Matematika Ku Bisa

Belajar Matematika Online

IXL Math On IXL, math is more than just numbers. With unlimited questions, engaging item types, and real-world scenarios, IXL helps learners experience math at its most mesmerizing! Pre-K skills Represent numbers - up to 5 Inside and outside Classify shapes by color Long and short Wide and narrow See all 77 pre-K skills Kindergarten skills Fewer, more, and same Read clocks and write times Seasons Count money - pennies through dimes Shapes of everyday objects I See all 182 kindergarten skills First-grade skills Counting tens and ones - up to 99 Hundred chart Subtraction facts - numbers up to 10 Read a thermometer Measure using an inch ruler See all 210 first-grade skills Second-grade skills Counting patterns - up to 1,000 Greatest and least - word problems - up to 1,000 Compare clocks Create pictographs II Which customary unit of volume is appropriate? See all 287 second-grade skills Third-grade skills Convert between standard and expanded form Count equal groups Estimate sums Show fractions: area models Find equivalent fractions using area models See all 384 third-grade skills Fourth-grade skills Addition: fill in the missing digits Divide larger numbers by 1-digit numbers: complete the table Objects on a coordinate plane Circle graphs Place values in decimal numbers See all 340 fourth-grade skills Fifth-grade skills Least common multiple Multiply fractions by whole numbers: word problems Sale prices Find start and end times: word problems Parts of a circle See all 347 fifth-grade skills Sixth-grade skills Compare temperatures above and below zero Which is the better coupon? Evaluate variable expressions with whole numbers Classify quadrilaterals Create double bar graphs See all 321 sixth-grade skills Seventh-grade skills Solve percent equations Arithmetic sequences Evaluate multi-variable expressions Identify linear and nonlinear functions Pythagorean theorem: word problems See all 289 seventh-grade skills Eighth-grade skills Write variable expressions for arithmetic sequences Add and subtract polynomials using algebra tiles Add polynomials to find perimeter Multiply and divide monomials Scatter plots See all 317 eighth-grade skills Algebra 1 skills Write and solve inverse variation equations Write an equation for a parallel or perpendicular line Solve a system of equations by graphing Solve a system of equations using substitution Rational functions: asymptotes and excluded values See all 309 Algebra 1 skills Geometry skills Triangle Angle-Sum Theorem Proving a quadrilateral is a parallelogram Properties of kites Similarity of circles Perimeter of polygons with an inscribed circle See all 221 Geometry skills Algebra 2 skills Multiply complex numbers Product property of logarithms Find the vertex of a parabola Write equations of ellipses in standard form from graphs Reference angles See all 322 Algebra 2 skills Precalculus skills Identify inverse functions Graph sine functions Convert complex numbers between rectangular and polar form Find probabilities using two-way frequency tables Use normal distributions to approximate binomial distributions See all 261 Precalculus skills Calculus skills Find limits using the division law Determine end behavior of polynomial and rational functions Determine continuity on an interval using graphs Find derivatives of polynomials Find derivatives using the chain rule I See all 97 Calculus skills Mathematics is a persistent source of difficulty and frustration for students of all ages. Elementary students spend years trying to master arithmetic. Teens struggle with the shift to algebra and its use of variables. High-school students must face diverse challenges like geometry, more advanced algebra, and calculus. Even parents experience frustration as they struggle to recall and apply concepts they had mastered as young adults, rendering them incapable of providing math help for their children. Whether you need top Math tutors in Boston, Math tutors in Detroit, or top Math tutors in Dallas Fort Worth, working with a pro may take your studies to the next level. The truth is, everyone struggles with math at one time or another. Students, especially at the high-school level, have to balance challenging coursework with the demands of other courses and extracurricular activities. Illness and school absences can leave gaps in a student’s instruction that lead to confusion as more advanced material is presented. Certain concepts that are notoriously difficult to master, such as fractions and the basics of algebra, persist throughout high school courses, and if not mastered upon introduction, can hinder a student’s ability to learn new concepts in later courses. Even students confident in their math skills eventually find a course or concept incomprehensible as they reach advanced math classes. In other words, no matter what your age or ability, everyone eventually needs help with math. Varsity Tutors offers resources like free Math Diagnostic Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider a Math tutor. Varsity Tutors is happy to offer free practice tests for all levels of math education. Students can take any one of hundreds of our tests that range from basic arithmetic to calculus. These tests are conveniently organized by course name (e.g. Algebra 1, Geometry, etc.) and concept (e.g. “How to graph a function”). Students can select specific concepts with which they are struggling or concepts that they are trying to master. Students can even use these concept-based practice tests to identify areas in which they may not have realized they were struggling. For instance, if a student is struggling with his or her Algebra 1 course, he or she can take practice tests based on broad algebra concepts such as equations and graphing and continue to practice in more specific subcategories of these concepts. In this way, students can more clearly differentiate between those areas that they fully understand and those that could use additional practice. Better yet, each question comes with a full written explanation. This allows students to not only see what they did wrong, but provides the student with step-by-step instructions on how to solve each problem. In addition to the Math Practice Tests and Math tutoring, you may also want to consider taking some of our Math Flashcards. Varsity Tutors’ Learning Tools also offer dozens of Full-Length Math Practice Tests. The longer format of the complete practice tests can help students track and work on their problem-solving pace and endurance. Just as on the results pages for the concept-specific practice tests, the results for these longer tests also include a variety of scoring metrics, detailed explanations of the correct answers, and links to more practice available through other Learning Tools. These free online Practice Tests can assist any student in creating a personalized mathematics review plan, too, as the results show which of the concepts they already understand and which concepts may need additional review. After reviewing the skills that need work, students can take another Full-Length Math Practice Test to check their progress and further refine their study plan. Once a student creates a Learning Tools account, they can also track their progress on all of their tests. Students can view their improvement as they begin getting more difficult questions correct or move on to more advanced concepts. They can also share their results with tutors and parents, or even their math teacher. Create a Varsity Tutors Learning Tools account today, and get started on a path to better understanding math!
Solve your math problem in

