Determinan Matriks 3×3 dengan Ekspansi Kofaktor

Cara Mencari Determinan Matriks 3×3 dengan Ekspansi Kofaktor - Sebelumnya, kita sudah membahas tentang Minor dan Kofaktor Matriks yang akan kita gunakan dalam mencari determinan dari suatu matriks.

Seperti yang kita alami saat menghitung determinan matriks ordo 3x3 tidak semudah determinan ordo 2x2.

Kita biasanya menggunakan Aturan Sarrus dalam menentukan determinan matriks ordo 3x3. Kali ini kita coba gunakan Metode Kofaktor dalam menentukan determinan matriks baik ordo 3x3, ordo 4x4, ordo 5x5 hingga ordo nxn.

Kita mulai dari definisi determinan matriks berikut ini.

Definisi Determinan Matriks

Misalkan $A_{nxn}=[a_{ij}]$ adalah matriks ordo nxn, determinan dari matriks $A$ didefinisikan sebagai:

$$det(A)=|A|=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}$$

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

$$det(A)=|A|=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+...+a_{nj}C_{nj}$$

(ekspansi kofaktor sepanjang kolomke-j)

Determinan Matriks 3x3

Misalnya $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$ maka determinan dari matriks A dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama adalah:

$\begin{align} |A| & = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} \\ & = a_{11}(-1)^{1+1}|M_{11}| + a_{12}(-1)^{1+2}|M_{12}|+ a_{13}(-1)^{1+3}|M_{13}| \\ & = a_{11}(1)|M_{11}| + a_{12}(-1)|M_{12}|+ a_{13}(1)|M_{13}| \\ & = a_{11}|M_{11}| - a_{12}|M_{12}|+ a_{13}|M_{13}| \\ & = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \end{align}$

Contoh Soal Determinan Matriks 3×3

Carilah determinan dari matriks berikut dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-1.

$A=\begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

Jawaban Soal:

$|A|=2 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}+(-5)\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$

$=2(5-18)-0(-3-12)+(-5)(-18-20)$

$=2(-13)-0(-15)+(-5)(-38)$

$=-26+190$

$=164$

Demikian tentang Cara Mencari Determinan Matriks 3×3 dengan Ekspansi Kofaktor, semoga bermanfaat.