Persamaan Diferensial Metode Integrasi

Persamaan Diferensial Metode Integrasi - Kita telah membahas materi-materi Persamaan Diferensial Linier Orde satu, baik yang bentuknya umum maupun yang bentuknya khusus.

Bentuk khususnya yaitu Persamaan Diferensial Bernouli dan Persamaan Diferensial Riccati.

Pada kesempatan ini, kita akan membahas suatu metode yang disebut Metode Integrasi dalam menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde 1, baik yang linier ataupun yang non linier.

Apa sih yang dimaksud dengan Metode Integrasi?

Jika dilihat dari kata "integrasi" maka ini berarti menggunakan integral. Benar nggk tuh?

Kalau kita pikir-pikir, bukannya semua proses penyelesaian persamaan diferensial pasti melibatkan integrasi? Maka Kita perlu memahami maksud dari "metode integrasi" ini.

Metode Integrasi dalam Penyelesaian Persamaan Diferensial

Metode integrasi dapat dilakukan apabila bentuk Persamaan Diferensialnya merupakan Persamaan Diferensial yang variabel bebas dan terikatnya terpisahkan.

Maksud dari terpisahkan ini adalah masing-masing variabel tidak bersama pada suatu suku dalam persamaan tersebut.

Misalnya, satu variabelnya berada di satu ruas (misalnya ruas kiri) sedangkan variabel yang lainnya berada di ruas yang lain (berarti di ruas kanan) atau sama-sama di ruas yang sama tetapi dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang. Faham, kan?

Namun, tidak semua Persamaan Diferensial orde satu dapat terpisahkan. (Jadi ada Persamaan Diferensial yang variabel x dan y itu gak bisa dipisahkan, kayak dia dan kamu, iya kamu, cie..!)

Kita dapat memanipulasi secara aljabar suatu Persamaan Diferensial yang variabelnya dapat dipisahkan, menjadi bentuk:

g(y) dy = f(x) dx

sehingga diperoleh solusi umum:

$ \int g (y) dy = \int f (x) dx$

Ada juga bentuk lain yang lebih umum:

$f_1 (x)g_1 (y) \ dx= f_2 (x)g_2 (y) \ dy=0$

atau

$M (x,y) \ dx + N (x,y)\ dy =0$

dapat dibentuk menjadi persamaan difernsial dengan variabel terpisah dengan menggunakan faktor integrasi:

$\frac{1}{g_1 (y)f_2 (x)} $

Sehingga dihasilkan:

$\begin{align} \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \frac{g_2(y)}{g_1(y)} \ dy &= 0 \\ \Leftrightarrow \int \frac{f_1 (x)}{f_2 (x)} \ dx + \int \frac{g_2 (y)}{g_1 (y)} \ dy &=0 \end{align} $

Contoh Persamaan Diferensial:

Selesaikan $xy \ dx + (1+x^2) \ dy = 0$ dengan metode integrasi

Solusi:

Faktor integrasinya adalah $\frac{1}{y (1+x^2)}$

Sehingga,

$\begin{align} & \frac{1}{y(1+x^2)}[xy \ dx+(1+x^2) \ dy] =0 \\ & \leftrightarrow \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \frac{1}{y} \ dy=0 \\ & \leftrightarrow \int \frac{x}{1+x^2} \ dx+ \int \frac{1}{y} \ dy=k \\ \frac{1}{2} ln|1+x^2|+ln|y|=C \\ & \leftrightarrow ln (1+x^2)^{\frac{1}{2}}y = ln \ e^c \\ & \leftrightarrow \sqrt{1+x^2} y = e^c \end{align} $

Jadi, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah $y = \frac{e^c}{\sqrt{1+x^2}} $

Demikian Persamaan Diferensial Metode Integrasi, semoga bermanfaat.