Materi Perbandingan Kelas 7

Hai adik-adik, kita akan belajar materi perbandingan. Dalam kehidupan sehari-hari sering terdapat hal-hal yang berkaitan dengan perbandingan. Misalnya,
  • Berat badan Ari lebih dari berat badan Tedy.
  • Uang Nia besarnya 2 kali uang Diah.
  • Umur Nisa kurang dari umur Tias
  • dsb.
Apa yang akan kita bandingkan adalah besaran yang sama dari dua atau beberapa benda yang berbeda. Ada besaran panjang, massa, waktu, dan sebagainya. Kalian harus tahu satuan dari masing-masing besaran tersebut beserta cara konversi satuannya. karena jika satuan dari besarannya berbeda maka harus disamakan dulu. Misalnya, panjang A adalah 1 m dan panjang B 30 cm. Kita dapat menyatakan panjang A adalah 100 cm sehingga kita dapat membandingkan panjang A dengan panjang B. 

Dua Cara Membandingkan Besaran

Ada dua cara dalam membandingkan besaran, yakni dengan menentukan selisih dan menentukan rasio (hasil bagi yang paling sederhana) sehingga dari contoh yang diberikan, kita dapat membandingkan panjang A dan B sbb.
  1. Menggunakan selisih dimana diketahui selisih dari panjang A dan panjang B adalah 70cm. Misalnya, "Panjang A 70 cm lebihnya dari panjang B". 
  2. Menggunakan rasio dimana diketahui panjang A dan panjang B memiliki rasio $10 : 3$ dari penyederhanaan $\frac{100}{30}$. Misalnya, "Panjang A adalah $\frac{10}{3}$ kali dari panjang B".
Rasio adalah perbandingan dua bilangan  a dan b yang dinotasikan sebagai $a : b$ atau $\frac{a}{b}$ atau a berbanding b. Pernyataan dua rasio yang sama atau ekuivalen disebut proporsi, yaitu $a : b = c : d$. 

Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

Ada dua macam dalam perbandingan, yaitu perbandingan senilai (proporsi) dan perbandingan berbalik nilai. Misalnya diketahui perbandingan dengan rasio $a : b$ senilai dengan perbandingan dengan rasio $c : d$ maka disebut perbandingan senilai dan dinyatakan dengan $a : b = c : d$ sedagkan jika berbalik nilai maka disebut perbandingan berbalik nilai dan dinyatakan dengan $a : b = \frac{1}{c} : \frac{1}{d}$ atau $a : b = d : c$.

Beberapa masalah perbandingan senilai:
  • Jika harga 4 kg beras adalah Rp. 36.000, berapa harga 8 kg beras?
  • Jujun berlari dengan kecepatan 3 kali lebih cepat daro Joni. Jika jarak yang ditempuh Jujun 9km, berapakah jarak yang ditempuh Joni?
  • Es jeruk manakah yang lebih asam, 2 takar sirup dicampur dua gelas air putih atau 3 takar sirup dicampur dua gelas air putih?
  • Perbandingan senilainya adalah  $4 : 8 = 36.000 : x$ atau $\frac{4}{8}=\frac{36.000}{x}$ sehingga nilai x dapat dicari dengan $x = \frac{8×36.000}{4} = 72.000$. Jadi, harga 8kg beras adalah Rp. 72.000,-
  • Rasio kecepatan lari Jujun dan Joni adalah $3 : 1$ sehingga perbandingan senilainya adalah $\frac{3}{1} = \frac{9}{x}$, maka $x= \frac{9}{3}=3$.
  • Lebih asam 3 takar sirup dicampur dua gelas air putih.
Beberapa masalah bukan perbandingan senilai:
  • Saat Budi berusia 4 tahun, adiknya berusia 2 tahun. Sekarang usia Budi 8 tahun, berapakah usia adiknya?
  • Es jeruk manakah yang lebih asam, 2 takar sirup dicampur dengan dua cangkir air putih atau 3 bungkus takar sirup dicampur dengan dua cangkir air putih?
  • Ini bukanlah masalah perbandingan senilai, tetapi masalah selisih umur Budi dan adiknya dimana usia adik Budi saat Budi berusia 8 tahun adalah 6 tahun.
  • Bukan masalah perbandingan senilai karena yang dibandingkan berbeda dan tidak bisa ditentukan takarannya antara 2 takar sirup dan 3 bungkus takar sirup.
Beberapa masalah perbandingan berbalik nilai:
  • 5 sapi dapat menghabiskan rumput seluas 5 are dalam 5 hari. Berapakah hari yang diperlukan bagi 10 sapi untuk menghabiskan rumput seluas 5 are tersebut?
  • 2 orang pekerja dapat menyelesaikan kerjaan dalam 4 hari. Jika kerjaan tersebut harus diselesaikan dengan dua hari saja, berapakah semua pekerja yang dibutuhkan?
  • 5 sapi dapat menghabiskan rumput tersebut selama 5 hari. Semakin banyak sapi maka semakin sedikit hari yang dihabiskan sehingga ini merupakan masalah perbandingan berbalik nilai, yaitu $\frac{5}{10}= \frac{x}{5}$ maka diperoleh $x= \frac{5×5}{10} = \frac{25}{10}=2,5$. Jadi, jumlah hari yang diperlukan adalah 2,5 hari.
  • Diserahkan kepada pembaca.

Skala adalah perbandingan antara ukuran gambar dan ukuran sebenarnya. Skala sering kita temui pada peta, denah, miniatur kendaraan, dan sebagainya. Skala ditemui juga pada termometer suhu, antara lain skala Celcius (°C), skala Reamur (°R), skala Fahrenheit (°F) yang dinyatakan dengan perbandingan C : R : (F-32) = 5 : 4 : 9. Lihat cara perbandingan termometer yang satu dengan termometer yang lain pada Perbandingan Termometer Celcius, Fahrenheit, dan Kelvin.

