Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang

Daftar Isi:
1. Koordinat Cartesius
2. Rumus Jarak
3. Persamaan Lingkaran
4 .Rumus Titik Tengah    


1. Koordinat Cartesius
Koordinat cartesius adalah perpotongan anatara dua garis real mendatar (sumbu-x) dan garis real tegak (sumbu-y) pada titik asal O(0,0) yang perpotongan tersebut membagi empat daerah yang disebut kuadran-kuadran yang diberi label I, II, III, dan IV. 

Misalkan pada sebuah titik P pada bidang yang dinyatakan dengan sepasang bilangan terurut, itu dinamakan koordinat-kordinat kaetesiusnya. P(3,5), dimana 3 adalah koordinat-x (absis) dan 5 adalah koordinat-y (ordinat).

2. Rumus Jarak
Bagaimana menghitung jarak antara dua titik pada bidang? Misalkan kita ingin mencari jarak antara titik A dan B dengan $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$. Dari gambar diketahui bahwa panjang AB' adalah $|x_2-x_1|$ dan panjang BB' adalah $|y_2-y_1|$ maka untuk menghitung jarak antara A dan B kita gunakan rumus Teorema Phythagoras yaitu:
 $d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Contoh: Carilah jarak antara P(-2,3) dan Q(4,-1)!

Solusi:
$d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{(4-(-2))^2+(-1-3)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{(6)^2+(-4)^2}$
$d(P,Q)=\sqrt{36+16}$
$d(P,Q)=\sqrt{52}$

3. Persamaan Lingkaran
a. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang terletak pada suatu jarak tetap (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat).

b. Persamaan Lingkaran
Secara lebih umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (a,b) mempunyai persamaan: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 

Persamaan baku lingkaran tersebut diperoleh dari sebuah rumus jarak. Misalkan S(a,b) dan P(x,y) maka:

$d(S,P)=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
$r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
$r^2=(x-a)^2+(y-b)^2$

Contoh: Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 5 dan pusat (1,-5)!

Solusi:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$(x-1)^2+(y-(-5))^2=5^2$
$(x-1)^2+(y+5)^2=25$

Pertanyaan: Apakah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ juga merupakan bentuk persamaan lingkaran?

Solusi:
$x^2+y^2+Ax+By+C=0$
 $(x^2+Ax)+(y^2+By)+C=0$
 $(x^2+Ax+(\frac{A}{2})^2)+(y^2+By+(\frac{B}{2})^2+C=(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2$
$(x+\frac{A}{2})^2+(y+\frac{B}{2})^2=(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C$

Bentuk terakhir ini disebut sebagai bentuk baku persamaan lingkaran (terbukti) dengan pusat $(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})$ dengan jari-jari $r=\sqrt{(\frac{A}{2})^2+(\frac{B}{2})^2-C}$

Contoh: Perlihatkan bahwa persamaan $x^2-2x+y^2+6y=-6$ menyatakan sebuah lingkaran dan tentukan pusat dan jari-jarinya!

Solusi:
$(x^2-2x)+(y^2+6y)=-6$
 $(x^2-2x+(\frac{-2}{2})^2)+(y^2+6y+(\frac{6}{2})^2=-6+(\frac{-2}{2})^2+(\frac{6}{2})^2$
$(x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=-6+1+9$
$(x-1)^2+(y+3)^2=4$
Jadi pusat $(1,-3)$ dan jari-jari=$\sqrt{4}=2$

4. Rumus Titik Tengah
Tinjau dua titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ dengan $x_1 < x_2$, perhatikan bahwa:
$x_1+\frac{1}{2}(x_2-x_1)=x_1+\frac{1}{2}X_2-\frac{1}{2}x_1$
$=\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}X_2$
$=\frac{x_1+x_2}{2}$

Kesimpulan: Titik tengah potongan garis $A(x_1,y_1)$ ke $B(x_2,y_2)$ mempunyai koordinat $P(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$


Contoh: Tentukan titik tengah antara (1,3) dan (7,11)!


Solusi:
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
$(\frac{1+7}{2},\frac{3+11}{2})$
$(\frac{8}{2},\frac{14}{2})$
$(4,7)$

Referensi: Kalkulus I Purcel

0 Response to "Sistem Koordinat 4 (Empat) Bidang"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel


PESAN DI SINI
Mau gabung Grup WA Matematika Ku Bisa? Join Di Sini!