Kemonotonan Grafik Fungsi

Kemonotonan grafik fungsi merupakan materi yang dibahas pada turunan dan aplikasi turunan. Untuk memahami materi ini, Anda harus mempelajari materi turunan fungsi.

#1. Konsep Kemonotonan Fungsi

1. Jika f’(x)>0 dimana-mana, maka f  adalah naik dimana-mana dan jika f’(x)<0 dimana-mana, maka f adalah turun dimana-mana.

2. Jika f”(x)>0 atau f”(x)<0 pada selang buka I, maka f cekung keatas atau f cekung ke bawah pada I.

3. Titik balik adalah sebuah titik pada grafik suatu fungsi kontinu tempat kecekungan berubah arah.

4. Dalam mencoba melokasikan titik-titik balik  untuk grafik suatu fungsi f, kita seharusnya mencari bilangan c, baik yang f”(c)=0 atau f”(c) tidak ada.

Gambar menununjukkan bahwa jika f' naik (f">0) maka f cekung ke atas dan jika f'turun (f"<0) maka f cekung ke bawah.

#2. Turunan Pertama dan Kemonotonan

Definisi: Andaikan f terdefinisi pada selang I (buka, tutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

1. f naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam I,  jika $x_1<x_2$   maka   $f(x_1)<f(x_2)$

2. f turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam I,  jika $x_1<x_2$    maka   $ f(x_1)>f(x_2)$

3. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

#3. Teorema A (Teorema Kemonotonan)

Andaikan f kontinu pada selang I dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari I.

1. Jika f’(x)>0 untuk semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

2. Jika f’(x)<0 untuk semua x titik-dalam I, maka f turun pada I.

Gambar menunjukkan bahwa grafik fungsi adalah naik apabila f'(x)>0 (gradien garis singgungnya positif pada interval) dan grafik fungsi adalah turun apabila f'(x)<0 (gradien garis singgungnya negatif pada interval).

#4. Cara Menentukan Fungsi Naik dan Fungsi Turun

1. Menentukan turunan pertama suatu fungsi f.
2. Menentukan dimana f’(x)>0 dan juga f’(x)<0 pada suatu selang yang diperoleh dari titik-titik pemisahnya.
3. Menguji titik-titik pada suatu selang sehingga kita dapat menemukan dimana f’(x)>0 dan dimana f’(x)<0.

Contoh: Jika f(x)=2x³+3x²-12x+7, cari dimana f naik dan dimana f turun.

Penyelesaian: f’(x)=6x²-6x-12=6(x+1)(x-2)

Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2, titik-titik ini membagi sumbu-x atas tiga selang yaitu: (-∞,-1), (-1,2) dan (2,∞).

Dengan menggunakan titik-titik uji -2, 0, dan 3, kita simpulkan bahwa f’(x)>0 pada yang pertama dan terakhir dari selang-selang ini dan bahwa f’(x)<0 pada selang tengah.

Jadi menurut teorema A, f naik pada (-∞,-1) dan [2,∞]; turun pada [-1,2].

Demikian Kemonotonan grafik fungsi, semoga bermanfaat.

Buka juga Kemonotonan Fungsi Trigonometri.