Soal dan Jawaban
  1. Soal No. 1 dst. Ayo Kita Berlatih 5.1 (Memahami  dan Menentukan Perbandingan Dua Besaran).
  2. Soal No. 1 dst. Ayo Kita Berlatih 5.2 (Menentukan Perbandingan Dua Besaran dengan Satuan yang Berbeda).
  3. Soal No. 1 dst. Ayo Kita berlatih 5.3 (Memahami dan Menyelesaikan Masalah yang Terkait dengan Perbandingan Senilai).
  4. Soal No. 1 dst. Ayo Kita berlatih 5.4 (Menyelesaikan Masalah Perbandingan Senilai pada Peta dan Model).
  5. Soal No. 1 dst. Ayo Kita berlatih 5.5 (Memahami dan Menyelesaikan Masalah yang Terkait dengan Perbandingan Berbalik nilai).

Latihan Soal Pembuktian dalam Pra Kalkulus

Berikut ini adalah soal latihan pembuktian dalam pra kalkulus di buku kalkulus purcel.

1. Buktikan bahwa $a < b \Rightarrow a < \frac{a+b}{2} < b$

2. Jika $a \le b$ maka manakah diantara berikut selalu benar?
a. $a^2 \le ab $
b. $a-3 \le b-3$
c. $a^3 \le a^2b$
d. $-a \le -b$

3. Tunjukkan bahwa akar 2 tak-rasional!

Petunjuk: Andaikan $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ $\in N$ (bukan 1) maka $2=p^2/q^2$ atau $2q^2=p^2$. Untuk menemukan suatu kontradiksi gunakan Teorema Dasar Aritmatika bahwa "kuadrat sebarang bilangan asli (selain 1) dapat dituliskan sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima". Sebagai contoh $45^2=3×3×3×3×5×5$.

4. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional!

5. Tunjukkan bahwa jika bilangan asli $m$ bukan merupakan bentuk kuadrat sempurna, maka $\sqrt{m}$ tak rasional!

Itulah sedikitnya lima soal yang dapat dijadikan latihan bagi kamu dalam membuktikan.

Persamaan Diferensial Tak Eksak

PD Tak Eksak merupakan pembahasan kita yang terakhir untuk PD Tingkat 1. Sebelumnya kita telah membahas Persamaan Diferensial Eksak. Jika diberikan PD M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, apabila $\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD tersebut PD Eksak, sedangkan jika $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ maka PD Tak Eksak.

PD Tak Eksak seringkali bisa diubah ke PD Eksak dengan menentukan suatu faktor yang tepat yang disebut faktor integrasi atau faktor pengintegralan.

  1. Jika $\frac{1}{N} (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})$ adalah suatu fungsi dari x saja, katakan f(x), maka $e^{ \int f(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.
  2. Jika $\frac{1}{M} (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})$ adalah suatu fungsi dari y saja, katakan g(x), maka $e^{ \int g(x) \ dx} $ adalah suatu faktor pengintegralan.

  1. Berdasarkan hipotesis, jika p(x) adalah faktor pengintegralan yang tergantung pada variabel x saja maka $p(x)M(x,y) \ dx + p(x) N(x,y) \ dy =0$ adalah diferensial eksak. Dipunyai syarat perlu $\frac{\partial}{\partial y}(pM)= \frac{\partial}{\partial x}(pN) $ $\Rightarrow $ $p \frac{\partial M}{\partial y} = p \frac{\partial N}{\partial x}+N \frac{\partial p}{\partial x} $ akhirnya diperoleh $\frac{\partial p}{\partial x} = p \frac{1}{N}(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x})=p(x)f(x) $ yang mempunyai suatu penyelesaian umum $p(x) = e^{\int f(x) \ dx} $ 
  2. Analog dengan pembuktian 1.
Contoh: Selesaikan PD $(3x^2y + 2xy+y^3) \ dx+ (x^2+y^2) \ dy=0$ !


