Kemonotonan Fungsi Trigonometri

Kemonotonan Fungsi Trigonometri - Kita akan membahas bagaimana kemonotonan grafik fungsi trigonometri beserta cara menentukan selang kemonotonan dari suatu fungsi trigonometri yang diberikan.

Konsep Kemonotonan Fungsi

Definisi: Andaikan f terdefinisi pada selang I (buka, tutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

1. f naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam I,  jika $x_1<x_2$   maka   $f(x_1)<f(x_2)$

2. f turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam I,  jika $x_1<x_2$    maka   $ f(x_1)>f(x_2)$

3. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Teorema Kemonotonan

Andaikan f kontinu pada selang I dan terdeferensialkan pada setiap titik-dalam dari I.

1. Jika f’(x)>0 untuk semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

2. Jika f’(x)<0 untuk semua x titik-dalam I, maka f turun pada I.

Langkah-langkah Menentukan Selang Kemonotonan Fungsi Trigonometri

1. Tentukan titik stasioner interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi trigonometri. Menentukan titik stasioner yaitu menentukan nilai x pada selang I saat f’(x)=0.

2. Menentukan interval dengan mengunakan titik-titik stasioner.

4. Menggunakan titik uji untuk mengetahui nilai f'(x) pada setiap interval. Jika hasilnya bernilai positif maka fungsi f(x) naik pada interval tersebut daan ditandai dengan lambang positif (+). Jika hasilnya bernilai negatif maka fungsi f(x) turun pada interval tersebut dan tandai dengan tanda negatif (-).

Kemonotonan Fungsi Trigonometri

Tentukan selang kemonotonan fungsi sin (x) untuk x$\ge 0$

Jawab:

Diketahui f(x)=sin(x)

Turunan dari f(x) yaitu cos(x)

Nilai sudut trigonometri yang menyebabkan cos(x)=0 adalah $\frac{\pi}{2}$.

Jadi, titik stasioner terjadi pada nilai cos(x)=cos($\frac{\pi}{2}$)

Penyelesaian untuk persamaan cos(x)=cos($\frac{\pi}{2}$) adalah:

• x=$\frac{\pi}{2}+k.2\pi$ untuk k bilangan bulat.
• x=$-\frac{\pi}{2}+k.2\pi$ untuk k bilangan bulat.

Bedasarkan hal tersebut, titik stasioner terjadi diantarnya pada $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, dan $\frac{7\pi}{2}$.

Karena sudah diketahui titik stasioner, kita dapat menentukan selang kemonotonan (x$\ge 0$), yaitu:

• (0, $\frac{\pi}{2}$)
• ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$)
• ($\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$)
• ($\frac{5\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{2}$)
• dst.

Sekarang, kita mengambil titik uji dalam setiap interval (diserahkan kepada pembaca) untuk menentukan nilai cos(x) apakah positif atau negatif.

• Jika positif, maka f(x)=sin(x) naik pada interval tersebut.
• Jika negatif, maka f(x)=sin(x) turun pada interval tersebut.

Hasilnya tampak pada gambar berikut.

Contoh Soal Selang Kemonotonan Fungsi Trigonometri

Fungsi $f(x)=8\sin (2x-\frac{\pi}{6})\sin (2x+\frac{\pi}{6})$ untuk $0 \le x \le \pi$ maka selang monoton naik adalah…

Penyelesaian:

Pertama-tama, cari turunan dari f(x) (diserahkan kepada pembaca) yaitu:

$f'(x)=16\sin 4x$

Kemudian cari titik stasioner, yaitu:

$16\sin 4x = 0$

$\Leftrightarrow \sin 4x = 0$

$\Leftrightarrow \sin 4x = \sin 0$

Selesaikan persamaan trigonometri tersebut, yaitu:

• $4x=0+k.2\pi \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}k\pi$ untuk k bilangan bulat.
• $4x=\pi+k.2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k.\frac{\pi}{2}$ untuk k bilangan bulat.

Nilai-nilai x ($0 \le x \le \pi$) yang memenuhi adalah $0$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, dan $\pi$

Berdasarkan titik stasioner, diperoleh interval berikut ini.

• ($0$, $\frac{\pi}{4}$)
• ($\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$)
• ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$)
• ($\frac{3\pi}{4}$, $\pi$)

Kita lakukan titik uji pada interval. Kita cukup uji saja untuk interval pertama karena hasil positif-negatifnya akan selang-seling.

Kita uji $x=\frac{\pi}{6}$ untuk interval ($0$, $\frac{\pi}{4}$) sebagai berikut.

$f'(x)=16\sin 4x$

$f'(\frac{\pi}{6})=16\sin 4(\frac{\pi}{6})$

$=16\sin (\frac{2\pi}{3})$

$=16(\frac{1}{2}\sqrt{3})$

$=8\sqrt{3}$

f(x) monoton naik apabila f'(x)>0, sehingga f(x) naik pada $0$, $\frac{\pi}{4}$).

Dengan demikian diperoleh selang kemonotonan berikut ini.

Jadi, selang monoton naik fungsi f(x) tersebut adalah ($0$, $\frac{\pi}{4}$) dan ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$).

Demikianlah Kemonotonan Fungsi Trigonometri, semoga bermanfaat.