Cara Mengerjakan Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri - Perkataan limit sudah sering kita dengar dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya seseorang berkata, “Batas kesabaran saya sudah hampir habis” atau “Kartu kredit yang Anda gunakan hampir mendekati limit.”

Kata-kata seperti batas, hampir, dan limit memiliki makna menuju atau mendekati sesuatu, teramat dekat, tetapi tidak dapat mencapai atau tidak dapat tepat sama.

Penggunaan kata-kata tersebut memiliki hubungan dengan kata limit yang akan kita pelajari berikut ini.

A. Konsep Limit Fungsi di Suatu Titik

Limit merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus diferensial dan kalkulus integral.

Dalam bahasa matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu, Mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu tersebut?

Hal ini disebabkan karena limit fungsi tidak mempersyaratkan fungsu memiliki nilai pada titik tersebut.

Misalnya, fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ tidak memiliki nilai (arti) pada x=1 sebab f(1) memiliki nilai yang tidak tentu yaitu 0/0. Tetapi, apabila kita mengambil nilai-nilai x dari yang lebih besar dari 1 (dari arah kanan) dan lebih kecil dari 1 (dari arah kiri) mendekati 1 maka nilai f(x) tersebut cenderung mendekati nilai 2.

Nilai 2 ini disebut nilai limit dari fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ ketika x mendekati 1 dari arah kiri dan kanan.

Selanjutnya nilai limit dari fungsi tersebut disebut dengan limit fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$. Secara matematika ditulis:

$$\lim_{x \rightarrow 1} f(x)= \frac{x^2-1}{x-1} =2$$

Contoh lainnya, misalkan fungsi trigonometri $f(x)= \tan x$ tidak memiliki nilai (arti) pada $x=\frac{\pi}{2}$ sebab $\tan \frac{\pi}{2}$ tidak terdefinisi. Tetapi memiliki nilai limit untuk $x$ mendekati $\frac{\pi}{2}$ baik dari arah kiri maupun kanan.

Syarat Fungsi Memiliki Nilai Limit pada Suatu Titik

Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki nilai limit pada titik x=a apabila limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan.

Misalkan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri adalah $L_1$ dan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan adalah $L_2$.

Apabila $L_1 \neq L_2$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada.

Sebaliknya, apabila $L_1 = L_2=L$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L.

Secara matematis, pengertian limit fungsi tersebut diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan:

Suatu fungsi y=f(x) didefinisikan untuk x di sekitar a (selanjutnya a disebut titik limit), maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L$.

Dari definisi limit fungsi di atas, pencarian limit fungsi dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan numerik seperti menyusun tabel nilai fungsi dengan menggambil domain fungsi dari sebelah kiri dan kanan suatu titik limit; dan pendekatan grafik fungsi yaitu melihat gambar grafik fungsi tersebut baik dari arah sebelah kiri maupun dari sebelah kanan titik limit untuk mengetahui secara intuisi nilai limit fungsi tersebut ada atau tidak ada.

Baca lebih lanjut tentang Definisi Limit Secara Intuisi dan Definisi Formal Limit (Epsilon Delta).

B. Teorema Limit Utama

Berikut ini adalah teorema-teorema limit yang berguna dalam menentukan limit suatu fungsi karena fungsi yang ingin ditentukan limitnya dapat berupa jumlah, selisi, kali, dan bagi dari fungsi-fungsi yang telah diketahui limitnya.

Karena jika kita hanya menggunakan pendekatan numerik atau grafik ini sangatlah tidak efisien dan efektif.

1. Jika f(x)=k maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=k$ (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
2. Jika k suatu konstan maka $\lim_{x \rightarrow a} k.f(x)=k \ \lim_{x \rightarrow a} f(x)$
3. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) + \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
4. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) - \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
5. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) \times g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) \times \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
6. $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)}$
7. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x)]^n=[ \lim_{x \rightarrow a} f(x)]^n$
8. $\lim_{x \rightarrow a} {^n\sqrt{f(x)}}= {^n\sqrt{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}}$

C. Limit Fungsi Aljabar

Berikut ini cara menentukan limit fungsi aljabar dalam bentuk fungsi aljabar sebagai berikut.

#1 Limit Fungsi Aljabar f(x) di Titik a

Bentuk $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$

Menentukan $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ dengan f(x) fungsi aljabar dapat dilakukan dengan metode substitusi langsung yakni mencari nilai fungsi f(x) pada x=a asalkan f(x) memiliki nilai fungsi pada x=a.

Karena, jika f(x) memiliki nilai yang berarti pada x=a (terdefinisi pada x=a) maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$.

Jika f(x) tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak-tentu maka cara menyelesaikan soal limit fungsi tersebut dapat diselesaikan dengan tiga cara, yang dibahas di Cara Mudah Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Aljabar.

#2 Limit Fungsi Aljabar Bentuk Pecahan (Fungsi Rasional) di Tak Hingga

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$

Untuk menentukan $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, pertama-tama kita harus memahami mengapa $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$.

Kita pahaminya secara intuisi bahwa jika 1 dibagi bilangan yang banyak menuju tak-hingga maka hasilnya cenderung menuju 0.

Perhatikan gambar grafik fungsi $f(x)= \frac{1}{x}$ berikut ini, ketika $x \rightarrow \infty$ maka $f(x) \rightarrow 0$

Gambar Grafik $f(x) = \frac{1}{x}$

 

Karena $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$ maka untuk setiap n bilangan positif dan a bilangan real, $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^n}=0$.

