Persamaan Diferensial Riccati

PD Riccati merupakan salah satu PD khusus yang dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1 sama seperti PD Bernoulli yang telah kita bahas pada pembahasan Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli sebelumnya.

Adapun bentuk umum PD Riccati adalah sebagai berikut.
$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$
Jika $R(x)=0$, maka PD tersebut menjadi PD Bernoulli. Jika $R(x) \neq 0$ maka PD tersebut dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1 dengan cara sebagai berikut.
  1. Ambil satu penyelesaian khusus $y=u(x) $ (biasanya dalam soal sudah diketahui). Karena itu, dipunyai $\frac{dy}{dx}=P(x)u^2+Q(x)u+R(x)$.
  2. Substitusikan $y=u+ \frac{1}{z}$ dengan derivatifnya $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{1}{z^2} \frac{dz}{dx}$ ke persamaan diferensial Riccati, maka diperoleh:
$\frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z=-P(x)$

Bentuk terakhir ini merupakan PD linier tingkat 1 dalam dz/dx.

Contoh: Selesaikan persamaan $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$ dengan $y=2$ adalah penyelesaian khususnya!

Penyelesaian: Bentuk persamaan tersebut termasuk dalam PD Riccati. Kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & \frac{dy}{dx} =-2-y+y^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} =y^2-y-2  \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas, diketahui $P(x)=1$, $Q(x)= -1$ dan $R(x)=-2$. Dari soal, diketahui penyelesaian khususnya yaitu $u(x)=2$. Dengan menggunakan transformasi $y=u+ \frac{1}{z} \Leftrightarrow y=2+ \frac{1}{z}$ maka persamaan direduksi menjadi:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z &= -P(x) \\ \Leftrightarrow  \frac{dz}{dx}+[2(2)(1)-1]z &= -1 \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+3z &= -1 \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah PD linier tingkat 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int 3  \ dx} &= e^{3x}  \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx}+3z = -1$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{e^{3x}}( \int (-1)e^{3x} \ dx) \\ &= e^{-3x}(- \int e^{3x} \ dx) \\ &=e^{-3x}(- \frac{1}{3}e^{3x}+k) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y-2} &= ke^{-3x}-\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow y-2 &= \frac{1}{ke^{-3x}-\frac{1}{3}} \\ \Leftrightarrow y &= 2+\frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}} \end{align} $


Jadi, $y=2+ \frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}}$ adalah penyelesaian dari $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$.

Semoga bermanfaat..

Berlangganan update artikel terbaru via email:

Promo Domain dan Hosting Murah

0 Response to "Persamaan Diferensial Riccati"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel


Harga Promo Rp.85000 (Rp. 100.000)
KLIK DI SINI
Mau gabung Grup WA Matematika Ku Bisa? Join Di Sini!