Matematika Ku Bisa

Belajar Matematika dan Bisnis Online

Bukti Bahwa Tidak Ada Bilangan Rasional r sehingga r^2=2

Kita akan buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional r sehingga $r^2=2$, yang berarti bahwa $r=\sqrt{2}$ bilangan tak-rasional. Kita gunakan metode pembuktian tidak langsung dengan menggunakan kaidah Reducrio ad absurdum. Jika belum tahu bagaimana metode pembuktian dalam matematika, silahkan bisa dibaca terlebih dahulu.
Tidak ada bilang rasional r sehingga $r^2=2$
Bukti:
Andaikan ada r bilangan rasional sehingga $r^2=2$ maka r dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat p dan q yang saling relatif prima dimana $\frac{p}{q}=r$ dengan $q \neq 0$. Oleh karena itu, kita punyai $\frac{p^2}{q^2}=2$

Pandang $p^2=2q^2$, yang berarti $p^2$ bisa dibagi 2 atau $p^2$ bilangan genap. Anggap kita telah membuktikan bahwa "jika $p^2$ genap maka $p$ genap" maka kita punyai $p=2k$ sehingga $p^2=4k^2$ untuk suatu k bulangan asli.

Sekarang perhatikan bahwa dari $p^2=2q^2 $ maka $4k^2=2q^2$ yang ekuivalen dengan $q^2=2k^2$, yang berarti q juga merupakan bilangan genap. Hal ini bertentangan dengan pengandaian kita diawal bahwa p dan q saling relatif prima (fpb dari p dan q adalah 1), karena jika p dan q bilangan genap maka minimal fpb dari p dan q adala 2. Oleh karena itu, kita simpulkan bahwa tidak ada r bilangan rasional sehingga $r^2=2$

Rumus Phytagoras

Rumus Phytagoras
Apa itu rumus phytagoras? Rumus Pythagoras diambil dari nama penemunya yaitu Pythagoras. Pythagoras adalah seorang matematikawan asal Yunani yang dikenal dengan teoremanya yaitu teorema Pythagoras.

Teorema pythagoras atau dalil pythagoras menyatakan bahwa sisi miring atau sisi terpanjang dalam segitiga siku–siku sama dengan jumlah kuadrat sisi–sisi lainnya. Jadi, jika $a$, $b$, dan $c$ adalah panjang sisi-sisi segitiga siku-siku dan c merupakan sisi terpanjangnya maka berlaku: $$a^2+b^2=c^2$$
Gambar dari Rumusmatematika.org

Dari rumus tersebut, maka untuk mencari nilai a gunakan rumus: $$a=\sqrt{c^2-b^2} $$
Untuk mencari nilai b maka gunakan rumus: $$b=\sqrt{c^2-a^2} $$
Dan untuk mencari nilai $c$ maka gunakan rumus: $$c=\sqrt{a^2+b^2} $$
Ingat rumusnya ya, jika yang dicari sisi terpanjangnya (c) maka gunakan penjumlahan, sedangkan jika yang dicari sisi lainnya (a atau b) maka yang digunakan pengurangan.

Contoh soal: Tentukan panjang sisi miring segitiga yang diketahui sisi yang saling tegaknya adalah 6 dan 8!


Penyelesaian:$$\begin{align} c &=\sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{6^2+8^2} \\ &= \sqrt{64+64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{align}$$
Untuk memudahkan mengerjakan soal-soal dalam matematika yang berkaitan dengan Teorema Phytagoras, alangkah bagusnya jika kalian menghafal Triple Phytagoras. Apa itu Triple Phytagoras? Triple Phytagoras adalah tiga bilangan asli a, b, dan c yang memenuhi dalil Phytagoras. Berikut angka (triple pythagoras) tersebut.

3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101
dan masih banyak lagi.

