Persamaan Diferensial Clairaut

Persamaan Diferensial Clairaut merupakan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan bentuk umum: $y=px+f (p) $ dimana $p=dy/dx $. Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap x maka diperoleh:
$dy/dx = p + x \frac{dp}{dx}+f'(p) \frac{dp}{dx}$$ atau $$(x+f'(p)) \frac{dp}{dx}=0$
Persamaan tersebut dipenuhi jika $\frac{dp}{dx}=0$ atau $x+f(p)=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$ maka diperoleh $p=k$. Eliminasi p dari bentuk umum, maka diperoleh penyelesaian umum:
$y=kx+f(k)$
Persamaan-persamaan ini merupakan kumpulan garis-garis lurus. Selanjutnya eliminasi p dari: $x+f(p)=0$ dan $y=px+f(p)$ maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh Soal: Selesaikan $y=px+p^2$

Penyelesaian: $y=px+p^2$ diturunkan terhadap x diperoleh $dy/dx = p+x \frac{dp}{dx}+2p \frac{dp}{dx}$ atau $(x+2p)\frac{dp}{dx}=0$. Persamaan terakhir ini dipenuhi jika $(x+2p)=0$ atau $\frac{dp}{dx}=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$, diperoleh p=k. Dengan mengeliminasi p dari persamaan awal dengan menggunakan p=k maka diperoleh penyelesaian umum $y=kx+k^2$.

Dari $x+2p=0$, diperoleh $p=- \frac{x}{2}$. Selanjutnya dari $p=- \frac{x}{2}$, eliminasi p dari persamaan awal maka diperoleh penyelesaian singular $$\begin{align} y &= - \frac{x}{2}. x + (- \frac{x}{2})^2 \\ &= - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} \\ &= - \frac{x^2}{4} \end{align} $$
Plot $y=- \frac{x^2}{4}$ untuk x=-2 ke x=2

0 Response to "Persamaan Diferensial Clairaut"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA?  Ayo Belajar Matematika dari dasar! Baca Ebook Belajar Matematika dari Dasar.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Mau jual Ebook di Google Play, tapi belum punya akun mitra google book? Baca Cara Daftar Mitra Google Buku yang Sementara Ditutup: Saya Berkali-kali Diterima Lho