Belajar Matematika dan Bisnis Online

IXL Math On IXL, math is more than just numbers. With unlimited questions, engaging item types, and real-world scenarios, IXL helps learners experience math at its most mesmerizing! Pre-K skills Represent numbers - up to 5 Inside and outside Classify shapes by color Long and short Wide and narrow See all 77 pre-K skills Kindergarten skills Fewer, more, and same Read clocks and write times Seasons Count money - pennies through dimes Shapes of everyday objects I See all 182 kindergarten skills First-grade skills Counting tens and ones - up to 99 Hundred chart Subtraction facts - numbers up to 10 Read a thermometer Measure using an inch ruler See all 210 first-grade skills Second-grade skills Counting patterns - up to 1,000 Greatest and least - word problems - up to 1,000 Compare clocks Create pictographs II Which customary unit of volume is appropriate? See all 287 second-grade skills Third-grade skills Convert between standard and expanded form Count equal groups Estimate sums Show fractions: area models Find equivalent fractions using area models See all 384 third-grade skills Fourth-grade skills Addition: fill in the missing digits Divide larger numbers by 1-digit numbers: complete the table Objects on a coordinate plane Circle graphs Place values in decimal numbers See all 340 fourth-grade skills Fifth-grade skills Least common multiple Multiply fractions by whole numbers: word problems Sale prices Find start and end times: word problems Parts of a circle See all 347 fifth-grade skills Sixth-grade skills Compare temperatures above and below zero Which is the better coupon? Evaluate variable expressions with whole numbers Classify quadrilaterals Create double bar graphs See all 321 sixth-grade skills Seventh-grade skills Solve percent equations Arithmetic sequences Evaluate multi-variable expressions Identify linear and nonlinear functions Pythagorean theorem: word problems See all 289 seventh-grade skills Eighth-grade skills Write variable expressions for arithmetic sequences Add and subtract polynomials using algebra tiles Add polynomials to find perimeter Multiply and divide monomials Scatter plots See all 317 eighth-grade skills Algebra 1 skills Write and solve inverse variation equations Write an equation for a parallel or perpendicular line Solve a system of equations by graphing Solve a system of equations using substitution Rational functions: asymptotes and excluded values See all 309 Algebra 1 skills Geometry skills Triangle Angle-Sum Theorem Proving a quadrilateral is a parallelogram Properties of kites Similarity of circles Perimeter of polygons with an inscribed circle See all 221 Geometry skills Algebra 2 skills Multiply complex numbers Product property of logarithms Find the vertex of a parabola Write equations of ellipses in standard form from graphs Reference angles See all 322 Algebra 2 skills Precalculus skills Identify inverse functions Graph sine functions Convert complex numbers between rectangular and polar form Find probabilities using two-way frequency tables Use normal distributions to approximate binomial distributions See all 261 Precalculus skills Calculus skills Find limits using the division law Determine end behavior of polynomial and rational functions Determine continuity on an interval using graphs Find derivatives of polynomials Find derivatives using the chain rule I See all 97 Calculus skills Mathematics is a persistent source of difficulty and frustration for students of all ages. Elementary students spend years trying to master arithmetic. Teens struggle with the shift to algebra and its use of variables. High-school students must face diverse challenges like geometry, more advanced algebra, and calculus. Even parents experience frustration as they struggle to recall and apply concepts they had mastered as young adults, rendering them incapable of providing math help for their children. Whether you need top Math tutors in Boston, Math tutors in Detroit, or top Math tutors in Dallas Fort Worth, working with a pro may take your studies to the next level. The truth is, everyone struggles with math at one time or another. Students, especially at the high-school level, have to balance challenging coursework with the demands of other courses and extracurricular activities. Illness and school absences can leave gaps in a student’s instruction that lead to confusion as more advanced material is presented. Certain concepts that are notoriously difficult to master, such as fractions and the basics of algebra, persist throughout high school courses, and if not mastered upon introduction, can hinder a student’s ability to learn new concepts in later courses. Even students confident in their math skills eventually find a course or concept incomprehensible as they reach advanced math classes. In other words, no matter what your age or ability, everyone eventually needs help with math. Varsity Tutors offers resources like free Math Diagnostic Tests to help with your self-paced study, or you may want to consider a Math tutor. Varsity Tutors is happy to offer free practice tests for all levels of math education. Students can take any one of hundreds of our tests that range from basic arithmetic to calculus. These tests are conveniently organized by course name (e.g. Algebra 1, Geometry, etc.) and concept (e.g. “How to graph a function”). Students can select specific concepts with which they are struggling or concepts that they are trying to master. Students can even use these concept-based practice tests to identify areas in which they may not have realized they were struggling. For instance, if a student is struggling with his or her Algebra 1 course, he or she can take practice tests based on broad algebra concepts such as equations and graphing and continue to practice in more specific subcategories of these concepts. In this way, students can more clearly differentiate between those areas that they fully understand and those that could use additional practice. Better yet, each question comes with a full written explanation. This allows students to not only see what they did wrong, but provides the student with step-by-step instructions on how to solve each problem. In addition to the Math Practice Tests and Math tutoring, you may also want to consider taking some of our Math Flashcards. Varsity Tutors’ Learning Tools also offer dozens of Full-Length Math Practice Tests. The longer format of the complete practice tests can help students track and work on their problem-solving pace and endurance. Just as on the results pages for the concept-specific practice tests, the results for these longer tests also include a variety of scoring metrics, detailed explanations of the correct answers, and links to more practice available through other Learning Tools. These free online Practice Tests can assist any student in creating a personalized mathematics review plan, too, as the results show which of the concepts they already understand and which concepts may need additional review. After reviewing the skills that need work, students can take another Full-Length Math Practice Test to check their progress and further refine their study plan. Once a student creates a Learning Tools account, they can also track their progress on all of their tests. Students can view their improvement as they begin getting more difficult questions correct or move on to more advanced concepts. They can also share their results with tutors and parents, or even their math teacher. Create a Varsity Tutors Learning Tools account today, and get started on a path to better understanding math!

