Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan Diferensial Eksak - Masih pada pembahasan Persamaan Diferensial Orde 1.

Jika diberikan persamaan diferensial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.

Persamaan diferensial tersebut dikatakan eksak jika ruas kiri merupakan diferensial total yaitu:

$$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy $$

dari suatu fungsi $u(x,y) $ sehingga $du=0$ yang mempunyai penyelesaian $u (x,y)=k $ dengan $k $ suatu konstanta.

Untuk mengetahui keeksakan suatu persamaan diferensial order 1 diberikan teorema berikut.

Teorema Persamaan Diferensial Eksak

Jika $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan  $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y}$ kontinu, maka persamaan diferensial M(x,y) dx+N(x,y) dy=0 adalah eksak jika hanya jika $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $ atau $M_y=N_x $.

Bukti:

Jika persamaan diferensial eksak maka terdapat suatu fungsi diferensial $u (x,y) $ sedemikian sehingga $du=0$.

Dipunyai $M (x,y)= \frac{\partial u}{\partial x}$ dan $N (x,y)= \frac{\partial u}{\partial y} $ sebagai syarat keeksakan.

Sebagai tambahan, jika M dan N terdiferensial maka $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ dengan derivatif parsial campuran dari $u$ ada dan kontinu.

Karena itu, $\frac{\partial M}{\partial y} $ dan $\frac{\partial N}{\partial x} $ ada, kontinu, dan sama.

Untuk membuktikan kebalikan teorema, diasumsikan bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Karena itu terdapat fungsi $u$ sehingga:

$\frac{\partial u}{\partial x}=M $ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N

Cara Menyelesaikan Persamaan Diferensial Eksak

Solusi persamaan diferensial eksak sama dengan menemukan $u(x,y)=c$ dari $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ dan $\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)$ sbb.

1. $u(x,y)= \int_x M(x,y) \ dx + \Phi (y)$; $\Phi (y)$ fungsi sembarang dari y.
2. $\frac{\partial u}{\partial y}  = \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx) + \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N (x,y) $
3. $\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y) - \frac{\partial }{\partial y} ( \int_x M(x,y) \ dx)$
4. Integralkan untuk memperoleh fungsi $\Phi (y)$, substitusikan ke $u(x,y)$ telah ditemukan.

Contoh Persamaan Diferensial:

Selesaikan persamaan diferensial $(x^2-y) \ dx - x \ dy=0$

Solusi:

Diketahui $M(x,y)=x^2-y$ dan $N(x,y)=-x$ maka $\frac{\partial M }{\partial y}=-1$ dan $\frac{\partial N }{\partial x}=-1$.

Karena $M_y=N_x $ maka persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial eksak.

Karena $\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)$ maka

$\begin{align} u(x,y) &= \int_x M(x,y) \ dx  \\  &= \int_x x^2-y \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3-xy+ \Phi (y) \end{align}$.

Oleh karena itu, $\frac{\partial u}{\partial y}  =  -x + \Phi '(y) = N(x,y)$.

Karena $N(x,y)=-x$  dan berdasarkan kesamaan di atas maka $\Phi '(y)=0$.

Akibatnya, $\Phi (y)=c$.

Sehingga $u(x,y)= \frac{1}{3}x^3-xy+c=k$.

Jadi, diperoleh solusi umum $\frac{x^3}{3} - xy=C $

Demikian tentang Persamaan Diferensial Eksak, semoga bermanfaat.