Langkah Penyelesaian Soal Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang berbentuk:

$S(X)=\frac{P(x)}{Q(x)}$
Untuk menyelesaikannya, berikut adalah langkah-langkahnya.
1. Sederhanakan bentuknya apabila pangkat $P(x)>Q(x)$ atau sama dengan. Caranya adalah melakukan pembagian menurun. Misalnya menghasilkan:
$S(x)=r(x) + \frac{t(x)}{Q(x)}$

2. Jika tidak bisa disederhanakan lagi atau telah disederhanakan. Selanjutnya faktorkan Q(x) menjadi $Q(x)=q_1.q_2.q_3 ... q_k$

3. Ubah fungsi rasional yang ada tersebut kedalam bentuk jumlahan-jumlahan pecahan.

Aturannya sbb:

=> Jika $q_i$ faktor dari Q(x) berbentuk:
a. $(ax+b)^n$ maka pecahannya $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} +...+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}$
b. $(ax^2+bx+c)^n$ (tidak dapat difaktorkan lagi) maka pecahannya:
$\frac{A_1x+B_1}{(ax^+bx+c)}+ \frac{A_2x+B_2}{(ax^+bx+c)^2}+...+ \frac{A_nx+B_n}{(ax^+bx+c)^n}$.

And Finally, integralkan menggunakan teknik integrasi yang sesuai.

Contoh Soal:
$\int \frac{1}{(x^3+x)} dx$.
Solved:
$x^3+x=x(x^2+1)$

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
dengan:
$A(x^2+1) + (Bx+C)x=1$.
Untuk mencari A, B, dan C subsitusikan nilai x sebarang (untuk memudahkan ambil x yang merupakan faktor dari penyebut masing-masing).

x=0 maka A=1
x=1 maka 2A+B+C=1 <=> B+C=-1
x=-1 maka 2A+B-C=1 <=> B-C=-1

B+C=-1
B- c=-1
............... +
2B=-2
B=-1 dan C=0

Jadi dekomposisinya atau jumlahan pecahan-pecahannya (subsitusikan nilai A, B, dan C) adalah:
$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$
sehingga integralnya adalah
$\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$
$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{x}{x^2+1}dx$
$=ln |x| - \frac{1}{2} ln|x^2+1|$.

Latihan untuk Anda:
$\int \frac{1}{x^6-x2} dx$