Perhatikan gambar berikut ini!
Gambar dari Wikipedia

Gambar di atas menunjukkan hubungan $c^2t=a^2t +b^2t $ yang ekuivalen dengan $c^2=a^2+b^2$. Demikianlah pengertian dari Rumus Phytagoras, beserta contoh soal dan triple Phytagoras. Semoga bermanfaat ya.

Induksi Matematika

Induksi Matematika. Suatu proses berpikir induktif (berpola dari khusus ke umum) dilakukan dengan cara diawali dari premis-premis yang benar (dibuktikan atau diandaikan benar) kemudian ditarik sebuah kesimpulan yang berlaku umum (bersifat menggeneralisasi).

Banyak soal-soal matematika pembuktian yang dikerjakan dengan induksi matematika, yang dimaksud soal induksi matematika adalah soal pembuktian terhadap pernyataan-pernyataan dalam bentuk n dimana n bilangan asli. Kita misalkan pernyataan dalam n tersebut dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan yakni {P(n) : n $ \in N$}.

Untuk membuktikan suatu pernyataan P(n) bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, tentu kita harus dapat membuktikan pernyataan tersebut berlaku untuk semua n. Apabila pernyataan tersebut dibatasi misalnya pada $n \ge a$ maka harus dapat ditunjukkan pernyataan P(n) benar untuk semua $ n \ge a$ dengan prinsip-prinsip induksi matematika berikut ini.

Prinsip Induksi Matematika Pertama
Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(n=1) benar; dan jika P(n=k) benar mengakibatkan P(n=k+1) juga benar; Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Prinsip ini diturunkan berdasarkan sifat aksioma Peano. Dengan sifat tersebut, kita dapat membuktikan pernyataan yang berlaku bagi setiap bilangan asli.

Modifikasi Prinsip Induksi Matematika Pertama
Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(a) benar untuk suatu bilangan asli a, dan jika P(k) benar mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli $n \ge a$.

Dengan prinsip tersebut, untuk membuktikan pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli dengan $n \ge a$, kita lakukan dengan dua langkah berikut ini.

Langkah pertama: Tunjukkan P(n) benar untuk n=a.
Langkah kedua: Tunjukkan jika P(n) benar untuk n=k mengakibatkan P(n) juga benar untuk n=k+1.
Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan asli $n \ge a$.

Contoh soal 1: Buktikan bahwa $n! \le n^n$ untuk semua n bilangan asli ($n \ge 1$)
Contoh soal 2: Buktikan bahwa untuk $2^n < n!$ untuk $n \ge 4$
  • Jawaban Soal 1
Misalkan P(n): $n! \le n^n$.
Langkah Pertama: Untuk n=1 maka $1! \le 1^1 \Leftrightarrow 1 \le 1 $. Perhatikan $1 \le 1 $ bernilai benar, maka  P(1) bernilai benar.
Langkah Kedua: Jika P(k) benar untuk k sebarang bilangan asli akan ditunjukkan bahwa P(k+1) juga benar:
$\begin{align} k! & \le k^k \\ (k+1)k! & \le (k+1)k^k < (k+1)(k+1)^k \\ (k+1)! & < (k+1)(k+1)^k \\ (k+1)! & < (k+1)^{k+1} \end{align} $ 
Kesimpulan: Karena untuk P(k) yang diandaikan benar mengimplikasikan P(k+1) juga benar, maka disimpulkan $n! \le n^n$ benar untuk setiap n.   
  • Jawaban Soal 2
Misalkan P(n): $2^n < n!$. 
Langkah Pertama: Untuk n=4 maka $2^4 < 4! \Leftrightarrow 16 < 24 $. Jadi, P(4) bernilai benar.
Langkah Kedua: Andaikan P(k) benar untuk  sebarang $k \ge 4$ akan ditunjukkan P(k+1) juga benar:
$\begin{align} 2^k &< k! \\ 2.2^k &< 2.k! < (k+1)k!  \\ 2.2^k &< (k+1)k! \\ 2^{k+1} &< (k+1)!  \end{align}$
Kesimpulan: Karena P(k) yang diandaikan benar mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka disimpulkan $2^n < n!$ benar untuk setiap $n \ge 4$.