$M=3x^2y+2xy+y^3 \Rightarrow M_y=3x^2+2x+3y^2$

$N=x^2+y^2 \Rightarrow N_x=2x$

Karena $\frac{M_y-N_x}{N}=3$ merupakan fungsi x saja, maka $p(x)=e^{\int 3 \ dx}=e^{3x}$ merupakan faktor pengintegralan. Akibatnya, $e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)dx+e^{3x}(x^2+y^2)dy=0$ adalah PD Eksak.

Diambil fungsi diferensialnya adalah u(x,y) dengan
  • $\frac{\partial u}{\partial x} = M_2(x,y) = e^{3x}(3x^2y+2xy+y^3)$
  • $\frac{\partial u}{\partial y} = N_2(x,y) = e^{3x}(x^2+y^2)$
$\begin{align} u(x,y) &= \int N_2(x,y) \ dy \\ &=  \int e^{3x}(x^2+y^2)  \ dy \\ &= e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3}) + k(x) \end{align} $

Dengan memperhatikan kesamaan $\frac{\partial u}{\partial x} = e^{3x}(2xy+3x^2y+y^3)+k'(x)=M_2(x,y) $, maka diperoleh $k'(x)=0 \rightarrow  k(x)=c $. Jadi, solusi umum PD awal adalah $u(x,y)=e^{3x}(x^2y+ \frac{y^3}{3})=k $

Persamaan Diferensial Eksak M(x,y) dx + N(x,y) dy=0

Masih pada pembahasan Persamaan Diferensial Tingkat 1. Jika diberikan PD M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Dikatakan eksak jika ruas kiri merupakan diferensial total yaitu $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy $ dari suatu fungsi $u(x,y) $ sehingga $du=0$ yang mempunyai penyelesaian $u (x,y)=k $ dengan $k $ suatu konstanta.

Untuk mengetahui keeksakan suatu PD order 1 diberikan teorema berikut.

Jika $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan  $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y}$ kontinu, maka PD M(x,y) dx+N(x,y) dy=0 adalah eksak jika hanya jika $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $ atau $M_y=N_x $.

Jika PD eksak maka terdapat suatu fungsi diferensial $u (x,y) $ sedemikian sehingga $du=0$. Dipunyai $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y} $ sebagai syarat keeksakan. Sebagai tambahan, jika M dan N terdiferensial maka $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ dengan derivatif parsial campuran dari $u$ ada dan kontinu. Karena itu, $\frac{\partial M}{\partial y} $ dan $\frac{\partial N}{\partial x} $ ada, kontinu, dan sama.

Untuk membuktikan kebalikan teorema, diasumsikan bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Karena itu terdapat fungsi $u$ sehingga:
$\frac{\partial u}{\partial x}=M $ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N $

Solusi PD eksak sama dengan menemukan $u(x,y)=c$ dari $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$ sbb.
  1. $u(x,y)= \int_x M(x,y) \ dx + \Phi (y)$; $\Phi (y)$ fungsi sembarang dari y.
  2. $\frac{\partial u}{\partial y}  = \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx) + \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N (x,y) $
  3. $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y) - \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx)$
  4. Integralkan untuk memperoleh fungsi $\Phi (y)$, substitusikan ke $u(x,y)$ telah ditemukan.
Contoh: Selesaikan PD $(x^2-y) \ dx - x \ dy=0$

Solusi: Diketahui $M(x,y)=x^2-y$ dan $N(x,y)=-x$ maka $\frac{\partial M }{\partial y}=-1$ dan $\frac{\partial N }{\partial x}=-1$. Karena $M_y=N_x $ maka PD tersebut adalah PD eksak.

Karena $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ maka 
$\begin{align} u(x,y) &= \int_x M(x,y) \ dx  \\  &= \int_x x^2-y \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3-xy+ \Phi (y) \end{align}$.

Oleh karena itu, $\frac{\partial u}{\partial y}  =  -x + \Phi '(y) = N(x,y)$.

Karena $N(x,y)=-x$  dan berdasarkan kesamaan di atas maka $\Phi '(y)=0$. Akibatnya, $\Phi (y)=c$. 

