator
Untuk memudahkan para pembaca, pembahasan penyelesaian PD Tingkat 2 ini, saya beri label PD Tingkat 2.

Search for "Differential Equations":

Persamaan Diferensial Tingkat 1

Kita telah membahas pengertian persamaan diferensial, bagaimana membentuk persamaan diferensial, dan apa yang dimaksud dengan solusi persamaan diferensial pada tulisan Pengantar Persamaan Diferensial.

Ada persamaan diferensial biasa yang hanya menggunakan satu variabel bebas dan persamaan diferensial parsial yang sudah menggunakan lebih dari satu variabel bebas. Dari persamaan-persamaan diferensial tersebut ada yang bersifat linier dan tidak linier. Silahkan baca Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier.

Jika dilihat dari persamaannya, suatu variabel tak bebasnya terturunkan 1 kali maka itu PD tingkat 1, jika terturunkan 2 kali maka disebut PD tingkat 2, dst.

Ketika membahas masalah persamaan dalam matematika, maka yang jadi inti pembahasannya adalah menemukan solusi dari persamaan tersebut. Ada persamaan yang bisa diselesaikan secara eksak dan tidak bisa diselesaikan secara eksak sehingga penyeleaaian persamaan tersebut menggunakan metode numerik. Maka dalam pembahasan materi Persamaan Diferensial pada blog ini, hanyalah materi-materi yang bisa diselesaikan secara eksak. Adapun jika ada yang menggunakan metode numerik, itu sebagai tambahan saja. Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua.

Persamaan diferensial tingkat (orde) 1 yanga dibahas di sini adalah:
  • PD Linier Tingkat (Orde) 1
  • PD Tingkat Satu Khusus Diubah ke PD Linier Tingkat 1 yang meliputi PD Bernouli, PD Riccati
  • PD Tingkat 1 (Linier atau Tak-Linier) dengan Variabel Terpisah
  • PD Reduksi Terpisahkan (PD Homogen)
  • PD dengan M(x,y) dan N(x,y) Linier tetapi Tidak Homogen
  • PD Eksak
  • PD Tak Eksak
Itilah materi-materi yang insya Allah dibahas dalam blog ini, saya akan memberi label PD Tingkat 1 sehingga para pembaca bisa mememukan secara cepat materi-materi yang telah ditulis. Demikian tulisan kami ini, semoga bermanfaat.

Bacaan selanjutnya Persamaan Diferensial Tingkat 2.

Search for "Differential Equations"

Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n

Berdasarkan bacaan sebelumnya Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier. Maka, kita dapat menuliskan bentuk umum PD Linier orde n sebagai berikut.

$a_n (x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+... \\ +a_2 (x)y"+a_1 (x)y'+a_0 (x)y=f (x) $

Bila tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan PD tidak linier. Bila f(x)=0 maka disebut PD Linier Homogen sedangkan bila $f(x) \neq 0$ maka disebut PD Linier Tak-Homogen.

Untuk kasus n=1 disebut PD Linier Orde 1 dan untuk n=2 disebut PD Linier Orde 2.

$a_n(x) $ menyatakan fungsi ke-n dalam variabel x, yang dalam hal ini berkedudukan sebagai koefisien. Apabila $a_n(x) $ fungsi konstan maka disebut PD Linier dengan Koefisien Konstan.

Misal diberikan fungsi $y=sin \ x - cos \ x+1$. Bila dilakukan penurunan sebanyak dua kali, yakni $y'=cos  \ x+ sin \ x $ dan $y"=-sin \ x+ cos \ x $ diperoleh hubungan $y"+y=1$ (PD Linier tak Homogen orde 2 dengan koefisien konstan).

Cara memperoleh hubungan tersebut, telah dibahas pada tulisan Pengantar Persamaan Diferensial mengenai bagaimana menyusun persamaan diferensial biasa.

Fungsi $y=sin  \ x - cos \ x +1$ disebut solusi PD $y"+y=1$. Pertanyaan yang muncul kemudian adalah jika diberikan suatu PD linier orde n, bagaimana cara mendapatkan solusinya?  Penyelesaian PD Linier orde n, kita bahas terpisah pada tulisan lain dengan memberikan judul tersendiri dalam dua bahasan, yaitu bagaimana menyelesaikan PD Linier Orde 1 dan PD Linier Orde 2. Silahkan baca selanjutnya berikut ini.
  1. Persamaan Diferensial Tingkat 1 ✔
  2. Persamaan Diferensial Tingkat 2
Search for "Differential Equations"

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Bacaan sebelumnya Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas. Pada tulisan tersebut dijelaskan bahwa dalam pemodelan fenomena perubahan dunia nyata, syarat awal sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syarat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, membentuk persamaan diferensial.