Prinsip Induksi Matematika Kedua
Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(1) benar, dan jika P(m) benar untuk setiap $m \le k$ mengakibatkan P(k+1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Contoh Soal: Buktikan bahwa $(2+ \sqrt{3})^n + (2 – \sqrt{3})^n$ selalu merupakan bilangan bulat untuk n $\in N$.

Jawab:
Kita lakukan dua langkah.
Langkah 1: Untuk n=1, maka
$(2+ \sqrt{3})^1 + (2 – \sqrt{3})^1=4$
merupakan bilangan bulat. Jadi pernyataan benar untuk n=1.
Langkah 2: Jika k bilangan asli, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli $m \le k$, artinya
$(2+ \sqrt{3})^m + (2 – \sqrt{3})^m$
suatu bilangan bulat untuk semua bilangan asli $m \le k$. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa
$(2+ \sqrt{3})^{k+1} + (2 – \sqrt{3})^{k+1}$
juga bilangan bulat. Tetapi
$\begin{align}a^{k+1}+b^{k+1} &= (a^k+b^k)(a+b)-ab^k-ba^k \\ &=(a^k+b^k)(a+b)-ab(a^{k-1}+b^{k-1}) \end{align}$
dengan $a=2+\sqrt{3}$ dan $b=2-\sqrt{3}$.

Kita dapat menguji langsung bahwa ab bilangan bulat. Berdasarkan asumsi bahwa $a^k+b^k$, $a^{k-1}+b^{k-1}$ dan $a+b$ bilangan bulat, maka $a^{k+1}+b^{k+1}$ juga bilangan bulat.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi, kita telah membuktikan pernyataan yang diminta.

REFERENSI:
  • Setya Budhi, Wono. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: CV Ricardo. (hal.: 59-64)
  • Raji, Wissam. “An Introductory Course in Elementary Number Theory.” Ebook.

Persamaan Diferensial Clairaut

Persamaan Diferensial Clairaut
Persamaan Diferensial Clairaut merupakan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan bentuk umum: $y=px+f (p) $ dimana $p=dy/dx $. Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap x maka diperoleh:
$dy/dx = p + x \frac{dp}{dx}+f'(p) \frac{dp}{dx}$$ atau $$(x+f'(p)) \frac{dp}{dx}=0$
Persamaan tersebut dipenuhi jika $\frac{dp}{dx}=0$ atau $x+f(p)=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$ maka diperoleh $p=k$. Eliminasi p dari bentuk umum, maka diperoleh penyelesaian umum:
$y=kx+f(k)$
Persamaan-persamaan ini merupakan kumpulan garis-garis lurus. Selanjutnya eliminasi p dari: $x+f(p)=0$ dan $y=px+f(p)$ maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh Soal: Selesaikan $y=px+p^2$

Penyelesaian: $y=px+p^2$ diturunkan terhadap x diperoleh $dy/dx = p+x \frac{dp}{dx}+2p \frac{dp}{dx}$ atau $(x+2p)\frac{dp}{dx}=0$. Persamaan terakhir ini dipenuhi jika $(x+2p)=0$ atau $\frac{dp}{dx}=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$, diperoleh p=k. Dengan mengeliminasi p dari persamaan awal dengan menggunakan p=k maka diperoleh penyelesaian umum $y=kx+k^2$.

Dari $x+2p=0$, diperoleh $p=- \frac{x}{2}$. Selanjutnya dari $p=- \frac{x}{2}$, eliminasi p dari persamaan awal maka diperoleh penyelesaian singular $$\begin{align} y &= - \frac{x}{2}. x + (- \frac{x}{2})^2 \\ &= - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} \\ &= - \frac{x^2}{4} \end{align} $$
Plot $y=- \frac{x^2}{4}$ untuk x=-2 ke x=2

Buku Belajar Teknik-teknik Integrasi

Buku Belajar Teknik-teknik Integrasi
Rumus-rumus integral baku yang diberikan berikut ini hanya dapat digunakan untuk mengintegralkan fungsi sederhana dan tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi yang tidak sederhana.

