Matematika Ku Bisa

Belajar Matematika Online

Cara Menulis Latar Belakang Berdasarkan Judul

Pada dasarnya, judul penelitian diperoleh berangkat dari penelusuran Anda terhadap masalah yang ingin dipecahkan atau dicarikan jalan penyelesaiannya. Tentunya, masalah yang dipilih tersebut merupakan masalah yang mendesak, penting, atau bermanfaat untuk diteliti.

Tidak langsung memunculkan judul penelitiannya kemudian mencari masalahnya apa dari judul penelitian itu. Terkesan, mencari-cari masalah.

Yang benar adalah menemukan masalah-masalah, membatasi masalah yang ingin diteliti, merumuskan masalah dan menentukan judul penelitian yang baik dan tepat.

Misalkan ada masalah mengapa hasil belajar biologi rendah di suatu sekolah kemudian Anda mencari penyebabnya dengan mengamati proses pembelajarannya, mengamati cara mengajar gurunya dan cara belajar siswanya apakah sudah tepat atau tidak karena Anda merasa "masalah utamanya" adalah itu.

Tentunya Anda harus memiliki alasan mengatakan "ini yang bermasalah" kemudian Anda menduga kalau diterapkan "cara ini" akan mampu meningkatkan hasil belajar pada materi biologi tersebut. Maka dugaan Anda ini, perlu dibuktikan dengan melakukan penelitian.

Cara yang Anda sarankan itu, misalnya harus menggunakan model atau metode pembelajaran X. Tapi apakah ia berpengaruh terhadap hasil belajar biologi?

Anda kemudian ingin meneliti penelitian ini dengan merumusan masalah penelitiannya yaitu "Apakah ada pengaruh penggunaan model pembelajaran X terhadap peningkatan pemahaman konsep siswa pada materi virus Kelas XI SMA Anu"

Maka dari rumusan masalah tersebut, judul penelitian yang sesuai adalah "Pengaruh Model Pembelajaran X terhadap Peningkatan Pemahaman Konsep Siswa pada Materi Virus Kelas XI SMA Anu"

Atau dari arah sebaliknya, judul penelitiannya terlebih dahulu kemudian diturunkan rumusan masalah yang sesuai. Kemudian membuat latar belakangnya.

Dalam artian, Anda telah mengetahui masalahnya dan menentukan judul penelitian yang sesuai kemudian dari judul tersebut dibuat latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian, menentukan landasan teorinya, dan metodologi penelitiannya.

Sehingga dalam membuat latar belakang masalah itu sama dengan membuat latar belakang alasan diangkat dan ditelitinya judul penelitian tersebut.

Latar belakang masalah yang baik, mampu menjawab semua pertanyaan tentang judul, mengapa mengangkat judul penelitian tersebut.

Anda harus mampu menguraikan alasan mengapa Anda melakukan penelitian tersebut. Dari alasan umum ke alasan khusus, dari alasan banyak kemudian dipersempit atau dibatasi ke masalah penelitian yang menjadi alasan paling kuat.

Anda dalam berargumentasi tentunya harus mempunyai dasar baik dari hasil membaca buku (alasan teoritis), kemudian menghubungkannya dengan fakta dan data di lapangan (tempat penelitian) apakah sesuai ataukah tidak sehingga dihasilkan kesimpulan pentingnya melakukan penelitian dengan judul tersebut.

Masalah itu terjadi antara pernyataan dan kenyataan tidak sesuai, antara teori dan fakta tidak sejalan. Anda juga bisa membandingkan kondisi idealnya sedangkan realitanya seperti ini.

Cara membuat latar belakang masalah berdasarkan judul, contohnya telah saya tulis pada postingan Cara Menulis Latar Belakang Masalah dalam Proposal Penelitian. Silahkan dilihat dan semoga bermanfaat.

Template Landing Page Blogspot 2019

Template Landing Page Blogspot 2019
Saya memiliki blog lain yang membahas tentang Panduan Landing Page tetapi agak kurang nyambung dengan postingan di blog lain tersebut, sehingga saya menulis pada blog ini saja dengan memberi judul Template Landing Page Blogspot 2019.

Hitung-hitung ingin memberi backlink ke blog tersebut karena nilai DA dan PA ini lebih tinggi dari blog tersebut.