Sehingga $u(x,y)= \frac{1}{3}x^3-xy+c=k$. Jadi, diperoleh solusi umum $\frac{x^3}{3} - xy=C $

PD dengan M(x,y) dan N(x,y) Linier tetapi Tidak Homogen

Pandang PD 
Kita selesaikan dengan cara mengubah ke bentuk PD yang dapat dipisahkan.

1) Kasus $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}= \alpha $

Gunakan transformasi $px+qy+r =u $ sehingga $ax+by+c= \alpha u $. Dengan ini, bentuk akan tereduksi menjadi PD dengan variabel terpisah kemudian selesaikan.

2) Kasus $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}$ atau $px+qy=k (ax+by)$; $k \in R $

Misalkan $ax+by=u $ maka $px+qy=ku $ dengan $dy =\frac{du-a \ dx}{b} $, substitusikan ke PD awal untuk memperoleh PD terpisahkan dalam x dan u.

3) Kasus $\frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $ atau $px+q \neq k (ax+by) $

Gunakan transformasi:
$ax+by+c=u $ $\Rightarrow$ $ a \ dx+ b \ dy=du $
$px+qy+r=v $ $\Rightarrow$ $ p \ dx+ q \ dy=du $

Dari dua persamaan ini diperoleh:
$dx = \frac{q \ du - b \ dv}{aq-bp} $
$dy = \frac{a \ dv - p \ du}{aq-bp} $

Karena $aq-bp \neq 0$ maka bentuk PD menjadi PD homogen, yaitu $(qu-pv)du+(av-bu)dv=0$.
Selesaikan dan ganti $u $ dan $v $ kembali.

Contoh Soal: Selesaikanlah PD berikut ini!

$3x-6y=3 (x-2y) $
Misal $u=x-2y $ dengan $dy = \frac{dx-du}{2}$
$\begin{align} (x-2y+9)dx - (3 (x-2y)+19)dy &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u+19) \frac{dx-du}{2} &=0 \\ \Leftrightarrow (u+9)dx-(3u \frac{dx}{2} - 3u \frac{du}{2}+19 \frac{dx}{2} - 19 \frac{du}{2}) &=0 \\ \Leftrightarrow (\frac{2u-3u}{2} dx + \frac{18-19}{2} dx + \frac{3u}{2} du +\frac{19}{2} du &=0 \\ \Leftrightarrow -u \ dx - 1 \ dx + 3u \ du + 19 \ du &=0 \\ \Leftrightarrow (-u-1)dx+ (3u+19)du &=0  \end{align} $

$\begin{align} dx &= \frac{3u+19}{u+1} du  \\ \Leftrightarrow \int dx &= \int \frac{3u+19}{u+1} du  \\ \Leftrightarrow x &= \int  3+ \frac{16}{u+1} du  \\ \Leftrightarrow x &= 3u+16 \ln |u+1|+k \\ \Leftrightarrow x &= 3 (x-2y)+16 \ln |x-2y+1|+k \end{align} $

Web Tanya Jawab Soal Matematika Ku Bisa

Web Tanya Jawab Soal Matematika Ku Bisa
Seiring perkembangan zaman, manusia selalu memikirkan bagaimana cara memecahkan suatu masalah. Masalah tersebut menyangkut aktivitas yang dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, membuat teknologi untuk mempercepat dan meringankan kerja manusia.

Matematika merupakan matapelajaran yang sulit. Dari 30 siswa di kelas, hanya terdapat beberapa saja yang bisa mengerjakan soal matematika yang diberikan setelah pembelajaran berakhir. Ini berarti bahwa mengerjakan soal matematika itu merupakan masalah bagi siswa yang kurang bisa dengan matematika. Berikut adalah riset kata kunci populer menggunakan Keyword Tool tentang tanya jawab soal matematika.

Kesulitan mengerjakan soal matematika, menyebabkan munculnya ide membuat aplikasi android atau website, membuat fanspage dan grup di facebook, grup WA, dll yang mendiskusikan soal-soal matematika. Sebagai contoh, website tanya jawab yang populer adalah Di grup facebook juga banyak yang mendiskusikan soal-soal matematika dari matematika sekolah, olimpiade, hingga universitas.