Bentuk Integral Baku
  1. $\int \ k \ dx =kx+C$
  2. $\int x^n \ dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
  3. $\int \frac{1}{x} \ dx=ln \ x + C$
  4. $\int e^x \ dx=e^x+C$
  5. $\int a^x \ dx= \frac{a^x}{ln \ a}+C, \ a \neq 1, \ a>0$
  6. $\int \sin x \ dx=- \cos x+C$
  7. $\int \cos x \ dx= \sin x+C$
  8. $\int \sec^2 x \ dx= \tan x+C$
  9. $\int \csc^2 x \ dx=- \cot u+C$
  10. $\int \sec x \tan x \ dx=sec x+C$
  11. $\int \csc x \cot x \ dx= \sec x+C$
  12. $\int \tan x \ dx=- \ln| \cos x|+C$
  13. $\int \cot x \ dx= \ln| \sin \ x|+C$
  14. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \sin^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  15. $\int \frac{1}{a^2+x^2} \ dx= \frac{1}{a} \tan^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  16. $\int \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \frac{1}{a} \sec^{-1} \ (\frac{|x|}{a})+C$
  17. $\int \sinh x \ dx= \cosh \ x+C$
  18. $\int \cosh x \ dx= \sinh \ x+C$
Teknik-teknik integrasi yang akan dibahas pada Buku Belajar Teknik-teknik Integrasi adalah:
  • Integrasi dengan Substitusi Sederhana
  • Integrasi dengan Parsial
  • Integral Fungsi Hiperbolik
  • Integral Fungsi Trigonometri
  • Integrasi dengan Substitusi Trigonometri
  • Integral Fungsi Rasional
  • Integral Fungsi Irasional
  • Integrasi dengan Substitusi tan (1/2 x)
Sebelum mempelajari teknik-teknik integrasi di atas, kalian harus benar-benar memahami materi integral baku dan hafalkan sebagian rumus-rumus integral baku tersebut atau bahkan seluruhnya jika mampu. Karena selain memahaminya, belajar integral juga harus dengan menghafalkan rumus-rumusnya.

Integral merupakan proses kebalikan dari turunan atau antidiferensiasi. Dengan kata lain, jika diberikan suatu fungsi $f(x)$ dan diinginkan mencari fungsi $F(x)$ sedemikian sehingga  $\frac{dF(x)}{dx}=F'(x)=f(x)$.

Setiap fungsi $F(x)$ yang demikian tersebut dinamakan anti-turunan atau Integral Tak Tentu dari fungsi $f(x)$ dan dituliskan dengan: $$F(x)= \int f(x) \ dx $$
Di sini $f(x) $ disebut integran (yang diintegralkan) dan $x$ disebut integrator. Dinamakan integral tak tentu karena tidak merujuk pada nilai numerik tertentu atau tidak menunjuk suatu interval tertentu untuk daerah integrasi. Langkah-langkah untuk mencari anti turunan dari $f(x) $ dinamakan Integrasi.

Anti turunan, jika ada, tidaklah tunggal. Andaikan $F(x) $ adalah suatu anti turunan dari $f (x) $ maka mudah ditunjukkan bahwa $G(x)=F(x)+k$ untuk k sebarang bilangan real, juga anti turunan dari $f (x) $. Secara umum dapat dituliskan $$\int f(x) \ dx = F(x)+k $$ dengan k disebut konstanta integrasi.


Untuk membaca pembahasan dari isi buku tersebut silahkan baca pada Materi Teknik Pengintegralan. Demikianlah postingan dengan judul Buku Belajar Teknik-teknik Integrasi, semoga bermanfaat.

