Belajar Matematika Online

Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas


Melanjutkan tulisan sebelumnya Pengantar Persamaan Diferensial. Kita akan membahas pada kesempatan ini, Masalah Syarat Awal dan Syarat Batas.

Misalkan diberikan PD: $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ dengan $a_2(x)$, $a_1(x)$, $a_0(x)$ dinamakan koefisien-koefisien dapat sebagai fungsi dari x atau konstanta; dan r(x) merupakan fungsi kontinu pada $a \le x \le b $ dengan $a_2 \neq 0$. Jika PD tersebut mempunyai syarat awal:
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
Maka bentuk
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (x_0)=y_0$ dan $y'(x_0)=y_1$
disebut sebagai Masalah Syarat Awal.

Search "Fungsi Kontinu".

Jika PD dilengkapi dengan kondisi di ujung-ujung pada interval $a \le x \le b $, misalkan y(a)=A dan y(b)=B maka disebut sebagai Masalah Syarat Batas yang disajikan dalam bentuk:
$a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$
$y (a)=A$ dan $y(b)=B$

Dalam pemodelan fenomena perubahan di dunia nyata, syarat awal ini sering dikaitkan dengan variabel waktu sedangkan syatat batas sering dikaitkan dengan variabel posisi. Jika melibatkan keduanya, model matematikanya berbentuk persamaan diferensial.

Masalah syarat awal selalu mempunyai solusi dan solusi ini pasti tunggal seperti yang dijamin oleh teorema eksistensi dan ketunggalan solusi masalah syatat awal. Adapun untuk masalah syarat batas mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak ada solusi.

Misalnya $y_1(x) $ dan $y_2 (x) $ merupakan dua solusi yang bebas linier dari persamaan $a_2(x)y"+a_1(x)y'+a_0(x)y=r(x)$ seperti $y_p $ merupakan solusi khususnya maka solusi umumnya berbentuk $y_p (x)=C_1y_1 (x)+C_2 y_2 (x)+y_p (x) $.

Dengan menggunakan sistem batasnya, maka:
$y (a)=C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a) \\  <=> C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)+y_p (a)=A $
$y (b)=C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b) \\ <=> C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)+y_p (b)=B $

Dari sini,
$C_1y_1 (a)+C_2 y_2 (a)=A-y_p (a)$
$C_1y_1 (b)+C_2 y_2 (b)=B-y_p (b)$

Kedua persamaan di atas membentuk sistem persamaan linier nonhomogen dalam $C_1$ dan $C_2$ yang mempunyai tiga kemungkinan solusi yaitu solusi tunggal, solusi banyak, atau tidak punya solusi.

Baca selanjutnya Pengertian Persamaan Diferensial Biasa, Linier, dan Tak Linier

Search for "Differential Equation"
"Cari Artikel/Blog Admin Matematika Lainnya"
Perhatian: Mau pasang iklan disini? Chat Via WA 082349165919
MY IKLAN
Buku Metode Berhitung Alif
Pesan Di Sini
atau lihat dan dapatkan ebooknya di Google Play Book

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design
Kirim Pesan atau Soal
×
_

Hai, Kamu bisa kirim pesan atau PR Matematikamu ke Admin, di sini! Jangan lupa like halaman admin ya, terima kasih!