Admin memiliki fanspage Matematika Ku Bisa, yang sudah memiliki 2000+ liker. Di fanspage itu, tak jarang ada soal yang dikirim atau ada yang mengirim soal lewat japri (inbox). Untuk itu, admin berinisiatif untuk membuat website yang secara khusus diperuntukkan untuk memposting soal dan jawaban yang dikirimkan kepada admin baik kirimannya bersifat publik atau privat (antara pengirim dan admin saja). 👇

F-MATH adalah website yang admin buat khusus sebagai Web Tanya Jawab Soal Matematika. Setiap orang bisa mengirimkan soal. Tetapi, untuk menjawab soal yang ada, seseorang harus login terlebih dahulu. Dalam pengiriman soal dan jawaban, seseorang bisa menggunakan kode latex. Selain itu, seseorang bisa memilih apakah soal yang dikirimkan itu bersifat publik atau privat.

F-Math merupakan website yang masih dalam tahap pembuatan, sudah ada beberapa artikel yang dikirim ke halaman blog dari website itu. Para pengunjung bisa membaca tulisan-tulisan pada halaman Blog-F-Math yang bisa bermanfaat bagi para pengunjung. Selain itu, insya Allah jika websitenya ramai pengunjung akan ada Kuis-Kuis Matematika berhadiah dan kedepannya bisa dijadikan sebagai media pembelajaran online.

Persamaan Diferensial Reduksi Terpisahkan (PD Homogen)

Persamaan Diferensial Reduksi Terpisahkan (PD Homogen)
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari persamaan diferensial tingkat 1 dengan variabel terpisah yang dapat diselesaikan dengan metode integrasi secara langsung. Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari secara khusus keberadaan suatu persamaan diferensial yang variabelnya dapat dipisahkan. Persamaan tersebut disebut persamaan diferensial homogen.

Suatu fungsi F(x,y) adalah fungsi homogen berderajat n dalam x dan y jika $F( \lambda x, \lambda y)= \lambda ^n F(x,y)$. Jika diberikan PD dengan $M(x,y) \ dx + N(x,y) \ dy=0 \\ \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} $ disebut PD dengan koefisien homogen jika M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama, katakan n.
Karena PD homogen maka:
$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \frac{M(x,y)}{N(x,y)} \\ &= - \frac{(\frac{1}{x})^nM(\frac{1}{x}.x, \frac{y}{x})}{(\frac{1}{x})^nN(\frac{1}{x}.x, \frac{y} {x})} \\ &= - \frac{x^{-n}M(1, \frac{y}{x})}{x^{-n}N(1, \frac{y}{x})} \\ &= \frac{M(1, \frac{y}{x})}{N(1, \frac{y}{x})} \\ \frac{dy}{dx} &= f(\frac{y}{x}) \end{align} $
sehingga digunakan transformasi $y=ux$ atau jika $\frac{dy}{dx} = - \frac{y^n}{y^n} \frac{M( \frac{x}{y}, 1)}{N(\frac{x}{y},1)} $ digunakan transformasi $x=vy $.

Contoh soal:
Selesaikan $2x \ dy - 2y \ dx = \sqrt{x^2+4y^2} \ dx $

Kita ubah bentuknya menjadi $M \ dx + N \ dy=0$, hasilnya sebagai berikut.
$(\sqrt{x^2+4y^2} + 2y) \ dx - 2x \ dy=0$

Maka diketahui:
$M = \sqrt{x^2+4y^2} + 2y$ dan $N= -2x $

Kita periksa apakah homogen.
(Diberikan kepada pembaca untuk menunjukannya)

Karena PD homogen, gunakan transformasi $y=ux $ atau $x=vy $. Misal gunakan $y=ux $ dimana $\frac{dy}{dx} = x \ du+ u \ dx $

Maka hasil transformasinya menjadi persamaan berikut ini.