Ini merupakan strategi SEO juga. Bagi Anda yang sudah lama dalam dunia internet marketing, tentu tahu tentang hal ini. Tetapi, bagi yang belum tentu, tulisan ini mungkin bermanfaat baginya.

Sesuai dengan judulnya, kita akan membahas mengenai template landing page blogspot 2019 dengan memulai dari membahas pengertian dan apa pentingnya membuat landing page di tahun 2019.

Karena saya sudah membahasnya di postingan blog lain, saya kasih linknya aja. Silahkan baca pada postingan Pengertian Landing Page.

Setelah mengetahui arti dan pentingnya membuat landing page di zaman yang serba online, selanjutnya membahas tentang template blogspot landing pagenya.

Ada banyak yang membahas tentang template landing page blogspot dari yang gratis sampai yang berbayar. Anda butuh yang mana, gratis atau berbayar?

Jika Anda memimilih gratis, tentunya tampilan dan fitur-fiturnya kurang menarik atau kurang lengkap. Silahkan baca Cara Membuat Landing Page di Blogspot Gratis

Namun, jika Anda memilih template yang menarik dan memiliki nilai konversi tinggi maka Anda harus memakai template landing page blogspot yang berbayar.

Banyak sekarang yang menyediakan template landing page blog premium. Anda bisa melihat beberapa template tersebut di postingan Landing Page Template Premium.

Saya juga membuat template landing page blogspot. Nama templatenya adalah "Lajang". Lihat screen shoot templatenya berikut ini!

Lajang, Template Landing Page Blogspot 2019 

Semoga postingan ini bermanfaat. Maaf, jika tidak sesuai ekspektasi Anda. 

Bukti Bahwa Tidak Ada Bilangan Rasional r sehingga r^2=2

Kita akan buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional r sehingga $r^2=2$, yang berarti bahwa $r=\sqrt{2}$ bilangan tak-rasional. Kita gunakan metode pembuktian tidak langsung dengan menggunakan kaidah Reducrio ad absurdum. Jika belum tahu bagaimana metode pembuktian dalam matematika, silahkan bisa dibaca terlebih dahulu.
Tidak ada bilang rasional r sehingga $r^2=2$
Bukti:
Andaikan ada r bilangan rasional sehingga $r^2=2$ maka r dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat p dan q yang saling relatif prima dimana $\frac{p}{q}=r$ dengan $q \neq 0$. Oleh karena itu, kita punyai $\frac{p^2}{q^2}=2$

Pandang $p^2=2q^2$, yang berarti $p^2$ bisa dibagi 2 atau $p^2$ bilangan genap. Anggap kita telah membuktikan bahwa "jika $p^2$ genap maka $p$ genap" maka kita punyai $p=2k$ sehingga $p^2=4k^2$ untuk suatu k bulangan asli.

Sekarang perhatikan bahwa dari $p^2=2q^2 $ maka $4k^2=2q^2$ yang ekuivalen dengan $q^2=2k^2$, yang berarti q juga merupakan bilangan genap. Hal ini bertentangan dengan pengandaian kita diawal bahwa p dan q saling relatif prima (fpb dari p dan q adalah 1), karena jika p dan q bilangan genap maka minimal fpb dari p dan q adala 2. Oleh karena itu, kita simpulkan bahwa tidak ada r bilangan rasional sehingga $r^2=2$

Rumus Phytagoras

Rumus Phytagoras
Apa itu rumus phytagoras? Rumus Pythagoras diambil dari nama penemunya yaitu Pythagoras. Pythagoras adalah seorang matematikawan asal Yunani yang dikenal dengan teoremanya yaitu teorema Pythagoras.

Teorema pythagoras atau dalil pythagoras menyatakan bahwa sisi miring atau sisi terpanjang dalam segitiga siku–siku sama dengan jumlah kuadrat sisi–sisi lainnya. Jadi, jika $a$, $b$, dan $c$ adalah panjang sisi-sisi segitiga siku-siku dan c merupakan sisi terpanjangnya maka berlaku: $$a^2+b^2=c^2$$
Gambar dari Rumusmatematika.org

Dari rumus tersebut, maka untuk mencari nilai a gunakan rumus: $$a=\sqrt{c^2-b^2} $$
Untuk mencari nilai b maka gunakan rumus: $$b=\sqrt{c^2-a^2} $$
Dan untuk mencari nilai $c$ maka gunakan rumus: $$c=\sqrt{a^2+b^2} $$
Ingat rumusnya ya, jika yang dicari sisi terpanjangnya (c) maka gunakan penjumlahan, sedangkan jika yang dicari sisi lainnya (a atau b) maka yang digunakan pengurangan.