Geometri Euclid (Euclid Geometry)


Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruang merupakan benda abstrak yang menjadi unsur dasar geometri. Berdasarkan unsur-unsur inilah, didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar pada pengertian-pengertian baru sebelumnya. Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertama yang tidak berdasarkansifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma dan posulat.

Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa melalui pembuktian. Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yang disebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan dalil sebelumnya.

Dalil merupakan sebuah pernyataan yang kebenarannya dapat diterima melalui serangkaian pembuktian. Simbol atau lambang merupakan alat bantu yang mengandung suatu pengertian. Suatu lambang tertentu digunakan untuk menyatakan hal tertentu sedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkan dengan bermacam-macam lambang. Seperti titik dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C dan seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecil misalnya garis k, l, atau dapat juga dilambangkan dengan gabungan dua titik seperti $\overleftrightarrow{AB}$ (dibaca: garis AB ), dan lambang-lambang yang lain seperti  $\overline{AB}$ yang menunjukkan ruas garis AB.

Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya klasik matematika dari jaman purbakala yang paling terkenal, dan juga menjadi buku teks matematika tertua yang selalu digunakan dunia. Sedikit yang bisa diketahui tentang Euclid, kecuali fakta bahwa dia hidup di Alexandria sekitar tahun 300 SM. Pokok persoalan utama dari karyanya adalah geometri, perbandingan dan teori bilangan. Telah diperlihatkan bahwa bukti  teometrik dengan cara menggambarkan kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggap tidak memuaskan. Bukti tersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak, Euclid, yang merupakan  ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar.

Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontroversi
intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180 , garis  tersebut akan bertemu  pada sisi transversal tersebut.

Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.


Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran seperti Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu. Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Alexandria, Mesir, di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan, kita tidak tahu di benua apa dan di kota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements

Kebanyakan teorema yang disajikan dalam buku The Elements tidak ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapi merupakan hasil karya matematikawan Yunani awal seperti Pythagoras (dan para pengikutnya), Hippocrates dari Chios, Theaetetus dari Athena, dan Eudoxus dari Cnidos. Akan tetapi, secara umum Euclid dihargai karena telah menyusun teorema-teorema ini secara logis, agar dapat ditunjukkan (tak dapat disangkal, tidak selalu dengan bukti teliti seperti yang dituntut matematika modern) bahwa cukup mengikuti lima aksioma sederhana. Euclid juga dihargai karena memikirkan sejumlah pembuktian jenius dari teorema-teorema yang telah ditemukan sebelumnya, misalnya Teorema 48 di Buku I. 

Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus di antara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan.

Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan. Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam berbagai bahasa. 

Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The Elements jauh lebih  berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia. 

Adalah adil jika kita mengatakan bahwa buku Euclid merupakan faktor penting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuan modern. Ilmu pengetahuan bukanlah sekedar kumpulan dari pengamatan-pengamatan yang cermat dan bukan pula sekedar generalisasi yang tajam serta bijak. Hasil besar yang direnggut ilmu pengetahuan modern berasal dari kombinasi antara kerja penyelidikan empiris dan percobaan-percobaan di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain pihak. 

Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina meskipun berabad-abad lamanya teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa tak pernah memiliki struktur matematika teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan. Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa ada beberapa dasar prinsip- prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid dan dengan sendirinya teori euclid memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya. 

Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan filosof Spinoza. 

Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid, bukan satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang merumuskan geometri bukan ala Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. 

Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam" dan bintang neutron misalnya dimana gaya berat berada dalam derajat tinggi, geometri Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya dalam sejarah.  

Buku The Element

The Elements terdiri atas tiga belas buku. Buku 1 menguraikan proposisi- proposisi dasar dari geometri bidang datar, termasuk tiga kasus dalam hal kekongruenan segitiga, macam-macam teorema tentang garis-garis sejajar, teorema mengenai jumlah sudut-sudut dalam sebuah segitiga dan teorema Pythagoras. Buku 2 berkenaan dengan aljabar geometris, karena kebanyakan teoremanya tidak lebih tentang penafsiran aljabar sederhana. Buku 3 menyelidiki lingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasuk teorema tentang tangent dan sudut- sudut yang digambarkan. Buku 4 terkait segibanyak beraturan dan lingkaran- lingkaran yang mengelilinginya. Buku 5 mengembangkan teori aritmetika tentang perbandingan. Buku 6 menerapkan teori perbandingan kepada geometri bidang datar, dan memuat teorema-teorema bilangan kembar. Buku 7 menguraikan teori bilangan dasar: misalnya bilangan prima, faktor persekutuan terbesar, dan lain- lain. Buku 8 terkait dengan deret geometri. Buku 9 memuat macam-macam aplikasi dari hasil dua buku sebelumnya, dan memuat teorema-teorema ketakterhinggaan bilangan prima, maupun rumus jumlah deret geometri. Buku 10 berusaha menggolongkan besaran yang tak dapat dibandingkan. Buku 11 menghitung volume relatif dari kerucut, piramida, tabung, dan bola menggunakan metode keletihan. Dan akhirnya, buku 13 meneliti apa yang biasa disebut lima benda padat platonis.


Asumsi atau postulat yang ada untuk geometri bidang Euclid adalah:
  1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama lainnya.
  2. Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan, maka jumlahnya akan sama.
  3. Jika kesamaan dikurangi dari kesamaan, selisihnya akan sama.
  4. Keseluruhan akan lebih besar daripada bagiannya.
  5. Bangun geometrik dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya.
  6. Setiap sudut memiliki bisektor.
  7. Setiap segmen memiliki titik tengah.
  8. Dua titik hanya berada pada satu satunya garis.
  9. Sebarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan.
  10. Lingkaran dapat digambarkan dengan sebarang titik pusat dan radius yang diketahui.
  11. Semua sudut siku ± siku sama besar.

Dari postulat-postulat di atas dapat dideduksi sejumlah teorema dasar. Diantaranya adalah :

  1. Sudut bertolak belakang sama besar.
  2. Sifat kongruensi segitiga ( SAS, ASA, SSS )
  3. Teorema kesamaan sudut dasar segitiga sama kaki dan konversinya
  4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut
  5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
  6. Pembuktian suatu sudut yang sama dengan sudut dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya.
  7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui.