Materi Teknik Pengintegralan

Materi Teknik Pengintegralan
Rumus-rumus dasar integral tak-tentu (bentuk integral baku) yang diberikan berikut ini hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi yang tidak sederhana seperti $ ∫ xe^x \ dx$. Pada postingan ini, kita akan membahas teknik-teknik dalam pengintegralan.

Bentuk Integral Baku
  1. $\int \ k \ dx =kx+C$
  2. $\int x^n \ dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
  3. $\int \frac{1}{x} \ dx=ln \ x + C$
  4. $\int e^x \ dx=e^x+C$
  5. $\int a^x \ dx= \frac{a^x}{ln \ a}+C, \ a \neq 1, \ a>0$
  6. $\int \sin x \ dx=- \cos x+C$
  7. $\int \cos x \ dx= \sin x+C$
  8. $\int \sec^2 x \ dx= \tan x+C$
  9. $\int \csc^2 x \ dx=- \cot u+C$
  10. $\int \sec x \tan x \ dx=sec x+C$
  11. $\int \csc x \cot x \ dx= \sec x+C$
  12. $\int \tan x \ dx=- \ln| \cos x|+C$
  13. $\int \cot x \ dx= \ln| \sin \ x|+C$
  14. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \sin^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  15. $\int \frac{1}{a^2+x^2} \ dx= \frac{1}{a} \tan^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  16. $\int \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \frac{1}{a} \sec^{-1} \ (\frac{|x|}{a})+C$
  17. $\int \sinh x \ dx= \cosh \ x+C$
  18. $\int \cosh x \ dx= \sinh \ x+C$
Teknik-teknik pengintegralan yang akan dibahas pada blog Matematika Ku Bisa ini adalah:
  • Integrasi dengan Substitusi Sederhana
  • Integrasi dengan Parsial
  • Integral Fungsi Hiperbolik
  • Integral Fungsi Trigonometri
  • Integrasi dengan Substitusi Trigonometri
  • Integral Fungsi Rasional
  • Integral Fungsi Irasional
  • Integrasi dengan Substitusi tan (1/2 x)
Materi Prasyarat

Sebelum mempelajari teknik-teknik integrasi di atas, kalian harus benar-benar memahami materi integral baku dan hafalkan sebagian rumus-rumus integral baku tersebut atau bahkan seluruhnya jika mampu. Karena selain memahaminya, belajar integral juga harus dengan menghafalkan rumus-rumusnya.

Integral merupakan proses kebalikan dari turunan atau antidiferensiasi. Dengan kata lain, jika diberikan suatu fungsi $f(x)$ dan diinginkan mencari fungsi $F(x)$ sedemikian sehingga  $\frac{dF(x)}{dx}=F'(x)=f(x)$.

Setiap fungsi $F(x)$ yang demikian tersebut dinamakan anti-turunan atau Integral Tak Tentu dari fungsi $f(x)$ dan dituliskan dengan: $$F(x)= \int f(x) \ dx $$
Di sini $f(x) $ disebut integran (yang diintegralkan) dan $x$ disebut integrator. Dinamakan integral tak tentu karena tidak merujuk pada nilai numerik tertentu atau tidak menunjuk suatu interval tertentu untuk daerah integrasi. Langkah-langkah untuk mencari anti turunan dari $f(x) $ dinamakan Integrasi.

Anti turunan, jika ada, tidaklah tunggal. Andaikan $F(x) $ adalah suatu anti turunan dari $f (x) $ maka mudah ditunjukkan bahwa $G(x)=F(x)+k$ untuk k sebarang bilangan real, juga anti turunan dari $f (x) $. Secara umum dapat dituliskan $$\int f(x) \ dx = F(x)+k $$ dengan k disebut konstanta integrasi.


Demikianlah postingan dengan judul Materi Teknik Pengintegralan, semoga bermanfaat.

