Belajar Matematika Online

Persamaan Diophantine

Persamaan Diophantine adalah persamaan yang jawabannya harus dicari di himpunan bilangan bulat. Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat. Mudah diduga bahwa tidak semua persamaan ini mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat. Sebagai contoh $2x=5$, tidak mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.


1. Ujilah apakah persamaan $6x+51y=22$ mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.

Jawab: Jika persamaan mempunyai jawab, kita lihat bahwa 3 membagi 6 dan 51, maka 3 membagi ruas kiri, tetapi 3 tidak membagi ruas kanan. Jadi, tidak mungkin ada bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.

2. Ujilah apakah persamaan $56x+72y=40$ mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.

Jawab: Perhatikan bahwa kita dapat menyederhanakan persamaan yang diberikan, dengan membagi 8 sehingga diperoleh:
$7x+9y=5$ ... Pers. (1)

Karena FPB (7,9)=1, maka kita dapat mencari bilangan m, n sehingga
$7m+9n=1$ ... Pers. (2)

Ingat bahwa nilai m dan n dapat dicari dengan algoritma pembagian, yaitu
9 = 7×1 + 2
7 = 3×2 + 1
2 = 2×1
Jadi, 
$\begin{align} 1 &= 7-3×2 \\ &= 7-3(9-7×1) \\ &= 7 - 3×9 + 3×7 \\ &= 4×7 - 3×9 \end{align} $
sehingga diperoleh $m=4$ dan $n=-3$.

Untuk mencari jawab persamaan (1), kalikan persamaan (2) dengan 5 sehingga diperoleh $7(5m)+9(5n)=5$.

Jadi, $x_0 =5m=20$, $y_0=5n=-15$ merupakan salah satu jawaban persamaan (1).

Apakah ada jawaban lain? Jika $x'$ dan $y'$ jawaban lain, maka
$7x_0+9y_0=7x'+9y'$
$7 (x_0-x')=9 (y'-y_0) $

Persamaan ini mengatakan bahwa 7 membagi ruas kiri, maka ruas kanan juga harus habis dibagi 7. Katena FPB (7,9)=1 maka 7 membagi $y'-y_0$, akibatnya
$y'-y_0=7t $
dengan t bilangan bulat.

Selanjutnya, $7 (x_0-x')=9×7t $ atau $x_0-x'=9t $. Jadi persamaan mempunyai banyak jawab dengan bentuk
$x'=x_0-9t=20-9t $
$y'=y_0+7t=-15+7t $
dengan t sebarang bilangan bulat.

Cara ringkas: Misalkan diketahui $x_0$ dan $y_0$ adalah salah satu solusi dari persamaan $ax+by=c $ dan diketahui FPB(a, b)=d maka solusi lainnya adalah:
$x'=x_0 - \frac{b}{d}t $
$y'=y_0 + \frac{a}{d}t $
dengan t sebarang bilangan bulat.

Latihan 1: Perlihatkan bahwa $x^2-y^2=2002$ tidak mempunyai jawab di himpunan bilangan bulat.

Latihan 2: Carilah semua himp bilangan bulat yang memenuhi persamaan $x^2+y^2=z^2$.

Latihan 3: Perlihatkan bahwa persamaan $x^2+y^2+z^2=2xyz$ hanya mempunyai jawab nol di himpunan bilangan bulat.

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design