Sekarang akan dibuktikan teorema sudut eksterior, sebagai cara menuju perkembangan lebih lanjut.

1. Teorema sudut eksterior 

Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior terpencil manapun. 


Misal ABC adalah segitiga sebarang dan misalkan D merupakan perpanjangan dari garis BC  melalui C.

Pertama akan ditunjukkan bahwa sudut eksterior  ACD lebih besar dari sudut A. misalkan E merupakan titik tengah garis AC, dan misalkan  BE merupakan perluasan panjangnya melalui E hingga F. Maka AE = EC =BE = EF dan sudut AEB = sudut CEF (sudut bertolak belakang sama besar).  Jadi segitiga AEB=Segitiga CEF (SAS), dan sudut BAE = sudut FCE (akibat segitiga kongruen).

Karena sudut ACD > sudut FCE (keseluruhan sudut selalu lebih besar dari bagiannya), maka disimpulkan bahwa sudut ACD > sudut BAE = sudut A. Untuk menunjukkan bahwa sudut ACD > sudut B, perluas garis AC melalui C hingga H, yang membentuk sudut BCH. Kemudian tunjukkan bahwa sudut BCH > sudut B, dengan menggunakan prosedur bagian pertama pembuktian:

misalkan M merupakan titik tengah BC , perluas panjang AM melalui M, dan lain-lain. Untuk melengkapi bukti, perhatikan bahwa sudut BCH dan sudut ACD merupakan sudut bertolak belakang sehingga  sudut tersebut sama besar. Pernyataan sudut ACD > sudut FCE bergantung pada diagramnya. Sekarang mudah melakukan pembuktian beberapa hasil yang cukup penting.

Teorema 2.
Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, maka garis tersebut sejajar.

Bukti: Ingat kembali bahwa dua garis dalam bidang yang sama dikatakan sejajar jika garis tersebut tidak bertemu (berpotongan). Misalkan garis transversal membagi dua garis l, m pada titik A, B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan, sudut 1 dan sudut 2, yang sama besar, dan misalkan garis l dan garis m tidak sejajar. Maka garis l dan garis m akan bertemu di titik C yang membentuk segitiga ABC. C terletak pada sisi AB atau pada sisi lainnya. Untuk kasus lainnya sudut eksterior segitiga ABC sama engan sudut interior terpencil. (misalkan, jika C pada sisi AB yang sama sebagai sudut 2 maka sudut eksterior sudut 1 sama dengan sudut interior terpencil sudut 2). Hal ini kontradiksi dengan teorema sebelumnya. Oleh karena itu garis l dan garis m sejajar.

Akibat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar. Sebagai akibat langsung akibat 1 adalah

Akibat 2. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik eksternal.

Akibat 3. (Eksistensi garis sejajar). Jika titik P tidak berada pada garis l,maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.

Bukti: Dari P hilangkan garis tegak lurus pada garis l yang memiliki kaki di Q, dan di P buat garis m yang tegak lurus terhadap PQ. Maka garis m sejajar dengan garis l menurut akibat 1.

Teorema 3
Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 180 .

ABC merupakan sebarang segitiga. Akan ditunjukkan bahwa sudut A + sudut B < 180 . Perluas CB melalui B hingga ke D. maka dudut ABD merupakan sudut eksterior segitiga ABC. Dengan menggunakan teorema 1, sudut ABD > sudut A, tetapi sudut ABD = 180 - sudut B dengan mensubstitusikan untuk sudut ABD pada relasi pertama, maka: 

180  - sudut B > sudut A, atau 180  > sudut A + sudut B. Jadi, sudut A + sudut B < 180 , dan  teorema tersebut terbukti.

Pengganti Postulat Sejajar

Euclid Postulat sejajar Euclid biasanya digantikan oleh pernyataan berikut ini: Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut.