Review Vitabrain Centella

Review Vitabrain Centella
Review kita kali ini akan membahas mengapa, apa, bagaimana, siapa saja yang boleh mengkonsumsi, dan dimana tempat untuk membeli Vitabrain Centella dengan judul postingan Review Vitabrain Centella.

Mengapa Vitabrain Centella?

Apakah Anda mudah lupa, sulit untuk berkonsentrasi atau Anda memiliki anak berkebutuhan khusus seperti autis dan hiperaktif bahkan down syndrome yang cenderung sangat sulit untuk diam, tenang, dan fokus? Bagi Anda yang memiliki daya ingat dan konsentrasi yang menurun, susah mengingat pelajaran maka harus ada upaya untuk mengatasinya.

Ketahuilah bahwa otak kita terdiri dari 5 bagian, yaitu otak besar, otak kecil, otak depan, otak tengah dan otak belakang yang memiliki fungsi yang berbeda-beda. Namun sebagaimana bagian tubuh kita yang lain, otak juga memerlukan asupan gizi yang baik. Jika asupan gizi ke otak kita kurang, maka akan terjadi hal-hal yang tidak diinginkan diantaranya pelupa (pikun), susah konsentrasi, daya ingat atau hafalan menurun. Jika dibiarkan tidak menutup kemungkinan akan mengakibatkan beberapa penyakit seperti alzheimer, epilepsi, parkinson bahkan stroke.

Kualitas otak yang menurun dapat disebabkan karena kurangnya asupan gizi yang diperlukan otak, kurangnya aliran oksigen ke otak, kurang waktu istirahat, stres terlalu banyak pikiran, dan terlalu banyak konsumsi makanan yang mengandung zat yang merugikan otak.

Jika Anda atau buah hati Anda pelupa, sulit menghafal, mudah merasa letih dan lelah, sulit berkonsentrasi, sering sakit kepala, atau anak berkebutuhan khusus dianjurkan untuk mengkonsumsi Vitabrain Centella.

Kenyataan yang ada sekarang ini adalah:
  • Makanan cepat saji yang beredar saat ini mengandung banyak zat yang sebenarnya berdampak tidak baik bagi otak.
  • Beredar beberapa makanan atau yang sebenarnya mengandung bahan-bahan berbahaya terutama bagi otak.
  • Tingkat stres yang tinggi. 
  • Kurangnya waktu istirahat. 
Jangan biarkan menurunnya daya ingat dan konsentrasi Anda dan buah hati Anda semakin lama, karena akan berpengaruh kepada karir dan prestasi Anda dan putra putri Anda.

Jangan biarkan segala rasa sakit di kepala Anda bertahan begitu lama karena hal yang lebih buruk bisa saja terjadi. Berikan penanganan yang terbaik untuk putra putri Anda yang berkebutuhan khusus agar bisa lebih tenang dan fokus.

Apa itu Vitabrain Centella?

Vitabrain merupakan suplemen khusus untuk otak terbuat dari bahan herbal alami yang berfungsi untuk melancarkan peredaran darah di sekitar otak tanpa efek samping yang dapat meningkatkan kecerdasan, daya ingat dan konsentrasi. Bermanfaat juga untuk anak berkebutuhan khusus.

VITABRAIN CENTELLA


Vitabrain VB Centella dapat membantu pengobatan beberapa penyakit di sekitar kepala seperti sering pusing-pusing, kepala nyut-nyutan, alzheimer, migraine, vertigo, insomnia, epilepsi, darah tinggi hingga stroke. Vitabrain VB Centella juga sangat direkomendasikan untuk anak-anak berkebutuhan khusus seperti down syndrome, autis dan hiperaktif.

