Persamaan Diferensial Riccati

Persamaan Diferensial Riccati - Persamaan Diferensial Riccati merupakan salah satu Persamaan Diferensial khusus yang dapat diubah ke Persamaan Diferensial Linier Orde 1 sama seperti Persamaan Diferensial Bernoulli yang telah kita bahas sebelumnya.

Adapun bentuk umum Persamaan Diferensial Riccati adalah sebagai berikut.

$$\frac{dy}{dx}=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$$

Jika $R(x)=0$, maka Persamaan Diferensial tersebut menjadi Persamaan Diferensial Bernoulli.

Jika $R(x) \neq 0$ maka Persamaan Diferensial tersebut dapat diubah ke Persamaan Diferensial Linier Orde 1 dengan cara sebagai berikut.

1. Ambil satu penyelesaian khusus $y=u(x) $ (biasanya dalam soal sudah diketahui). Karena itu, dipunyai $\frac{dy}{dx}=P(x)u^2+Q(x)u+R(x)$.
2. Substitusikan $y=u+ \frac{1}{z}$ dengan derivatifnya $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - \frac{1}{z^2} \frac{dz}{dx}$ ke persamaan diferensial Riccati, maka diperoleh:

$\frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z=-P(x)$

Bentuk terakhir ini merupakan Persamaan Diferensial linier orde 1 dalam dz/dx.

Contoh Persamaan Diferensial:

Selesaikan persamaan $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$ dengan $y=2$ adalah penyelesaian khususnya.

Penyelesaian:

Bentuk persamaan tersebut termasuk dalam Persamaan Diferensial Riccati.

Kita nyatakan dalam bentuk yang ekuivalen sebagai berikut.

$ \begin{align} & \frac{dy}{dx} =-2-y+y^2 \\ \Leftrightarrow & \frac{dy}{dx} =y^2-y-2  \end{align} $

Dari bentuk terakhir di atas, diketahui $P(x)=1$, $Q(x)= -1$ dan $R(x)=-2$.

Dari soal, diketahui penyelesaian khususnya yaitu $u(x)=2$.

Dengan menggunakan transformasi $y=u+ \frac{1}{z} \Leftrightarrow y=2+ \frac{1}{z}$ maka persamaan direduksi menjadi:

$ \begin{align} \frac{dz}{dx}+[2uP(x)+Q(x)]z &= -P(x) \\ \Leftrightarrow  \frac{dz}{dx}+[2(2)(1)-1]z &= -1 \\ \Leftrightarrow \frac{dz}{dx}+3z &= -1 \end{align}$

Bentuk terakhir ini adalah Persamaan Diferensial linier orde 1 yang telah dibahas pada tulisan Persamaan Diferensial Linier Orde 1 dengan Faktor integrasi:

$$ \begin{align} e^{ \int 3  \ dx} &= e^{3x}  \end{align} $$

Sehingga penyelesaian dari $ \frac{dz}{dx}+3z = -1$ adalah:

$ \begin{align} z &= \frac{1}{e^{3x}}( \int (-1)e^{3x} \ dx) \\ &= e^{-3x}(- \int e^{3x} \ dx) \\ &=e^{-3x}(- \frac{1}{3}e^{3x}+k) \\ \Leftrightarrow \frac{1}{y-2} &= ke^{-3x}-\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow y-2 &= \frac{1}{ke^{-3x}-\frac{1}{3}} \\ \Leftrightarrow y &= 2+\frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}} \end{align} $

Jadi, $y=2+ \frac{1}{ke^{-3x}- \frac{1}{3}}$ adalah penyelesaian dari $\frac{dy}{dx}=-2-y+y^2$.

Demikianlah Persamaan Diferensial Riccati, Semoga bermanfaat.