Pernyatan ini disebut dengan postulat Playfair. Postulat ini bisa dihubungkan dengan postulat sejajar Euclid karena sebenarnya dua pernyataan ini tidak sama. Pernyataan sebelumnya merupakan pernyataan tentang garis sejajar, dan pernyataan kedua mengenai garis bertemu. Bahkan kedua pernyataan tersebut memainkan peran yang sama dalam perkembangan logis  geometri. Dikatakan pernyataan ini ekivalen secara logis. Hal ini berarti bahwa jika pernyataan pertama dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), kemudian pernyataan kedua dapat dideduksi sebagai teorema; dan konversinya, jika pernyataan kedua dianggap sebagai postulat (bersama dengan semua postulat Euclid kecuali postulat sejajar), maka pernyataan pertama  dapat dideduksi sebagai teorema. Jadi secara logis, tidak penting dua pernyataan mana yang akan diasumsikan sebagai postulat dan yang mana yang akan dideduksi sebagai suatu teorema.

Ekivalensi Postulat Euclid dan Playfair

Akan dibuktikan ekivalensi postulat Euclid dan postulat Playfair. Pertama, dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid, maka akan dideduksi postulat Playfair. Diketahui garis l dan titik P tidak pada l (gambar 2.5), maka akan ditunjukkan bahwa hanya ada satu garis melalui P yang tidak pada l. diketahui bahwa ada garis melalui P yang sejajar dengan l, dan diketahui juga bagaimana cara menggambarnya (akibat 3,teorema 2). Dari P, dihilangkan garis tegak lurus pada l dengan kaki Q dan pada P garis tegak m yang tegak lurus pada segmen PQ. Maka garis m sejajar garis l. Kemudian misalkan garis n sebarang garis melalui P yang berbeda dengan garis m. maka akan ditunjukkan bahwa garis n bertemu dengan garis l. Misalkan sudut 1, 2 menunjukkan sudut dimana garis n bertemu dengan segmen PQ . Maka sudut 1 bukan merupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya garis n dan garis m berimpit, berlawanan dengan asumsi. Jadi sudut 1 atau sudut 2 adalah sudut lancip, misalnya sudut 1 yang merupakan sudut lancip.

Ringkasannya, garis l dan garis n dibagi oleh garis transversal sehingga membentuk sudut lancip 1 dan sudut siku ± siku, yang merupakan sudut interior sudut pada sisi yang sama dari garis transversal tersebut. Karena jumlah sudut tersebut kurang dari 180 , postulat sejajar Euclid dapat diaplikasikan dan disimpulkan  bahwa garis n bertemu dengan garis l. Jadi garis m hanya satu ± satunya garis  yang melalui P yang sejajar dengan garis l dan dideduksikan bahwa postulat Playfair dari postulat sejajar Euclid.

Sekarang dengan mengasumsikan postulat Playfair, akan dideduksi postulat sejajar Euclid.

Gambar 2.6 Misalkan garis m dibagi oleh garis transversal dititik Q, P yang membentuk sudut 1 dan sudut 2, pasangan sudut interior pada satu sisi garis transversal yang memiliki jumlah sudut kurang dari 180 ( gambar 2.6 ), adalah:

(1)  sudut 1 + sudut 2 < 180
Misalkan sudut 3 menunjukkan tambahan sudut 1 yang terletak pada sisi berlawanan segmen PQ dari sudut 1 dan 2 (gambar 2.6), maka:
(2)  sudut 1 + sudut 3 = 180
Dari hubungan (1), (2) maka :
(3)  sudut 2 < sudut 3

Pada titik P, bentuk sudut QPR yang sama dengan dan yang interior dalam berseberangan dengan sudut 3. Maka sudut 2 < sudut PQR, sehingga segmen RP berbeda dari garis m. menurut teorema 2, segmen RP sejajar dengan l. Karenanya menurut postulat Playfair, m tidak sejajar dengan l. Oleh karena itu, garis m dan l bertemu. Seandainya garis-garis tersebut bertemu di sisi berlawanan dari segmen PR dari sudut 1 dan sudut 2, katakanlah di titik E maka sudut 2 merupakan sudut eksterior segitiga PQE, karena sudut 2 > sudut  3 , berlawanan dengan (3). Akibatnya, pengandaian tadi salah, jadi garis m  dan  l bertemu pada sisi garis transversal segmen PQ yang memuat sudut 1 dan sudut 2. Jadi  postulat sejajar Euclid mengikuti postulat Playfair dan akibatnya dua postulat tersebut menjadi ekivalen.


