Operasi Dasar Bilangan

Kita telah membahas apa itu bilangan, macam-macam dan pengertian variabel pada himpunan bilangan. Kali ini, kita akan membahas apa itu operasi dasar bilangan dan sifat-sifat yang berlaku pada himpunan bilangan dengan operasi dasar bilangan tersebut.

Mengenal dan Memahami Operasi Dasar Bilangan

Kita mengenal empat operasi dasar matematika yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Keempat operasi dasar inilah yang disebut dengan operasi dasar bilangan.

Keempat operasi dasar bilangan ini dikenal juga dengan istilah operasi aritmatika dasar yang merupakan cabang matematika tertua yang khusus mempelajari bilangan dan operasi hitung bilangan.

Mengapa disebut operasi dasar? Karena operasi ini merupakan operasi matematika yang paling dasar yang tidak dibentuk lagi dengan operasi lainnya, karena selain ke empat operasi dasar tersebut, ada juga operasi hitung lainnya, yaitu perpangkatan dan penarikan akar yang didefinisikan berdasarkan operasi dasar bilangan.

#1 Memahami Operasi Penjumlahan

Misalnya, ada 2 mangga di keranjang A dan 3 mangga di keranjang B, jika mangga yang ada di keranjang B digabung dengan mangga yang berada di keranjang A maka akan terdapat 5 mangga pada keranjang A.

Lalu pada keranjang B ada berapa mangga? Ya, ada 0 mangga atau dalam bahasa sehari-harinya adalah "tidak ada mangga di keranjang B".

Penggabungan dua bilangan atau lebih dengan operasi tambah dalam matematika disebut dengan operasi penjumlahan.

Kita menggunakan simbol "+" (tambah) dalam melakukan operasi penjumlahan bilangan. Misalnya, 2 + 3, penjumlahan dari 2 dan 3 adalah 5, kita tulis dengan:

2 + 3 = 5

Dimana:

• 2 dan 3 disebut penambah.
• 5 disebut jumlah yang merupakan hasil dari penjumlahan.

Jadi di sini, kita dapat memahami perbedaan dari penjumlahan dan penambahan, keduanya memiliki arti yang berbeda.

Operasi penjumlahan bilangan adalah penambahan dua bilangan atau lebih yang menghasilkan sebuah bilangan yang disebut dengan jumlah.

#2 Memahami Operasi Pengurangan

Misalnya 5 buah mangga tadi, diambil 4 buah mangga, maka sisa buah mangga tinggal 1. Proses ini dalam matematika disebut dengan operasi pengurangan, yaitu mengurangi 5 sebanyak 4 yang hasil dari pengurangan ini adalah 1.

Pengurangan juga dapat diartikan sebagai "mengambil" sejumlah bilangan dari suatu bilangan.

Operasi pengurangan menggunakan simbol "-" (kurang), sehingga pengurangan di atas, kita tuliskan dengan:

5 - 4 = 1

Dimana:

• 5 disebut bilangan yang dikurang.
• 4 disebut pengurang.
• 1 disebut beda.

Hasil operasi pengurangan dua bilangan merupakan beda atau selisih dari kedua bilangan tersebut.

Contoh:

• 4 - 1 = 3 (3 merupakan selisih dari 4 dan 1).
• 7 - 5 = 2 (2 merupakan selisih dari 7 dan 5).

Operasi pengurangan bilangan adalah pengurangan atau pengambilan sejumlah bilangan dari suatu bilangan yang hasilnya disebut beda dari kedua bilangan.

Lalu, bagaimana dengan hasil dari (-2) - 3? Hal ini akan dibahas pada materi selanjutnya yang akan datang insyaa Allah. (Menguasai Operasi Dasar pada Bilangan Bulat)

Pengurangan merupakan kebalikan dari penjumlahan. Misalnya 5-3=2, jika ingin mengembalikan 2 menjadi 5, maka harus ditambah dengan 3 yaitu 2+3=5.

Jadi, kita dapat menentukan hasil pengurangan dua bilangan dengan dua cara:

• Menentukan beda atau selisih dari kedua bilangan.
• Mencari bilangan yang jika ditambahkan dengan bilangan pengurang sama dengan bilangan yang dikurang.

Contoh:

• Beda dari 9 dengan 5 adalah 4, sehingga hasil dari 9-5=4.
• Berpakah hasil dari 20-7? Kita tinggal mencari bilangan apakah yang jika ditambah 7 hasilnya 20, yaitu 13, sehingga hasil dari 20-7=13.

#3. Memahami Operasi Perkalian

Misalnya kita ingin memindahkan sejumlah buah apel ke sebuah keranjang dimana kita tidak mampu memasukkannya sekaligus dengan kedua tangan kita.

