Cara Menentukan Fungsi Invers

Cara Menentukan Fungsi Invers - Apa itu fungsi invers?

Sebelum membahas bagaiamana menentukan fungsi invers, terlebih dahulu, kita harus mengetahui apa itu invers dari suatu fungsi.

Pengertian Invers Fungsi

Misalkan $f$ memetakan unsur $a \in A$ ke $b \in B$, sehingga $f$ dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan berurut:

$f=\{(a,b) \ | \ a \in A \ dan \ b \in B \}$

Pemetaan $b \in B$ ke $a \in A$ diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut (a, b) $\in f$ menjadi (b, a).

Pasangan terurut (b, a) ini adalah unsur dari invers fungsi f.

Jika invers fungsi f itu dilambangkan dengan $f^{-1}$, maka

$f^{-1}= \{(b,a) \ | \ b \in B \ dan \ a \in A \}$

Perlu dicatat bahwa hasil invers suatu fungsi belum tentu berupa fungsi, tetapi dapat saja merupakan hubungan atau relasi biasa.

Jika invers dari suatu fungsi merupakan fungsi pula maka invers fungsi yang demikian itu disebut fungsi invers.

Rumus Fungsi Invers

Pertama-tama, kita harus memahami invers dari suatu fungsi yang sebelumnya telah diberikan pengertiannya di atas.

Invers itu artinya kebalikan, jadi invers dari suatu fungsi maksudnya kebalikan dari suatu fungsi dan apabila balikan fungsi tersebut juga merupakan fungsi maka disebut fungsi balikan/invers.

Masih ingatkah Anda tentang apa maksud dari  invers atau kebalikan?

Dalam pelajaran matematika dasar dulu, kita belajar bahwa unsur identitas penjumlahan adalah 0, sehingga unsur invers dari $x$ terhadap operasi penjumlahan adalah $-x$ karena $x+(-x)=(-x)+x=0$; unsur identitas perkalian adalah 1, sehingga unsur invers dari $x \neq=0$ adalah $\frac{1}{x}$ karena $x \times \frac{1}{x}= \frac{1}{x} \times x=1$.

Demikian pula dalam fungsi, ada fungsi identitas yaitu $I(x)=x$, sehingga misalkan fungsi $f(x)$ adalah suatu fungsi bijektif (syarat fungsi yang balikkannya adalah fungsi)  maka invers atau kebalikan dari fungsi $f(x)$ terhadap operasi komposisi ($\circ$) fungsi adalah fungsi invers $f^{-1}(x)$ sedemikian sehingga $(f \circ f^{-1})_{(x)}=(f^{-1} \circ f)_{(x)}=I(x)$.

Dengan demikian, untuk memeriksa apakah sebuah fungsi (misalkan fungsi g(x)) adalah fungsi invers dari fungsi f(x) maka cukup ditunjukkan bahwa:

$(g \circ f)(x)=(f \circ g)(x)=I(x)=x$.

Sedangkan untuk menentukan rumus fungsi invers diberikan sebagai berikut.

Misalkan $y=f(x)$ adalah rumus untuk fungsi $f$. Jika $f^{-1}$ adalah fungsi invers dari $f$ maka:

$\begin{align} f^{-1}(y) &=f^{-1}(f(x)) \\ &= (f^{-1} \circ f)_{x} \\ &=I(x) \\ &=x \end{align}$.

Jadi, rumus untuk fungsi $f^{-1}$ adalah $x=f^{-1}(y)$, sehingga untuk mencari fungsi invers dari f, lakukan dengan mengubah rumus $y=f(x)$ menjadi x sebagai fungsi y.

Misalkan x sebagai fungsi y ini adalah $x=f^{-1}(y)=g(y)$, ganti peubah $x$ dengan peubah $y$ dan peubah $y$ dengan peubah $x$ sehingga dari $x=f^{-1}(y)=g(y)$ diperoleh rumus fungsi invers dari fungsi f:

$y=f^{-1}(x)=g(x)$

Harap dicatat kembali bahwa tidak semua fungsi memiliki fungsi invers, fungsi yang memiliki fungsi invers hanyalah fungsi yang bijektif.

Fungsi yang bukan fungsi bijektif contohnya $f(x)=x^2$, tetapi jika kita batasi domain fungsinya $(- \infty, 0]$ atau $[0, \infty)$ maka akan menjadi fungsi bijektif pada domain tersebut.

Contoh Soal Menentukan Fungsi Invers

Perhatikan contoh soal berikut ini, bentuk contoh soal yang sering muncul pada ujian nasional SMA!

Tentukan invers fungsi dari fungsi berikut ini!

$f(x)=\frac{2x+3}{4-5x}, \ x \neq \frac{4}{5}$

Penyelesaian:

Misal, $y=\frac{2x+3}{4-5x}$

Maka,

$\begin{align} y &=\frac{2x+3}{4-5x} \\ \Leftrightarrow y(4-5x) &= 2x+3 \\ \Leftrightarrow 4y-5xy &=2x+3 \\ \Leftrightarrow  –5xy – 2x &= 3 – 4y \\ \Leftrightarrow  x(-5y-2) &= 3–4y \\ \Leftrightarrow  x &= \frac{3-4y}{-5y-2} \\ \Leftrightarrow  x &= \frac{4y-3}{5y+2} \end{align}$

Jadi, invers fungsi dari $f(x)=\frac{2x+3}{4-5x}, \ x \neq \frac{4}{5}$ adalah $f^{-1}(x)= \frac{4x - 3}{5x+2}$

Secara umum, apabila $f(x)=\frac{px+q}{rx+s}$ (p, q, r, dan s bilangan-bilangan yang tak nol) maka fungsi inversnya dapat ditentukan sebagai berikut.

Misal $y=\frac{px+q}{rx+s}$

Maka,

$\begin{align} y &=\frac{px+q}{rx+s} \\ \Leftrightarrow y(rx+s) &= px+q \\ \Leftrightarrow  rxy+sy &=px+q \\ \Leftrightarrow  rxy – px &= q – sy \\ \Leftrightarrow  x(ry-p) &= q – sy \\ \Leftrightarrow  x &= \frac{q - sy}{ry-p} \\ \Leftrightarrow  x &= \frac{sy-q}{-ry+p}  \end{align}$

Sehingga, invers fungsi dari $f(x)=\frac{px+q}{rx+s}$ adalah $f^{-1}(x)= \frac{sx - q}{-rx + p}$. Jadi, untuk mencari invers fungsi dari $f(x)=\frac{px+q}{rx+s}$ secara cepat adalah:

$f^{-1}(x)= \frac{sx - q}{-rx + p}$

Demikian cara menentukan fungsi invers, semoga bermanfaat.