Belajar Matematika Online

Persamaan Diferensial Clairaut

Persamaan Diferensial Clairaut merupakan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan bentuk umum: $y=px+f (p) $ dimana $p=dy/dx $. Jika persamaan tersebut diturunkan terhadap x maka diperoleh:
$dy/dx = p + x \frac{dp}{dx}+f'(p) \frac{dp}{dx}$$ atau $$(x+f'(p)) \frac{dp}{dx}=0$
Persamaan tersebut dipenuhi jika $\frac{dp}{dx}=0$ atau $x+f(p)=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$ maka diperoleh $p=k$. Eliminasi p dari bentuk umum, maka diperoleh penyelesaian umum:
$y=kx+f(k)$
Persamaan-persamaan ini merupakan kumpulan garis-garis lurus. Selanjutnya eliminasi p dari: $x+f(p)=0$ dan $y=px+f(p)$ maka diperoleh penyelesaian umum singular.

Contoh Soal: Selesaikan $y=px+p^2$

Penyelesaian: $y=px+p^2$ diturunkan terhadap x diperoleh $dy/dx = p+x \frac{dp}{dx}+2p \frac{dp}{dx}$ atau $(x+2p)\frac{dp}{dx}=0$. Persamaan terakhir ini dipenuhi jika $(x+2p)=0$ atau $\frac{dp}{dx}=0$.

Dari $\frac{dp}{dx}=0$, diperoleh p=k. Dengan mengeliminasi p dari persamaan awal dengan menggunakan p=k maka diperoleh penyelesaian umum $y=kx+k^2$.

Dari $x+2p=0$, diperoleh $p=- \frac{x}{2}$. Selanjutnya dari $p=- \frac{x}{2}$, eliminasi p dari persamaan awal maka diperoleh penyelesaian singular $$\begin{align} y &= - \frac{x}{2}. x + (- \frac{x}{2})^2 \\ &= - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} \\ &= - \frac{x^2}{4} \end{align} $$
Plot $y=- \frac{x^2}{4}$ untuk x=-2 ke x=2

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design