Belajar Matematika Online

Persamaan Diferensial Riccati

PD Riccati merupakan salah satu PD khusus yang dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1 sama seperti PD Bernoulli, juga dapat diubah ke PD Linier Tingkat 1. Secara khusus kita telah membahasnya pada Persamaan Diferensial Orde Satu Bernoulli.

Gambar Orang yang sedang membaca PD Riccati di blog Matematika Ku Bisa

Bentuk umum PD Riccati adalah sebagai berikut.
$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$
Jika $R(x)=0$, maka PD menjadi PD Bernoulli. Jika $R(x) \neq 0$ maka PD tersebut diubah ke PD Linier Tingkat 1 dengan cara berikut ini.
  1. Ambil satu penyelesaian khusus $y=u(x) $ (biasanya dalam soal sudah diketahui). Karena itu, dipunyai $\frac{dy}{dx}=P(x)u^2+Q(x)u+R(x)$.
  2. Substitusikan $y=u+ \frac{1}{z}$ dengan derivatifnya $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{1}{z^2} \frac{dz}{dx}$ ke persamaan diferensial Riccati, maka diperoleh:
$\frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z=-P(x)$

Contoh: Selesaikan persamaan $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$ dengan $y=2$ adalah penyelesaian khususnya!

Penyelesaian: Sudah jelas bahwa persamaan tersebut termasuk dalam PD Riccati, kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & \frac{dy}{dx} =-2-y+y^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} =y^2-y-2  \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas maka diketahui $P(x)=1$, $Q(x)= -1$ dan $R(x)=-2$. Dari soal diketahui bahwa $u(x)=2$. Dengan menggunakan transformasi $y=u+ \frac{1}{z} \Leftrightarrow y=2+ \frac{1}{z}$ maka persamaan direduksi menjadi:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z &= -P(x) \\ \Leftrightarrow  \frac{dz}{dx}+[2(2)(1)-1]z &= -1 \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+3z &= -1 \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah PD linier tingkat 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Tingkat 1 dengan Faktor integrasi:

$ \begin{align} e^{ \int 3  \ dx} &= e^{3x}  \end{align} $.

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx}+3z = -1$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{e^{3x}}( \int (-1)e^{3x} \ dx) \\ &= e^{-3x}(- \int e^{3x} \ dx) \\ &=e^{-3x}(- \frac{1}{3}e^{3x}+k) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y-2} &= ke^{-3x}-\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow y-2 &= \frac{1}{ke^{-3x}-\frac{1}{3}} \\ \Leftrightarrow y &= 2+\frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}} \end{align} $


Jadi, $y=2+ \frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}}$ adalah penyelesaian dari $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$.

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design