Contoh soal: Tentukan panjang sisi miring segitiga yang diketahui sisi yang saling tegaknya adalah 6 dan 8!


Penyelesaian:$$\begin{align} c &=\sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= \sqrt{64+64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{align}$$
Untuk memudahkan mengerjakan soal-soal dalam matematika yang berkaitan dengan Teorema Phytagoras, alangkah bagusnya jika kalian menghafal Triple Phytagoras. Apa itu Triple Phytagoras? Triple Phytagoras adalah tiga bilangan asli a, b, dan c yang memenuhi dalil Phytagoras. Berikut angka (triple pythagoras) tersebut.

3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101
dan masih banyak lagi.

Perhatikan gambar berikut ini!
Gambar dari Wikipedia

Gambar di atas menunjukkan hubungan $c^2t=a^2t +b^2t $ yang ekuivalen dengan $c^2=a^2+b^2$. Demikianlah pengertian dari Rumus Phytagoras, beserta contoh soal dan triple Phytagoras. Semoga bermanfaat ya.

Induksi Matematika

Induksi Matematika. Suatu proses berpikir induktif (berpola dari khusus ke umum) dilakukan dengan cara diawali dari premis-premis yang benar (dibuktikan atau diandaikan benar) kemudian ditarik sebuah kesimpulan yang berlaku umum (bersifat menggeneralisasi).

Banyak soal-soal matematika pembuktian yang dikerjakan dengan induksi matematika, yang dimaksud soal induksi matematika adalah soal pembuktian terhadap pernyataan-pernyataan dalam bentuk n dimana n bilangan asli. Kita misalkan pernyataan dalam n tersebut dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan yakni {P(n) : n $ \in N$}.

Untuk membuktikan suatu pernyataan P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, tentu kita harus dapat membuktikan pernyataan tersebut berlaku untuk semua n. Apabila pernyataan tersebut dibatasi misalnya pada $n \ge a$ maka harus dapat ditunjukkan pernyataan P(n) benar untuk semua $ n \ge a$ dengan prinsip-prinsip induksi matematika berikut ini.

Prinsip Induksi Matematika Pertama
Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(n=1) benar; dan jika P(n=k) benar mengakibatkan P(n=k+1) juga benar; Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Prinsip ini diturunkan berdasarkan sifat aksioma Peano. Dengan sifat tersebut, kita dapat membuktikan pernyataan yang berlaku bagi setiap bilangan asli.

Modifikasi Prinsip Induksi Matematika Pertama
Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(a) benar untuk suatu bilangan asli a, dan jika P(k) benar mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli $n \ge a$.

Dengan prinsip tersebut, untuk membuktikan pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli dengan $n \ge a$, kita lakukan dengan dua langkah berikut ini.

Langkah pertama: Tunjukkan P(n) benar untuk n=a.
Langkah kedua: Tunjukkan jika P(n) benar untuk n=k mengakibatkan P(n) juga benar untuk n=k+1.
Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan asli $n \ge a$.