$ \frac{1}{x} \ dx - \frac{2}{\sqrt{1+4u^2}} \ du=0$

Dengan mengintegralkan diperoleh:

$1+4kux -k^2x^2=0$ (k bilangan konstan)

Kita ganti u dengan $ \frac{y}{x} $. Jadi, solusi umumnya adalah $1+4ky - k^2x^2=0$

Persamaan Diferensial Metode Integrasi

Persamaan Diferensial Metode Integrasi
Kita telah membahas materi-materi PD Linier Tingkat satu, baik yang bentuknya umum maupun yang bentuknya khusus. Bentuk khususnya yaitu PD Bernouli dan PD Riccati. Pada kesempatan ini, kita akan membahas suatu metode yang disebut Metode Integrasi dalam menyelesaikan PD Tingkat 1, baik yang linier ataupun yang non linier.

Apa sih yang dimaksud dengan metode integrasi, jika dilihat dari kata "integrasi" maka ini berarti menggunakan integral. Benar nggk tuh? Kalau kita pikir-pikir, bukannya semua proses penyelesaian persamaan diferensial pasti melibatkan integrasi? Maka Kita perlu memahami maksud dari "metode integrasi" ini.

Metode integrasi dapat dilakukan apabila bentuk PDnya merupakan PD yang variabel bebas dan terikatnya terpisahkan. Maksud dari terpisahkan ini adalah masing-masing variabel tidak bersama pada suatu suku dalam persamaan tersebut misalnya satu variabelnya berada di satu ruas (misalnya ruas kiri) sedangkan variabel yang lainnya berada di ruas yang lain (berarti di ruas kanan) atau sama-sama di ruas yang sama tetapi dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang. Faham, kan? Namun, tidak semua PD tingkat satu dapat terpisahkan. (Jadi ada PD yang variabel x dan y itu gak bisa dipisahkan, kayak dia dan kamu, iya kamu, cie..!)

Kita dapat memanipulasi secara aljabar suatu PD yang variabelnya dapat dipisahkan, menjadi bentuk:
g(y) dy = f(x) dx
sehingga diperoleh solusi umum:
$ \int g (y) dy = \int f (x) dx$
Ada juga bentuk lain yang lebih umum:
$f_1 (x)g_1 (y) \ dx= f_2 (x)g_2 (y) \ dy=0$
$M (x,y) \ dx + N (x,y)\ dy =0$
dapat dibentuk menjadi persamaan difernsial dengan variabel terpisah dengan menggunakan faktor integrasi:
$\frac{1}{g_1 (y)f_2 (x)} $
Sehingga dihasilkan:
$\begin{align} \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \frac{g_2(y)}{g_1(y)} \ dy &= 0 \\ \Leftrightarrow \int \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \int \frac{g_2 (y)}{g_1 (y)} \ dy &=0 \end{align} $

Selesaikan $xy \ dx + (1+x^2) \ dy = 0$ dengan metode integrasi!

Solusi: Faktor integrasinya adalah $\frac{1}{y (1+x^2)}$
Sehingga, $\begin{align} & \frac{1}{y(1+x^2)}[xy \ dx+(1+x^2) \ dy] =0 \\ & \leftrightarrow \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \frac{1}{y} \ dy=0 \\ & \leftrightarrow \int \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \int \frac{1}{y} \ dy=k \\ \frac{1}{2} ln|1+x^2|+ln|y|=C \\ & \leftrightarrow ln (1+x^2)^{\frac{1}{2}}y = ln \ e^c \\ & \leftrightarrow \sqrt{1+x^2} y = e^c \end{align} $

Jadi, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah $y = \frac{e^c}{\sqrt{1+x^2}} $
math websites for elementary students online math tutor i need help with my math homework math tutor elementary math websites cool math i need to solve a math problem interactive math websites for elementary students math websites for all grades math games online for adults best math help websites math games com go math login math tutor website top math websites for elementary students online math sites for elementary coolmath3 cool math games puzzles and more cool math website think through math coolmath com https cool math help math program online math software cpm math mths website all levels of math
Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design