Kita akan memindahkan sedikit demi sedikit dimana kita hanya mampu membawa 4 buah apel. Lalu pertanyaannya, berapakah buah apel yang sudah berhasil dipindahkan jika melakukan pemindahan sebanyak 3 kali?

Jawabannya 12 buah apel, dengan operasi penjumlahan berikut ini.

4 + 4 + 4 = 12

Proses penambahan 4 sebanyak 3 kali tersebut disebut operasi perkalian, ditulis dengan:

3 × 4 = 12

Dimana:

• 3 disebut pengali.
• 4 disebut bilangan yang dikali.
• 12 disebut hasil kali.

Operasi perkalian bilangan adalah penjumlahan bilangan dengan penambah yang sama sekali atau beberapa kali yang hasilnya disebut hasil kali.

#3 Memahami Operasi Pembagian

Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian. Jika pada perkalian, kita melakukan penjumlahan dengan penambah yang sama maka pada pembagian, kita melakukan pengurangan dengan pengurang yang sama, sekali atau beberapa kali.

Hasil dari pembagian tersebut adalah "berapa kali" kita melakukan pengurangan dengan pengurang yang sama.

⁴Contohnya, jika 30 buah apel akan dihabiskan, berapa kalikah kita harus memakannya jika kita hanya mampu memakan 5 apel dalam sehari?

Prosesnya bisa dijelaskan dengan proses pengurangan sebagai berikut.

• 30-5=25 (hari ke-1)
• 25-5=20 (hari ke-2)
• 20-5=15 (hari ke-3)
• 15-5=10 (hari ke-4)
• 10-5=5 (hari ke-5)
• 5-5=0 (hari ke-6)

Jadi, kita harus memakan apel tersebut sebanyak 6 kali. Proses pengurangan secara berulang di atas dalam matematika ditulis dengan operasi pembagian berikut.

30 ÷ 5 = 6

Dimana:

• 30 disebut bilangan yang dibagi.
• 5 disebut pembagi.
• 6 disebut hasil bagi.

Perhatikan bahwa jika kita melakukan dari proses sebaliknya, yaitu mengumpulkan apel selama 6 hari dimana kita hanya mampu mengumpulkan 5 buah apel dalam sehari maka jumlah buah apel yang dihasilkan adalah 30 buah. Proses tersebut sama artinya dengan 6×5=30.

Jadi, untuk menentukan hasil dari pembagian dua bilangan adalah benar, dapat diperiksa dengan melakukan perkalian dari arah sebaliknya.

Contoh:

• 20 ÷ 5 = 4 adalah benar karena 4×5=20.
• 28 ÷ 4 = 7 adalah benar karena 7×4=28.

Sifat-sifat yang Berlaku pada Operasi Dasar Bilangan

Ada enam sifat yang akan kita bahas di sini, yaitu sifat tertutup, komutatif, asosiatif, identitas, invers, dan sifat distributif.

Apa yang dimaksud dengan keenam sifat tersebut dan apakah berlaku untuk semua operasi dasar bilangan? Simak penjelasannya berikut ini.

#1 Sifat Tertutup

Apakah hasil operasi sebarang dua bilangan dalam suatu himpunan juga merupakan anggota dari himpunan bilangan tersebut, jika ia maka berlaku sifat tertutup.

Misalnya pada himpunan bilangan asli yang anggotanya 1, 2, 3, dan seterusnya, berlaku sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

Contoh:

• 2+3=5
• 6+3=9
• 4×3=12
• 2×9=18

Untuk operasi pembagian dan pengurangan dua bilangan asli tidak berlaku sifat tertutup karena ada hasil operasinya yang bukan merupakan bilangan asli.

Contoh:

• 1 - 3 = -2 (-2 merupakan bilangan bulat negatif).
• 1 ÷ 2 = 0,5 (0,5 merupakan bilangan pecahan).

#2 Sifat Komutatif

Apakah hasil operasi sebarang dua bilangan dalam suatu himpunan akan tetap sama apabila kita menukar posisi dari kedua bilangan yang dioperasikan, jika ia maka berlaku sifat komutatif.

Misalnya pada himpunan bilangan asli, sifat komutatif hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian sedangkan operasi pembagian dan pengurangan tidak berlaku.

Contoh:

• 2+3 sama dengan 3+2
• 5×4 sama dengan 4×5
• 2-3 tidak sama dengan 3-2
• 20÷4 tidak sama dengan 4÷20

#3 Sifat Asosiatif

Apakah hasil sebarang tiga bilangan dalam suatu himpunan akan tetap sama apabila kita mengerjakan bagian kiri atau kanan terlebih dahulu. Jika ia, maka berlaku sifat asosiatif.

Misalnya pada himpunan bilangan asli, sifat asosiatif hanya berlaku pada operasi penjumlahan dan perkalian sedangkan operasi pengurangan dan pembagian tidak berlaku.