Dengan mengasumsikan postulat sejajar Euclid berikut ini merupakan beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan:
  1. Jika dua garis sejajar dibagi oleh garis transversal, sebarang pasangan sudut interior dalam berseberangan yang terbentuk akan sama besar.
  2. Jumlah sudut sebarang segitiga adalah 180°.
  3. Sisi bertolak belakang dari jajaran genjang adalah sama besar.
  4. Garis sejajar selalu berjarak sama.
  5. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.
  6. Teori luas menggunakan unit persegi.
  7. Teori segitiga yang sama, yang termasuk eksistensi bangun dengan ukuran sebarang yang sama dengan bangun yang diketahui.

Postulat sejajar Euclid merupakan sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal itu. Cara dimana Euclid mengatur teoremanya mengimplikasikan bahwa  sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puas dengan postulat sejajarnya. Euclid manyatakan hal tersebut di awal karjanya tetapi pernyataan itu tidak dipakainya sampai akhirnya dia tidak dapat malakukan kemajuan tanpa postulat tersebut. Agaknya, Euclid memiliki intuisi bahwa postulat sejajar tersebut tidak memiliki kualitas intuitif ataupun sederhana dari postulat lainnya. Rasa yang demikian dilakukan oleh para ahli geometri dalam selama 20 abad. Para ahli mencoba mendeduksi postulat sejajar dari postulat lainnya, atau menggantikan postulat tersebut dengan postulat yang nampaknya lebih pasti.


Bukti Proclus tentang Postulat Sejajar Euclid Prolus

Kita asumsikan postulat Euclid bukan sebagai postulat sejajar. Misalkan P merupakan titik tidak berada pada garis l (gambar 2.7). kita bentuk garis m melalui P sejajar dengan garis l dengan cara yang biasa digunakan. Misalkan segmen PQ tegak lurus dengan l di Q, dan misalkan m tegak lurus dengan segmen PQ di P. Sekarang, anggaplah ada garis lain n melalui P yang yang sejajar dengan l, maka n membentuk sudut lancip dengan garis PQ, yang terletak katakanlah pada sisi kanan segmen PQ . Bagian dari n di sebelah kanan titik P seluruhnya termuat dalam daerah yang dibatasi oleh garis l, m dan segmen PQ . Sekarang dimisalkan X adalah sebarang titik di m yang letaknya di sebelah kanan titik P, misalkan garis XY tegak lurus dengan l di Y dan misalkan garis  tersebut bertemu dengan garis n di Z. Maka garis XY > garis XZ . Misalkan X mundur di garis m, maka XY meningkat secara tidak menentu, karena garis XY setidaknya sama besarnya dengan segmen dari X yang tegak lurus dengan n. Jadi garis XY juga meningkat secara tidak menentu. Tetapi jarak antara dua garis sejajar harus terbatas. Oleh karena itu, akan menjadi kontradiksi dan pengandaian salah. Jadi, m hanya merupakan satu-satunya garis yang melalui P yang sejajar dengan garis l. Karenanya, postulat Playfair berlaku, dan juga ekivalen dengan postulat sejajar Euclid.

Argumen Prolus tersebut mencakup 3 asumsi :

a. jika dua garis saling berpotongan, jarak pada suatu garis dari satu titik ke garis lainnya akan meningkat secara tak menentu, karena titik tersebut mundur (menyusut) tak berujung.
b. segmen terpendek yang menghubungkan titik eksternal pada suatu garis merupakan segmen yang tegak lurus.
c. jarak antara dua garis sejajar adalah terbatas.

(a) dan (b) dapat dibenarkan tanpa bantuan postulat sejajar Euclid. Jadi inti persoalan pembuktian adalah asumsi (c). Proclus mengasumsikan (c) sebagai postulat tambahan. Mari kita sebut sebagai postulat asumsi Proclus tersembunyi. Kemudian bisa dinyatakan: postulat Proclus ekivalen dengan postulat sejajar Proclus. Postulat sejajar Euclid mengimplikasikan bahwa jarak antara garis sejajar selalu konstan, dan terbatas. Konversinya, melalui argumen Proclus dapat dinyatakan bahwa postulat Proclus mengimplikasikan postulat sejajar Euclid. Jadi, Proclus menggantikan postulat sejajar dengan postulat yang ekivalen, dan bukan menetapkan validitas postulat sejajar tersebut.