1. Vitabrain Terbuat dari Bahan Herbal Alami

Bahan Dasar Dari Vitabrain VB Centella Adalah Ekstrak Dari Daun Pegagan Atau Pegaga Yang Memiliki Nama Latin Centella Asiatica. Daun Pegagan Terbukti Memberikan Khasiat Untuk Meningkatkan Kualitas Otak Dan Termasuk Salah Satu Dari The Most Healing Herbs. Daun Pegagan Yang Dijadikan Bahan Pembuatan Vitabrain VB Centella Ini Hanya Diseleksi Dari Yang Berkualitas Terbaik Saja.

2. Vitabrain Diproses Menggunakan Standar Teknologi Nasional dan Internasional

Pembuatan Ekstrak Dari Daun Pegagan Tersebut Diproses Menggunakan Standar Teknologi yang Sudah Diakui Baik Secara Nasional Maupun Internasional Dari Instansi Yang Terkait. Sesuai Acuan Dari Standard Hazard Analysis Critical Control Point/ HACCP (Manajemen Keamanan Pangan Internasional), standard GMP, SNI, HALAL & POM, Sehingga Kualitas Dan Khasiat Tetap Terjaga.

3. Vitabrai Memiliki Ijin Resmi Depkes RI, MUI Dan BPOM

Vitabrain VB Centella Sudah Memiliki Ijin Resmi Dari Depkes RI, Sertifikasi Halal MUI Dan Juga Terdaftar Pula Di BPOM.
Ijin Edar BPOM: POM TR133327941
Sertifikat Halal MUI : 00130071780215

4. Vitabrain Sangat Baik untuk Menunjang Prestasi

Vitabrain VB Centella Berhasil Terbukti Sebagai Penunjang Tercapainya Prestasi Baik Akademik Maupun Non Akademik.

5. Vitabrain Khasiatnya Sudah Terbukti

Dari Berbagai Testimonial Yang Kami Terima Dari Para Pelanggan Kami, Mereka Sudah Membuktikan Khasiat Dari Vitabrain VB Centella.

6. Vitabrain Suplemen Otak Pertama Berbahan Herbal Alami

Vitabrain VB Centella Sudah Berproduksi Sejak Tahun 2010 Dan Ini Merupakan Suplemen Vitamin Otak Pertama Di Indonesia Bahkan Di Dunia Yang Berbahan Murni Ekstrak Dari Herbal Alami Tanpa Bahan Kimia Apapun. Dan Sudah Berkali-kali Berganti Kemasan.

7. Tanpa Efek Samping Yang Merugikan

Karena Berbahan Herbal 100% Dari Ekstrak Daun Centella Asiatica Maka Bisa Dipastikan Tidak Menimbulkan Efek Samping Yang Dapat Merugikan Tubuh, Insya Allah. Lain Dengan Produk Sejenis Yang Masih Mengandung Bahan Kimia Tertentu Yang Dapat Mengakibatkan Efek Samping Bahkan Kecanduan.

Disclaimer: Setiap Individu Dapat Merasakan Manfaat Yang Berbeda-beda Tergantung Dari Kondisi Tubuh Yang Bersangkutan Dan Konsistensi Selama Mengkonsumsi. Namun Jika Diikuti Sesuai Dosis Yang Dianjurkan Niscaya Akan Mendapatkan Hasil Sesuai Harapan.

Siapa Sajakah Yang Memerlukan Vitabrain VB Centella?

