Belajar Matematika Online

Kemonotonan Grafik Fungsi

Kemonotonan grafik fungsi merupakan materi yang dibahas pada turunan dan aplikasi turunan. Untuk memahami materi ini, Anda harus mempelajari materi turunan fungsi.

a. Konsep

1. Jika f’(x)>0 dimana-mana, maka f  adalah naik dimana-mana dan jika f’(x)<0 dimana-mana, maka f adalah turun dimana-mana.

2. Jika f”(x)>0 atau f”(x)<0 pada selang buka I, maka f cekung keatas atau f cekung ke bawah pada I.

3.Titik balik adalah sebuah titik pada grafik suatu fungsi kontinu tempat kecekungan berubah arah.

4. Dalam mencoba melokasikan titik-titik balik  untuk grafik suatu fungsi f, kita seharusnya mencari bilangan c, baik yang f”(c)=0 atau f”(c) tidak ada.

Gambar menununjukkan bahwa jika f' naik (f">0) maka f cekung ke atas dan jika f'turun (f"<0) maka f cekung ke bawah

b. Turunan pertama & kemonotonan

Definisi: Andaikan f terdefinisi pada selang I (buka, tutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

1. f naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam I,  jika $x_1<x_2$   maka   $f(x_1)<f(x_2)$

2. f turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam I,  jika $x_1<x_2$    maka   $ f(x_1)>f(x_2)$

3. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Gambar Sketsa Fungsi Naik dan Fungsi Turun

c. Teorema A (Teorema Kemonotonan)

Andaikan f kontinu pada selang f dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari I.

1.Jika f’(x)>0 untuk semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

2.Jika f’(x)<0 untuk semua x titik-dalam I, maka f turun pada I.

Gambar menunjukkan bahwa grafik fungsi adalah naik apabila f'(x)>0 (gradien garis singgungnya positif pada interval) dan grafik fungsi adalah turun apabila f'(x)<0 (gradien garis singgungnya negatif pada interval)

d. Cara menentukan fungsi naik dan fungsi turun

1. Menentukan turunan pertama suatu fungsi f
2. Menentukan dimana f’(x)>0 dan juga f’(x)<0 pada suatu selang yang diperoleh dari titik-titik pemisahnya.
3. Menguji titik-titik pada suatu selang sehingga kita dapat menemukan dimana f’(x)>0 dan dimana f’(x)<0.

Contoh: Jika f(x)=2x3+3x2-12x+7, cari dimana f naik dan dimana f turun.

Penyelesaian:

f’(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)

titik-titik pemisah adalah -1 dan 2, titik-titik ini membagi sumbu-x atas tiga selang yaitu: (-∞,-1), (-1,2) dan (2,∞). Dengan menggunakan titik-titik uji -2, 0, dan 3, kita simpulkan bahwa f’(x)>0 pada yang pertama dan terakhir dari selang-selang ini dan bahwa f’(x)<0 pada selang tengah. Jadi menurut teorema A, f naik pada (-∞,-1) dan [2,∞]; turun pada [-1,2].

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design