Contoh soal 1: Buktikan bahwa $n! \le n^n$ untuk semua n bilangan asli ($n \ge 1$)
Contoh soal 2: Buktikan bahwa untuk $2^n < n!$ untuk $n \ge 4$
  • Jawaban Soal 1
Misalkan P(n): $n! \le n^n$.
Langkah Pertama: Untuk n=1 maka $1! \le 1^1 \Leftrightarrow 1 \le 1 $. Perhatikan $1 \le 1 $ bernilai benar, maka  P(1) bernilai benar.
Langkah Kedua: Jika P(k) benar untuk k sebarang bilangan asli akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar:
$\begin{align} k! & \le k^k \\ (k+1)k! & \le (k+1)k^k < (k+1)(k+1)^k \\ (k+1)! & < (k+1)(k+1)^k \\ (k+1)! & < (k+1)^{k+1} \end{align} $ 
Kesimpulan: Karena untuk P(k) yang diandaikan benar mengimplikasikan P(k+1) juga benar, maka disimpulkan $n! \le n^n$ benar untuk setiap n.   
  • Jawaban Soal 2
Misalkan P(n): $2^n < n!$. 
Langkah Pertama: Untuk n=4 maka $2^4 < 4! \Leftrightarrow 16 < 24 $. Jadi, P(4) bernilai benar.
Langkah Kedua: Andaikan P(k) benar untuk  sebarang $k \ge 4$ akan ditunjukkan P(k+1) juga benar:
$\begin{align} 2^k &< k! \\ 2.2^k &< 2.k! < (k+1)k!  \\ 2.2^k &< (k+1)k! \\ 2^{k+1} &< (k+1)!  \end{align}$
Kesimpulan: Karena P(k) yang diandaikan benar mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka disimpulkan $2^n < n!$ benar untuk setiap $n \ge 4$.

Prinsip Induksi Matematika Kedua
Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(1) benar, dan jika P(m) benar untuk setiap $m \le k$ mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Contoh Soal: Buktikan bahwa $(2+ \sqrt{3})^n + (2 – \sqrt{3})^n$ selalu merupakan bilangan bulat untuk n $\in N$.

Jawab:
Kita lakukan dua langkah.
Langkah 1: Untuk n=1, maka
$(2+ \sqrt{3})^1 + (2 – \sqrt{3})^1=4$
merupakan bilangan bulat. Jadi pernyataan benar untuk n=1.
Langkah 2: Jika k bilangan asli, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli $m \le k$, artinya
$(2+ \sqrt{3})^m + (2 – \sqrt{3})^m$
suatu bilangan bulat untuk semua bilangan asli $m \le k$. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa
$(2+ \sqrt{3})^{k+1} + (2 – \sqrt{3})^{k+1}$
juga bilangan bulat. Tetapi
$\begin{align}a^{k+1}+b^{k+1} &= (a^k+b^k)(a+b)-ab^k-ba^k \\ &=(a^k+b^k)(a+b)-ab(a^{k-1}+b^{k-1}) \end{align}$
dengan $a=2+\sqrt{3}$ dan $b=2-\sqrt{3}$.

Kita dapat menguji langsung bahwa ab bilangan bulat. Berdasarkan asumsi bahwa $a^k+b^k$, $a^{k-1}+b^{k-1}$ dan $a+b$ bilangan bulat, maka $a^{k+1}+b^{k+1}$ juga bilangan bulat.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi, kita telah membuktikan pernyataan yang diminta.

REFERENSI:
  • Setya Budhi, Wono. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV Ricardo. (hal.: 59-64)
  • Raji, Wissam. “An Introductory Course in Elementary Number Theory.” Ebook.

Persamaan Diferensial Clairaut

Persamaan Diferensial Clairaut
Persamaan Diferensial Clairaut merupakan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan bentuk umum: $y=px+f (p) $ dimana $p=dy/dx $. Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap x maka diperoleh:
$dy/dx = p + x \frac{dp}{dx}+f'(p) \frac{dp}{dx}$$ atau $$(x+f'(p)) \frac{dp}{dx}=0$
Persamaan tersebut dipenuhi jika $\frac{dp}{dx}=0$ atau $x+f(p)=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$ maka diperoleh $p=k$. Eliminasi p dari bentuk umum, maka diperoleh penyelesaian umum:
$y=kx+f(k)$
Persamaan-persamaan ini merupakan kumpulan garis-garis lurus. Selanjutnya eliminasi p dari: $x+f(p)=0$ dan $y=px+f(p)$ maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh Soal: Selesaikan $y=px+p^2$

Penyelesaian: $y=px+p^2$ diturunkan terhadap x diperoleh $dy/dx = p+x \frac{dp}{dx}+2p \frac{dp}{dx}$ atau $(x+2p)\frac{dp}{dx}=0$. Persamaan terakhir ini dipenuhi jika $(x+2p)=0$ atau $\frac{dp}{dx}=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$, diperoleh p=k. Dengan mengeliminasi p dari persamaan awal dengan menggunakan p=k maka diperoleh penyelesaian umum $y=kx+k^2$.

