Langkah Penyelesaian Soal Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang berbentuk:

$S(X)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

Untuk menyelesaikannya, berikut adalah langkah-langkahnya.
1. Sederhanakan bentuknya apabila pangkat $P(x)>Q(x)$ atau sama dengan. Caranya adalah melakukan pembagian menurun. Misalnya menghasilkan:
$S(x)=r(x) + \frac{t(x)}{Q(x)}$

2. Jika tidak bisa disederhanakan lagi atau telah disederhanakan. Selanjutnya faktorkan Q(x) menjadi $Q(x)=q_1.q_2.q_3 ... q_k$

3. Ubah fungsi rasional yang ada tersebut kedalam bentuk jumlahan-jumlahan pecahan.

Aturannya sbb:

=> Jika $q_i$ faktor dari Q(x) berbentuk:
a. $(ax+b)^n$ maka pecahannya $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} +...+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}$
b. $(ax^2+bx+c)^n$ (tidak dapat difaktorkan lagi) maka pecahannya:
$\frac{A_1x+B_1}{(ax^+bx+c)}+ \frac{A_2x+B_2}{(ax^+bx+c)^2}+...+ \frac{A_nx+B_n}{(ax^+bx+c)^n}$.

And Finally, integralkan menggunakan teknik integrasi yang sesuai.

Contoh Soal:
$\int \frac{1}{(x^3+x)} dx$.
Solved:
$x^3+x=x(x^2+1)$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
dengan:
$A(x^2+1) + (Bx+C)x=1$.
Untuk mencari A, B, dan C subsitusikan nilai x sebarang (untuk memudahkan ambil x yang merupakan faktor dari penyebut masing-masing).

x=0 maka A=1
x=1 maka 2A+B+C=1 <=> B+C=-1
x=-1 maka 2A+B-C=1 <=> B-C=-1

B+C=-1
B- c=-1
............... +
2B=-2
B=-1 dan C=0

Jadi dekomposisinya atau jumlahan pecahan-pecahannya (subsitusikan nilai A, B, dan C) adalah:
$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$
sehingga integralnya adalah
$\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$
$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{x}{x^2+1}dx$
$=ln |x| - \frac{1}{2} ln|x^2+1|$.

Latihan untuk Anda:
$\int \frac{1}{x^6-x2} dx$

0 Response to "Langkah Penyelesaian Soal Integral Fungsi Rasional"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA?  Ayo Belajar Matematika dari dasar! Baca Ebook Belajar Matematika dari Dasar.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Mau jual Ebook di Google Play, tapi belum punya akun mitra google book? Baca Cara Daftar Mitra Google Buku yang Sementara Ditutup: Saya Berkali-kali Diterima Lho