Membuktikan Identitas Trigonometri

Tahuka Anda identitas trigonometri? Identitas dalam matematika adalah pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel yang ditunjuk sedangkan trigonometri merupakan bidang matematika khusus yang mempelajari sinus, kosinus, dan tangen. Dalam pembahasan ini, kita akan mencoba membuktikan identitas-identitas trigonometri yang penting berikut ini.

Sebelum membuktikan masing-masing identitas di atas, kita harus mengetahui definisi trigonometri yang akan kita jadikan dasar untuk membuktikan identitas-identitas tersebut.

Pada segitiga ABC di samping, didefinisikan trigonometri sebagai berikut.

$sin \alpha = \frac{y}{r}$

$cos \alpha = \frac{x}{r}$

$tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$

$cot \alpha = \frac{x}{y}= \frac{1}{tan \alpha}$

$sec \alpha = \frac{r}{x}= \frac{1}{cos \alpha}$

$cosec \alpha = \frac{r}{y}= \frac{1}{sin \alpha}$

Dari definisi trigonometri pada segitiga siku-siku di atas, kita tunjukkan identitas-identitas trigonometri berikut ini.

Bukti:

$\begin{align} sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha &= (\frac{y}{r})^2+(\frac{x}{r})^2 \\ &= \frac{y^2}{r^2}+ \frac{x^2}{r^2} \\ &= \frac{x^2+y^2}{r^2} \\ &=\frac{r^2}{r^2} \\ &=1 \end{align} $

Bukti:

$\begin{align} sec^2 \ \alpha &=1+ (\frac{y}{x})^2 \\ \frac{r^2}{x^2} &= 1 + \frac{y^2}{x^2} \\ &= \frac{x^2}{x^2}+ \frac{y^2}{x^2} \\ &= \frac{x^2+y^2}{x^2} \\ &= \frac{r^2}{x^2} \\ &= sec^2 \ \alpha \end{align}$.

Dengan cara yang serupa, kami serahkan kepada pembaca untuk memuktikan $csc^2 \ \alpha =1+cos^2 \ \alpha $.

Andaikan t menentukan titik P(x,y) untuk t merupkan bilangan real (bukan himpunan sudut-sudut) pada lingkaran satuan C yaitu $x^2+y^2=1$ dan andaikan t sebarang bilangan positif maka terdapat tepat satu titik P(x,y) pada C sedemikian sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan adalah t. Demikian juga jika t < 0, maka terdapat satu titik P(x,y) pada lingkaran satuan sedemikian sehingga panjang busur AP, diukur searah putaran jarum jam pada C, adalah |t|. Ini membolehkan untuk membuat definisi dari sinus dan kosinus.

Definisi: Andaikan t menentukan titik P(x,y) maka

$sin \ t=y$

$cos \ t=x$

Dari definisi di atas, kita buktikan identitas trigonometri yang diminta:

Bukti:

Untuk $y^2+x^2=1$ maka $sin^2 \ t+cos^2 \ t=1$

Bukti:

$\begin{align} sec^2 \ t &=1+tan^2 \ t \\ &= 1+ \frac{sin^2 \ t}{cos^2 \ t} \\ &= \frac{cos^2 \ t}{cos^2 \ t} + \frac{sin^2 \ t}{cos^2 \ t} \\ &= \frac{sin^2 \ t + cos^2 \ t}{cos^2 \ t} \\ &= \frac{1}{cos^2 \ t} \end{align}$

Dengan cara yang serupa, kami serahkan kepada pembaca untuk memuktikan $csc^2 \ t=1+cos^2 \ t$.

Masih ingat, jika s panjang potongan busur sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan sudut pusat t radian, berlaku $\frac{s}{2 \pi r}=\frac{t}{2 \pi}$, yakni $s=rt \Leftrightarrow t=\frac{s}{t}$. Bilamana r=1, ini memberikan $s=t$. Dengan demikian, panjang busur pada lingkaran satuan (r=1) di atas dengan sudut pusat t radian adalah t. Sehingga diperoleh hubungan:

$sin \alpha = sin t=y$

$cos \alpha=cos t=x$.

Referensi: Kalkulus Purcell Jilid 1