Dari $x+2p=0$, diperoleh $p=- \frac{x}{2}$. Selanjutnya dari $p=- \frac{x}{2}$, eliminasi p dari persamaan awal maka diperoleh penyelesaian singular $$\begin{align} y &= - \frac{x}{2}. x + (- \frac{x}{2})^2 \\ &= - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} \\ &= - \frac{x^2}{4} \end{align} $$
Plot $y=- \frac{x^2}{4}$ untuk x=-2 ke x=2

Materi Teknik Pengintegralan

Materi Teknik Pengintegralan
Rumus-rumus dasar integral tak-tentu (bentuk integral baku) yang diberikan berikut ini hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi yang tidak sederhana seperti $ ∫ xe^x \ dx$. Pada postingan ini, kita akan membahas teknik-teknik dalam pengintegralan.

Bentuk Integral Baku
  1. $\int \ k \ dx =kx+C$
  2. $\int x^n \ dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
  3. $\int \frac{1}{x} \ dx=ln \ x + C$
  4. $\int e^x \ dx=e^x+C$
  5. $\int a^x \ dx= \frac{a^x}{ln \ a}+C, \ a \neq 1, \ a>0$
  6. $\int \sin x \ dx=- \cos x+C$
  7. $\int \cos x \ dx= \sin x+C$
  8. $\int \sec^2 x \ dx= \tan x+C$
  9. $\int \csc^2 x \ dx=- \cot u+C$
  10. $\int \sec x \tan x \ dx=sec x+C$
  11. $\int \csc x \cot x \ dx= \sec x+C$
  12. $\int \tan x \ dx=- \ln| \cos x|+C$
  13. $\int \cot x \ dx= \ln| \sin \ x|+C$
  14. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \sin^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  15. $\int \frac{1}{a^2+x^2} \ dx= \frac{1}{a} \tan^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  16. $\int \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \frac{1}{a} \sec^{-1} \ (\frac{|x|}{a})+C$
  17. $\int \sinh x \ dx= \cosh \ x+C$
  18. $\int \cosh x \ dx= \sinh \ x+C$
Teknik-teknik pengintegralan yang akan dibahas pada blog Matematika Ku Bisa ini adalah:
  • Integrasi dengan Substitusi Sederhana
  • Integrasi dengan Parsial
  • Integral Fungsi Hiperbolik
  • Integral Fungsi Trigonometri
  • Integrasi dengan Substitusi Trigonometri
  • Integral Fungsi Rasional
  • Integral Fungsi Irasional
  • Integrasi dengan Substitusi tan (1/2 x)
Materi Prasyarat

Sebelum mempelajari teknik-teknik integrasi di atas, kalian harus benar-benar memahami materi integral baku dan hafalkan sebagian rumus-rumus integral baku tersebut atau bahkan seluruhnya jika mampu. Karena selain memahaminya, belajar integral juga harus dengan menghafalkan rumus-rumusnya.

Integral merupakan proses kebalikan dari turunan atau antidiferensiasi. Dengan kata lain, jika diberikan suatu fungsi $f(x)$ dan diinginkan mencari fungsi $F(x)$ sedemikian sehingga  $\frac{dF(x)}{dx}=F'(x)=f(x)$.

Setiap fungsi $F(x)$ yang demikian tersebut dinamakan anti-turunan atau Integral Tak Tentu dari fungsi $f(x)$ dan dituliskan dengan: $$F(x)= \int f(x) \ dx $$
Di sini $f(x) $ disebut integran (yang diintegralkan) dan $x$ disebut integrator. Dinamakan integral tak tentu karena tidak merujuk pada nilai numerik tertentu atau tidak menunjuk suatu interval tertentu untuk daerah integrasi. Langkah-langkah untuk mencari anti turunan dari $f(x) $ dinamakan Integrasi.

Anti turunan, jika ada, tidaklah tunggal. Andaikan $F(x) $ adalah suatu anti turunan dari $f (x) $ maka mudah ditunjukkan bahwa $G(x)=F(x)+k$ untuk k sebarang bilangan real, juga anti turunan dari $f (x) $. Secara umum dapat dituliskan $$\int f(x) \ dx = F(x)+k $$ dengan k disebut konstanta integrasi.


Demikianlah postingan dengan judul Materi Teknik Pengintegralan, semoga bermanfaat.
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design