Persamaan Diophantine

Persamaan Diophantine adalah persamaan yang jawabannya harus dicari di himpunan bilangan bulat. Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat. Mudah diduga bahwa tidak semua persamaan ini mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat. Sebagai contoh $2x=5$, tidak mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.


1. Ujilah apakah persamaan $6x+51y=22$ mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.

Jawab: Jika persamaan mempunyai jawab, kita lihat bahwa 3 membagi 6 dan 51, maka 3 membagi ruas kiri, tetapi 3 tidak membagi ruas kanan. Jadi, tidak mungkin ada bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.

2. Ujilah apakah persamaan $56x+72y=40$ mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.

Jawab: Perhatikan bahwa kita dapat menyederhanakan persamaan yang diberikan, dengan membagi 8 sehingga diperoleh:
$7x+9y=5$ ... Pers. (1)

Karena FPB (7,9)=1, maka kita dapat mencari bilangan m, n sehingga
$7m+9n=1$ ... Pers. (2)

Ingat bahwa nilai m dan n dapat dicari dengan algoritma pembagian, yaitu
9 = 7×1 + 2
7 = 3×2 + 1
2 = 2×1
Jadi, 
$\begin{align} 1 &= 7-3×2 \\ &= 7-3(9-7×1) \\ &= 7 - 3×9 + 3×7 \\ &= 4×7 - 3×9 \end{align} $
sehingga diperoleh $m=4$ dan $n=-3$.

Untuk mencari jawab persamaan (1), kalikan persamaan (2) dengan 5 sehingga diperoleh $7(5m)+9(5n)=5$.

Jadi, $x_0 =5m=20$, $y_0=5n=-15$ merupakan salah satu jawaban persamaan (1).

Apakah ada jawaban lain? Jika $x'$ dan $y'$ jawaban lain, maka
$7x_0+9y_0=7x'+9y'$
$7 (x_0-x')=9 (y'-y_0) $

Persamaan ini mengatakan bahwa 7 membagi ruas kiri, maka ruas kanan juga harus habis dibagi 7. Katena FPB (7,9)=1 maka 7 membagi $y'-y_0$, akibatnya
$y'-y_0=7t $
dengan t bilangan bulat.

Selanjutnya, $7 (x_0-x')=9×7t $ atau $x_0-x'=9t $. Jadi persamaan mempunyai banyak jawab dengan bentuk
$x'=x_0-9t=20-9t $
$y'=y_0+7t=-15+7t $
dengan t sebarang bilangan bulat.

Cara ringkas: Misalkan diketahui $x_0$ dan $y_0$ adalah salah satu solusi dari persamaan $ax+by=c $ dan diketahui FPB(a, b)=d maka solusi lainnya adalah:
$x'=x_0 - \frac{b}{d}t $
$y'=y_0 + \frac{a}{d}t $
dengan t sebarang bilangan bulat.

Latihan 1: Perlihatkan bahwa $x^2-y^2=2002$ tidak mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.

Latihan 2: Carilah semua himp bilangan bulat yang memenuhi persamaan $x^2+y^2=z^2$.

Latihan 3: Perlihatkan bahwa persamaan $x^2+y^2+z^2=2xyz$ hanya mempunyai jawab nol di himpunan bilangan bulat.

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Persamaan Diophantine"

Post a comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Buku Belajar Matematika dari Dasar
Cara Pintar & Mudah Belajar Matematika untuk SMP, SMA, Mahasiswa, atau Umum.
https://buku.matematikakubisa.biz.id
Tumbler Termos Bisa Cek Suhu Air
Cocok untuk Minuman Kopi dan Teh. Bisa Custom Nama Anda.
https://tumbler.fradsyastore.web.id
PASANG IKLAN DI SINI
Cuma 50Rb/bulan, Iklan Anda Bisa Tayang ke 100 Orang Lebih dalam Sehari.
Url Iklan Anda

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Kaos Rumus Matematika
Jangan Ngaku Pencinta Matematika, Kalau Belum Punya Kaos Keren Ini!!!
https://cp.matematikakubisa.biz.id
Hoodie Kopi Glow In The Dark
JANGAN NGAKU sebagai Tukang Ngopi kalo belum punya hoodie sekeren ini ya!!! Hasil sablonnya bisa menyala dalam gelap.
https://hoodie.fradsyastore.web.id
PASANG IKLAN DI SINI
Cuma 40Rb/bulan, Iklan Anda Bisa Tayang ke 100 Orang Lebih dalam Sehari.
Url Iklan Anda
Buku Belajar Matematika dari Dasar
"Matematika merupakan pelajaran yang membutuhkan pemahaman konsep yang baik, berjenjang, saling berkaitan, dan berkelanjutan. ... [Read More]
https://buku.matematikakubisa.biz.id


Buku Belajar Matematika dari Dasar

Buku ini direkomendasikan untuk orang yang ingin pintar Matematika yang mengalami kesulitan belajar Matematika. Berisi rangkuman rumus Matematika SMP dan SMA, hingga materi pengantar Matematika Dasar di Perguruan Tinggi. Sangat direkomendasikan untuk Anda gunakan saat mengajar karena bukunya ringkas dan padat, sehingga mudah digunakan dan dibawa kemana-mana.

STOK TERBATAS. PESAN SEKARANG
Order Di Sini