Pada tulisan kali ini, kita akan membahas pengertian persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linier dan tak linier beserta dengan contohnya.

Pengertian Persamaan Diferensial Biasa


Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika diambil y(x) suatu fungsi dengan y disebut variabel tak bebas dan x variabel bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk:

$F(x, \ y, \ y", \ ... \ y^{(n)})=0$

Order dari suatu PDB didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Derajat dari suatu PD adalah pangkat tertinggi dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam PD.

Contoh: 
  1. $1+ ( \frac{dy}{dx} )^2 = 3 \frac{d^2y}{(dx)^2}$ adalah PDB tingkat dua berderajat satu.
  2. $x (y")^3+(y')^4-y=0$ adalah PDB tingkat dua berderajat tiga.
Pengertian Persamaan Linier dan Tidak Linier

Suatu PD adalah linier jika dan hanya jika setiap suku persanaan yang memuat variabel terikat atau derivatif-derivatifnya adalah berderajat 1. 

Contoh:
  1. $y"+4xy'+2y=cos \ x $ adalah PD biasa, linier, dan berorde 2.
  2. $y"+4yy'+y'+2y=cos \ x$ adalah PD tidak linier karena memuat $yy'$.
  3.  $\frac {d^2u}{(dx)^2}+ \frac {dv}{dt}+u+v=sin \ (u)$ adalah PD parsial, linier dalam v, tetapi tidak linier dalam u karena ada fungsi $sin \ (u) $. Jadi, PD tersebut tidak linier.
  4. $\frac {d^2x}{(dt)^2}+ \frac{dy}{dt}+xy =sin \ (t) $ adalah linier dalam setiap variabel tak bebas x dan y tetapi tidak linier dalam himpunan {x, y}. Jadi, PD tersebut tidak linier.
Bacaan selanjutnya Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde n.

Search for "Differential Equation"

Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas

Melanjutkan tulisan sebelumnya Pengantar Persamaan Diferensial. Kita akan membahas pada kesempatan ini, Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.

Misalkan diberikan PD: $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ dengan $a_2(x)$, $a_1(x)$, $a_0(x)$ dinamakan koefisien-koefisien dapat sebagai fungsi dari x atau konstanta; dan r(x) merupakan fungsi kontinu pada $a \le x \le b $ dengan $a_2 \neq 0$. Jika PD tersebut mempunyai syarat awal:
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
Maka bentuk
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
disebut sebagai Masalah Syarat Awal.

Search "Fungsi Kontinu".

Jika PD dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada interval $a \le x \le b $, misalkan y(a)=A dan y(b)=B maka disebut sebagai Masalah Syarat Batas yang disajikan dalam bentuk:
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (a)=A$ dan $y(b)=B$

Dalam pemodelan fenomena perubahan di dunia nyata, syarat awal ini sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syatat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, model matematikanya berbentuk persamaan diferensial.

Masalah syarat awal selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syatat awal. Adapun untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak ada solusi.

Misalnya $y_1(x) $ dan $y_2 (x) $ merupakan dua solusi yang bebas linier dari persamaan $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ seperti $y_p $ merupakan solusi khususnya maka solusi umumnya berbentuk $y_p (x)=C_1y_1 (x)+C_2 y_2 (x)+y_p (x) $.

Dengan menggunakan sistem batasnya, maka:
$y (a)=C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a) \\  <=> C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a)=A $
$y (b)=C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b) \\ <=> C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b)=B $

Dari sini,
$C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)=A-y_p (a)$
$C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)=B-y_p (b)$

Kedua persamaan di atas membentuk sistem persamaan linier nonhomogen dalam $C_1$ dan $C_2$ yang mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak punya solusi.

Baca selanjutnya Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Search for "Differential Equation"
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design
Messenger
×
_

Hai, Kamu bisa kirim pesan atau PR Matematikamu ke Admin, di sini! Jangan lupa like halaman admin ya, terima kasih!