Percobaan Saccheri untuk Mempertahankan Postulat Euclid

Girolamo Saccheri (1667-1733) melakukan studi yang mendalam tentang geometri dalam buku yang berjudul Euclides Vindicatus, yang diterbitkan di tahun saat kematiannya. Beliau melakukan pendekatan terhadap permasalahan pembuktian postulat sejajar Euclid dengan cara baru yang radikal. Prosedurnya ekivalen dengan mengasumsikan bahwa postulat sejajar Euclid salah, dan menemukan kontradiksi dengan penalaran logis. Hal ini akan mensahkan postulat sejajar dengan menggunakan prinsip metode tak langsung. Maksud Saccheri adalah studi segi empat yang memiliki sisi yang sama panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga. Tanpa mengasumsikan sebarang postulat sejajar, beliau melakukan studi mendalam tentang segi empat tersebut yang sekarang disebut dengan segi empat Saccheri. Misalkan ABCD merupakan segi empat Saccheri dengan AD = BC dan sudut siku-siku di A, B (gambar 2.10).  Saccheri membuktikan bahwa sudut C = sudut D dan kemudian mempertimbangkan tiga kemungkinan yang berhubungan dengan sudut C dan D :

  1. hipotesis tentang sudut siku-siku (C = D = 90°)
  2. hipotesis tentang sudut tumpul ( C = D > 90°)
  3. hipotesis tentang sudut lancip ( C = D < 90°)

Jika postulat sejajar Euclid diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku akan terjadi (karena postulat sejajar mengimplikasikan bahwa jumlah sudut sebarang segi empat adalah 360°). Argumen dasar Saccheri sebagai berikut: Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal ini akan membentuk hipotesis sudut siku-siku yang ekivalen dengan postulat sejajar Euclid. Saccheri membuktikan menggunakan sederetan teorema yang memiliki alasan yang tepat, bahwa hipotesis sudut tumpul akan menghasilkan kontradiksi. Beliau mempertimbangkan implikasi hipotesis sudut lancip. Di antaranya ada sejumlah teorema yang tidak umum, dua di antaranya kita nyatakan sebagai berikut:
  • Jumlah sudut sebarang segitiga kurang dari 180°.
  • Jika l dan m merupakan dua garis dalam bidang, maka salah satu dari sifat di bawah ini di penuhi:

a. l dan m berpotongan, dalam kasus di mana dua garis tersebut divergen dari titik perpotongan.
b. l dan m tidak berpotongan tetapi memiliki garis tegak lurus yang sama di mana dua garis tersebut divergen dalam kedua arah dari garis tegak lurus yang sama tersebut.
c. l dan m tidak brpotongan dan tidak memiliki garis tegak lurus yang sama, di mana dua garis tersebut konvergen dalam satu arah langkah, dan divergen pada arah lainnya. Saccheri tidak memandang sebagai kontradiksi, meskipun beliau pikir harus menganggap sebagai kontradiksi dan bahkan diketahui pada masa sekarang bahwa teori hipotesis sudut lancip Saccheri bebas kontradikisi seperti geometri Euclid.

  1. Geometri Euclid merupakan sistem aksiomatik, dimana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas, artinya hasil-hasil penting/teorema-teorema tersebut merupakan akibat dari postulat sejajar.
  2. Peran postulat sejajar Euclid adalah sebagai sumber untuk banyak hasil yang sangat penting. Tanpa postulat tersebut (atau ekivalennya), kita tidak akan memiliki teori luas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan, dan teori Pythagoras yang terkenal. Jadi postulat sejajar Euclid akan lebih berperan apabila dideduksi dengan postulat lainnya atau digantikan dengan postulat lainnya yang lebih pasti.

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Ebook Berhitung Tanpa Meminta

Kontak Kami


Email *

Message *

Copyright © Matematika Ku Bisa. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design