  1. Anak-anak Mulai Usia 5 Tahun Sampai Remaja Agar Dapat Lebih Memahami Pelajaran Dan Lebih Berprestasi.
  2. Anak-anak Berkebutuhan Khusus Seperti Down Syndrome, Autis Dan Hiperaktif Agar Bisa Lebih Fokus Dan Tenang Juga Lebih Responsif Terhadap Sekitarnya.
  3. Penderita Epilepsi, Penderita Insomnia Agar Bisa Tidur Nyenyak, Penderita Alzheimer, Penderita Parkinson, Penderita Migraine, Penderita Vertigo, Penderita Tekanan Darah Tinggi (High Blood Pressure), Penderita Gagap Bicara, dan Penderita Stroke Untuk Melancarkan Peredaran Darah Yang Tersumbat.
  4. Calon Hafidz/Hafidzah Agar Lebih Mudah Menghafal Al Quran dan Para Pelajar Dan Mahasiswa Agar Lebih Bisa Memahami Pelajaran Dan Dapat Nilai Bagus Saat Ujian.
  5. Para Usia Lanjut Atau Manula Untuk Mengurangi Kepikunan Atau Mudah Lupa.
  6. Mantan Pecandu Narkoba Untuk Membantu Memulihkan Sel-sel Otak Yang Rusak Akibat Zat Terlarang.
  7. Para Psikiater Dan Dokter Ahli Kejiwaan Untuk Membantu Terapi Para Pasiennya.
  8. Bagi Yang Sering Mengalami Sakit Kepala Atau Stress.
  9. Para Pekerja Di Bidang Seni Atau Industri Kreatif Agar Lebih Mudah Mendapatkan Ide Cemerlang.
  10. Dan Siapa Saja Lainnya Yang Ingin Meningkatkan Daya Ingat Dan Konsentrasinya.

Cara Konsumsi Vitabrain Centella
  • Usia 3-6 tahun : Setengah kapsul/hari
  • Usia 7-15 tahun : 1 Kapsul/hari
  • Usia >16 tahun : 2 Kapsul/hari.
Note: 1 botol = 60 kapsul. Untuk penggunaan sebagai terapi atau pengobatan hendaknya mengikuti petunjuk dari tempat terapi atau mengikuti resep dokter.

Harga dan Cara Pembelian Vitabrain Centella

Harga Vitabrain normalnya adalah Rp 216.000 per Botol. Harga Sewaktu-waktu Dapat berubah Sesuai Keputusan Dari Kantor Pusat PT Vitabrain Indonesia Sejahtera. Karena kami hanya agen.

Bukti Bahwa Bilangan Asli Tidak Terbatas

Bukti Bahwa Bilangan Asli Tidak Terbatas
Bukti bilangan asli tidak terbatas, bagaimana cara membuktikannya? Bilangan asli atau bilangan bulat positif yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dst. merupakan bilangan yang tidak terbatas. Jika Anda menyebutkan batas bilangan asli adalah M maka saya dapat memberikan bilangan asli M+1. Misalnya, Anda mengatakan 1000 maka saya menyebutkan 1001 dimana 1001 > 1000. Pada garis bilangan bulat, kita mengetahui bahwa semakin ke kanan maka semakin besar nilainya. Oleh karena itu batas bilangan asli yang Anda klaim itu batal.

Untuk dapat membuktikan secara formal pernyataan "Bilangan Asli Tidak Terbatas", kita butuh pernyataan berupa definisi atau aksioma. Walaupun secara intuisi, bilangan asli itu tidak terbatas. Ada sifat untuk penjumlahan bilangan bulat, yaitu sifat tertutup. Jika a dan b bilangan bulat maka a+b juga bilangan bulat. Kita jadikan ini sebagai dalil bahwa $M+1$ juga bilangan asli karena M dan 1 adalah bilangan asli. Dengan sifat ini, kita buktikan bahwa bilangan asli tidak terbatas dengan metode pembuktian kontradiksi (Reductio Ad Absurdum).
Bilangan Asli Tidak Terbatas
Bukti:
Andaikan bilangan asli terbatas dan misalkan terbatas pada $M$, maka $M+1$ bukan merupakan bilangan asli. Akan tetapi, hal ini bertentangan dengan sifat tertutup penjumlahan dua bilangan bulat. Artinya, pengandaian salah, maka kita simpulkan bahwa bilangan asli itu tidak terbatas.

Demikianlah postingan dengan judul Bukti Bilangan Asli Tidak Terbatas, semoga bermanfaat.

Kontak Kami

Name

Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design