Contoh:

Berapa hasil dari 2+5+3 dan 2×5×3?

Jawab:

Kita dapat mengerjakan masing-masing soal di atas dengan cara asosiatif kiri atau asosiatif kanan.

Asosiatif Kiri:

• (2+5)+3 = 7+3 = 10
• (2×5)×3 = 10×3 = 30

Asosiatif Kanan:

• 2+(5+3) = 2+8 = 10
• 2×(5×3) = 2×15 = 30

#4 Sifat Identitas

Apakah ada unsur atau elemen dalam suatu himpunan bilangan yang jika dioperasikan dengan sebarang bilangan dalam himpunan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri, jika ia maka berlaku sifat identitas.

Ada dua unsur identitas operasi dasar matematika, yaitu 0 sebagai unsur identitas penjumlahan dan 1 sebagai unsur identitas perkalian.

0 merupakan unsur atau elemen identitas penjumlahan pada himpunan bilangan real karena jika sebarang bilangan real jika dijumlahkan dengan 0 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Contoh:

• 2+0 = 0+2 = 2
• 4+0 = 0+4 = 4
• 7+0 = 0+7 = 7

1 merupakan unsur atau elemen identitas perkalian pada himpunan bilangan real karena jika sebarang bilangan real jika diperkalikan dengan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Contoh:

• 2×1 = 1×2 = 2
• 4×1 = 1×4 = 4
• 7×1 = 1×7 =7

0 tidak disebut sebagai unsur identitas pengurangan karena tidak berlaku sifat komutatif.

Sebagai contoh, pengurangan antara 3 dengan 0. Meskipun hasil dari 3-0 adalah 3 (bilangan itu sendiri), tetapi untuk hasil dari 0-3 bukanlah 3.

1 tidak disebut sebagai unsur identitas pembagian karena tidak berlaku sifat komutatif.

Sebagai contoh, pembagian antara 1 dengan 2. Meskipun hasil dari 2÷1 adalah 2 (bilangan itu sendiri), tetapi untuk hasil dari 1÷2 bukanlah 2.

#5 Sifat Invers

Apakah setiap bilangan dari suatu himpunan memiliki invers terhadap operasinya di dalam himpunan bilangan tersebut, jika ia maka berlaku sifat invers.

Invers dari suatu bilangan adalah kebalikan dari bilangan tersebut terhadap operasinya, yang mana, jika bilangan dengan inversnya tersebut dioperasikan maka akan menghasilkan unsur identitas.

Misalnya pada himpunan bilangan real, kita memiliki 0 sebagai unsur identitas penjumlahan dan 1 sebagai unsur identitas perkalian, sehingga kita dapat menentukan invers dari setiap bilangan bulat.

1) Invers terhadap Operasi Penjumlahan

Bilangan 3 jika dijumlahkan dengan -3 maka hasilnya 0. Jadi, invers dari 3 adalah -3 terhadap operasi penjumlahan.

Begitupula sebaliknya, bahwa invers dari -3 adalah 3 terhadap operasi penjumlahan karena -3+3=0.

2) Invers terhadap Operasi Perkalian

Bilangan 3 jika dikalikan dengan ⅓ maka hasilnya 1. Jadi, invers dari 3 adalah ⅓ terhadap operasi perkalian.

Begitupula sebaliknya, bahwa invers dari ⅓ adalah 3 terhadap operasi perkalian karena ⅓×3=1.

#6 Sifat Distributif

Apakah hasil sebarang tiga bilangan dalam suatu himpunan akan tetap sama apabila hasil dari distribusi kiri sama dengan hasil dari distribusi kanan.

Ada dua cara distribusi, yaitu:

• Distribusi perkalian terhadap penjumlahan.
• Distribusi perkalian terhadap pengurangan.

Contoh:

Berapa hasil dari 2(5+3) dan (5+3)2 ?

Jawab: Kita dapat mengerjakan masing-masing dengan terlebih dahulu mengerjakan operasi yang berada di dalam kurung, yaitu:

• 2(5+3) = 2×8 = 16
• (5+3)2 = 8×2 = 4

Karena pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif, maka kita bisa menerapkan sifat distributif sebagai berikut.

1) Distributif Kiri

• 2(5+3)
• = (2×5)+(2×3)
• = 10+6
• = 16

2) Distributif Kanan

• (5+3)2
• = (5×2) + (3×2)
• = 10+6
• = 16

Perhatikan bahwa hasil dari distribusi kiri dan distribusi kanan adalah sama karena sifat distribusi ini berlaku pada himpunan bilangan bulat bahkan himpunan bilangan real.

Demikian tentang pembahasan Operasi Dasar Bilangan, jangan lupa untuk mengikuti artikel selanjutnya dari seri artikel Belajar Matematika dari Nol.