Definisi Grup

PELAJARAN KE-1: DEFINISI GRUP

Anda telah mempelajari apa itu himpunan, misalnya himpunan bilangan real, himpunan bilangan bulat, dsb. dan mempelajari operasi biner seperti penjumlahan, perkalian, dsb.. Kali ini, kita akan mempelajari suatu himpunan bersama operasinya apakah termasuk grup atau bukan grup.

Ini pelajaran pertama kita tentang "Sruktur Aljabar 1". Saya menulis ini untuk sekedar sharing pengetahuan kami dalam memahami materi Grup yang dipelajari pada matkul "Struktur Aljabar 1". Jadi, jika pembaca mengetahui kesalahan dalam pembahasan atau penulisan-penulisan yang sekiranya dapat mengubah makna bahasan, tolong disampaikan di kolom kementar, terima kasih.

Pada tulisan ini, kita akan membahas pengertian Grup dan contoh dari Grup. Pembaca diharapkan dapat memahami  benar materi ini sebagai syarat mempelajari materi selanjutnya.  Ingat, fokus pembahasan kita adalah fokus memahami konsep, bukan menghapal.

Definisi Grup
Definisi Grup
Definisi:
Misalkan G himpunan tak kosong ($G \neq \varnothing$, artinya G memiliki sedikitnya satu anggota), dan operasi * didefinisikan pada G (* suatu operasi biner). Himpunan G dengan operasi *, ditulis (G,*), disebut sebagai grup, jika memenuhi keempat sifat berikut.
  1. Himpunan G bersifat tertutup terhadap operasi *. Yaitu, untuk setiap $a,b \in G$ berlaku $a*b \in G$. 
  2. Operasi * bersifat asosiatif. Yaitu, untuk setiap  $a,b,c \in G$ berlaku $a*(b*c)=(a*b)*c$. 
  3. Himpunan G mempunyai unsur identitas.  Yaitu, terdapat  $e \in G$ sehingga untuk setiap $a \in G$ berlaku $a*e=e*a=a$. 
  4. Setiap unsur di himpunan G mempunyai invers. Yaitu, untuk setiap $a \in G$ terdapat $a^{-1} \in G$ sehingga $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.
Dari definisi Grup G di atas, untuk membuktikan suatu himpunan dengan operasinya adalah grup, kita harus dapat menunjukkan empat syarat di atas, yaitu apakah operasinya tertutup yang artinya operasi di antara anggota himpunan merupakan anggota himpunan itu sendiri. Setelah itu, kita menunjukkan apakah operasi * bersifat asosiatif dan apakah  himpunan G memiliki unsur identitas yang kita sebut dengan unsur $e$ dimana jika untuk semua a anggota G berlaku $e*a=a*e=a$.

Jika G tidak mempunyai unsur identitas terhadap operasi *, maka kita tidak perlu mengecek apakah setiap anggota dalam himpunan G tersebut memiliki invers (balikan) terhadap operasi *, karena unsur invers hanya bisa ditentukan jika ada unsur identitas.

Catatan: Jika (G,*) hanya memenuhi (1) dan (2) maka (G,*) disebut semigrup sedangkan jika (G,*) memenuhi (1), (2), dan (3) maka (G,*) disebut monoid.

Contoh Grup: Himpunan bilangan bulat $Z$ dengan operasi $+$ adalah Grup.

Bukti: $(Z, +)$ memenuhi empat syarat grup, yaitu:
  1. Tertutup, karena sebarang bilangan bulat jika dijumlahkan dengan bilangan bulat hasilnya juga bilangan bulat.
  2. Asosiatif, seperti yang kita ketahui bahwa penjumlahan pada bilangan bulat, salah satu sifat operasi yang dimiliki adalah asosistif, yaitu $(a+b)+c=a+(b+c)$. (Contohnya, $(2+3)+4=2+(3+4)$)
  3. Memiliki unsur identitas, yaitu $0$ dimana sebarang bilangan bulat jika dijumlahkan dengan bilangan nol (0) maka hasilnya bilangan bulat itu sendiri, yaitu a+0=0+a=a. (Contohnya, 2+0=2). Dalam hal ini $e=0$.
  4. Setiap anggota himpunan bilangan bulat memiliki invers dimana ketika kita ambil sebarang $a \in Z$ maka terdapat $-a$ sehingga $a+(-a)=-a+a=0$. (contoh: 2+(-2)=0 jadi invers dari 2 adalah -2). Dalam hal ini $a^{-1}=-a$. 
Jadi $Z$ dengan opeasi $+$ atau (Z,*) adalah grup. Adapun himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa (×) bukanlah grup. Meski bersifat tertutup, asosiatif, dan punya unsur identitas, yaitu e=1, tetapi  tidak  memenuhi syarat invers. Invers a terhadap operasi perkalian adalah 1/a karena a×(1/a)=(1/a)×a=1 dimana jika a bilangan bulat maka invers dari a adalah 1/a yang merupakan bilangan pecahan, sehingga kita katakan bilangan bulat tidak memiliki invers pada bilangan bulat terhadap operasi perkalian.

Latihan Soal Grup: Sebagai latihan, coba kerjakan soal berikut ini.

1. Apakah $(R, ×)$ adalah grup?
2. Tunjukkan bahwa $(Q,+)$ adalah Grup!

Catatan:
R: Real
Q: Rasional
× : perkalian biasa
$\forall$ : Untuk setiap (semua)
$\exists$ : Terdapat/ada

0 Response to "Definisi Grup"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA?  Ayo Belajar Matematika dari dasar! Baca Ebook Belajar Matematika dari Dasar.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Mau jual Ebook di Google Play, tapi belum punya akun mitra google book? Baca Cara Daftar Mitra Google Buku yang Sementara Ditutup: Saya Berkali-kali Diterima Lho