Cara Mengerjakan Soal SPLDV Metode Substitusi dan Eliminasi

Suatu persamaan linier dua peubah/variabel adalah persamaan yang berbentuk $ax+by=c$ dimana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan real, x dan y adalah peubah/variabel. Sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) dibentuk dari beberapa persamaan linier dua variabel.  SPLDV yang dibahas dalam tulisan ini adalah SPLDV yang berbentuk:

$\begin{align} ax+by &=c \\ px+qy &=r \end{align}$

dimana a, b, c, p, q, dan r bilangan real; x dan y variabel.

 

Cara mengerjakan soal SPLDV  ialah bagaimana menyelesaikan SPLDV dan berbagai soal penerapannya, misalnya penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Ini sangat mudah dikerjakan, asalkan mengetahui cara menyelesaikan SPLDV. Penyelesaian dari SPLDV adalah bilangan terurut (x,y) yang memenuhi kedua persamaan linier dua variabel tersebut. Sebagai contoh, pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari SPLDV berikut ini.  

$\begin{align} x+2y &=5 \\ 2x+3y &=8 \end{align}$

karena

$\begin{align} (1)+2(2) &=5 \\ 2(1)+3(2) &=8 \end{align}$

Bagaimana menentukan penyelesaian SPLV tersebut? 

Metode substitusi ialah metode dengan mengganti salah satu peubah atau variabel. Jika kita mensubstitusikan variabel x dari persamaan yang satu ke persamaan yang lain akan diperoleh nilai variabel y. Begitu sebaliknya. 

Contoh Soal : Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan $x + y =5$ dan $2x + y = 7$ .

Penyelesaian:

Langkah pertama:

$\begin{align} x + y &=5 \\ \Leftrightarrow x &= 5 – y \  . . .  \ ( 1 ) \\ 2x + y &= 7 \  . . . \ (2) \end{align}$ 

Lalu, masukkan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) , untuk mencari nilai y:

$\begin{align} 2x + y &= 7 \\ \Leftrightarrow  2 (5 - y) + y &= 7 \\ \Leftrightarrow  10 -2y +y &= 7 \\ \Leftrightarrow  10-y &= 7 \\ \Leftrightarrow –y &= 7-10 \\ \Leftrightarrow –y &= –3 \\ \Leftrightarrow y&=3 \end{align}$ 

Selanjutnya untuk mencari nilai x  substitusi nilai $y=3$ ke salah satu persamaan boleh persamaan (1) atau (2), pilih yang memudahkan:

$\begin{align} x + y &=5 \\ \Leftrightarrow  x + (3) &= 5 \\ \Leftrightarrow  x&= 5-3 \\ \Leftrightarrow  x&= 2 \end{align}$

Jadi , HP = { (2 , 3) } .

Metode eliminasi ialah metode dengan cara mengeliminasi atau menghilngkan salah satu peubah (variabel) dengan menyamakan koefisien dari persamaan tersebut. Untuk menghilangkan salah satu peubahnya perhatikan tandanya, apabila tandanya sama [(+) dengan (+) atau (-) dengan (-)], maka untuk mengeliminasinya gunakan operasi pengurangan. Dan sebaliknya apabila tandanya berbeda maka gunakanlah operasi penjumlahan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal di bawah ini:

Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan $x + 2y = 1$ dan $3x - y = 10$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menentukan variabel mana yang akan dieliminasi terlebih dahulu. 

*) Eliminasi $x$ diperoleh nilai $y$: 

$\begin{align} x+2y=1 \  \ \  |\times 3| \ \Leftrightarrow 3x+6y &=3 \\ 3x-y=10 \ \ \ |\times 1| \ \  \Leftrightarrow 3x-y &=10 & – \\ \hline 7y &=-7 \\ y &=-1 \end{align}$

**) Eliminasi $y$ diperoleh nilai $x$.

$\begin{align} x+2y=1 \  \  |\times 1| \ \ \Leftrightarrow x+2y &=1 \\ 3x-y=10 \  \ |\times 2|  \  \Leftrightarrow 6x-2y &=20 & + \\ \hline 7x &=21 \\ x &=3 \end{align}$ 

Jadi, solusinya adalah (3, –1). 

Metode campuran yaitu suatu metode untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dengan mengunakan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan. 

Contoh soal: Diketahui persamaan  x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30. Dengan menggunakan metode campuran tentukanlah himpunan penyelesaiannya!

Penyelesaian:

*) Eliminasi $x$ diperoleh nilai $y$: 

$\begin{align} x+3y =15 \ | \times 3 | \ \Leftrightarrow 3x+9x &=45 \\ 3x+6y=30 \ | \times 1 |  \ \Leftrightarrow 3x+6y &=30 & – \\ \hline 0 +3y &=15 \\ y&=5 \end{align}$

**) Substitusi y=5 ke salah satu persamaan, kita pilih yang paling sederhana yaitu x+3y=15.

$\begin{align} x + 3y &= 15 \\ x + 3(5) = 15 \\ x + 15 = 15 \\  x &= 0 \end{align}$

Jadi , HP ={ (0 , 5) }.

Tambahan: Kita dapat menyelesaikan SPLDV dengan rumus dari Aturan Cramer. Tetapi, kita tidak membahasnya di sini. Untuk mengetahui penggunaannya silahkan baca Metode Penyelesaian SPLDV dengan Determinan Matriks.