Bukti Turunan Sin x = Cos X

Pada kesempatan ini, kita akan membuktikan bahwa turunan $\sin x $ adalah $\cos x $ dimana secara matematis dituliskan dengan:

• $(\sin x)' = \cos x $
• $\frac{dy}{dx} \sin x = \cos x$
• $D_x \sin x= \cos x $

Pembuktian ini mendasarkan pada definisi turunan dari suatu fungsi berikut ini.

Definisi: $f'(x) =\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h}$. Jika $f'(x)$ ada maka berarti $f(x)$ memiliki turunan di $x$.

Menurut definisi di atas, jika $f(x)= \sin x$ maka:

$\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ & =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin (x +h) - \sin x }{h} \\ & =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & =\lim_{h \rightarrow 0} (- \sin x . \frac{1- \cos h}{h} + \cos x . \frac{ \sin h}{h} ) \\ & =(- \sin x) [\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1- \cos h}{h}] + ( \cos x) [\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin h}{h}] \\ & =(- \sin x)(0) + ( \cos x)(1) \\ & = \cos x \end{align}$

Dimana diketahui (dianggap telah dibuktikan) bahwa:

• $ \sin (x +h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$
• $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1- \cos h}{h}=0$
• $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin h}{h}=1$

Karena $f'(x)= \cos x$ untuk $f(x)= \sin x $ maka kita telah membuktikan bahwa turunan dari $\sin x$ adalah $ \cos x$.

Bagaimana dengan turunan dari $\cos x $? Turunan dari $\cos x $ adalah $- \sin x $. Silahkan baca Bukti Turunan Cos x = -Sin x. Semoga bermanfaat.