Dengan pengetahuan ini, menentukan limit fungsi aljabar berbentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$  (bentuk tertentu) dilakukan dengan cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan $x^n$, dimana n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x).

Contoh Soal Limit Fungsi Rasional di Tak Hingga

Contoh Soal 1:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+3x-1}{x+2}$

Penyelesaian:

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+3x-1}{x+2} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x^2+3x-1}{x^2}}{\frac{x+2}{x^2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2+\frac{3}{x}- \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}} \\ &=  \infty \end{align}$

Contoh Soal 2:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(1-2x)^2}{\sqrt{8x^4-1}}$

Penyelesaian:

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ (1-2x)^2}{\sqrt{8x^4-1}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{(1-2x)^2}{x^2}}{\frac{\sqrt{8x^4-1}}{x^2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1-2x}{x})^2}{\frac{\sqrt{8x^4-1}}{\sqrt{x^4}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{x}- 2)^2}{\sqrt{8- \frac{1}{x^4}}} \\ &= \frac{4}{ \sqrt{8}} \\ &= \frac{4}{ 2 \sqrt{2}} \\ &= \frac{2}{ \sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} \end{align}$

#3 Limit Fungsi Aljabar Bentuk Akar $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}$ di Tak Hingga

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}]$

Limit fungsi yang berbentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}]$ dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu $\frac{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}$;

sehingga menjadi bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{j(x)}{k(x)}$.

Contoh Soal Limit Fungsi Bentuk Akar $\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}$

$\lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5}]$

Penyelesaian:

$\begin{align} & \lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5} \ ]  \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5} ] \times \frac{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{{2x-1} – (3x+5)}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x-6}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} = – \infty \end{align}$

#4 Limit Fungsi Aljabar Bentuk Akar $\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r}$ di Tak Hingga

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} \ ]$

Bentuk ini sering muncul dalam soal ujian nasional SMA/sederajat dan dapat diselesaikan dengan cepat menggunakan ketentuan sebagai berikut.

1. Jika a=p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = \frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

2. Jika a>p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = \infty$

3. Jika a<p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = -\infty$

Contoh Soal Limit Fungsi Bentuk Akar $\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r}$ di Tak Hingga

Hitunglah $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{3x^2-4x+8} – \sqrt{3x^2-2x+7}]$

Penyelesaian:

Karena a=p maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{3x^2-4x+8} – \sqrt{3x^2-2x+7}] &= \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ &=\frac{-4-(-2)}{2\sqrt{3}} \\ &=\frac{-2}{2\sqrt{3}} \\ &= - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{align}$

D. Limit Fungsi Trigonometri

Dalam beberapa kasus, penyelesaian limit fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaian soal limit fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung.

Jika metode substitusi langsung menghasilkan nilai yang tak tentu maka dilakukan dengan metode pemfaktoran sehingga tidak berbentuk tak tentu lagi.

Rumus-rumus trigonometri yang telah Anda pelajari dan teorema limit utama berguna dalam menyelesaikan limit-limit fungsi trigonometri.

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

Contoh Soal 1

Periksa apakah $\lim_{x→π/2} \tan x$ ada.

Menentukan limit kiri:

$\lim_{x→(π/2)^−} \tan (x)$

Ketika nilai x mendekati π/2 dari kiri, nilai fungsinya meningkat tanpa batas, positif tak hingga yaitu ∞.

Menentukan limit kanan:

$\lim_{x→(π/2)^+} \tan (x)$

Ketika nilai x mendekati π/2 dari kanan, nilai fungsinya menurun tanpa batas, negatif tak-hingga yaitu −∞.

Karena limit kiri dan sisi kanan tidak sama, limitnya tidak ada.

Contoh Soal 2

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} sin \ x = sin \ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Contoh Soal 3

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} (cos^2 \ x - sin^2 \ x ) &= (\lim_{x \rightarrow 0} cos \ x)^2 – (\lim_{x \rightarrow 0} sin \ x)^2 \\ & = (1)^2-(0)^2 \\ &=1 \end{align}$

Contoh Soal 4

Karena $sin \ 2x=2sin \ x \ cos \ x$ maka:

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{sin \ 2x} &=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{2sin \ x \ cos \ x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 \ cos \ x} \\ &= \frac{1}{2 \ cos \ (0)} \\ & = \frac{1}{2.1} \\ &=\frac{1}{2} \end{align}$

Limit-limit fungsi trigonometri dapat pula diselesaikan dengan menggunakan rumus.

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus fungsi trigonometri yang dimaksud itu adalah:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$

Rumus-rumus limit fungsi trigonometri dasar dia atas dapat diperluas.

Misalkan u adalah fungsi dari x dan jika $x \rightarrow 0$ maka $u \rightarrow 0$, sehingga rumus-rumus tersebut dapat ditulisakan menjadi:

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{sin \ u}=1$

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{tan \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{tan \ u}=1$

Contoh soal limit fungsi trigonometri:

$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{1 – cos \ x}{x^2}$

Penyelesaian:

Kalau kita lakukan metode substitusi langsung, ternyata hasilnya berbentuk tak-tentu 0/0.

Soal ini bisa diselesaikan dengan memanfaatkan kesamaan trigonometri $cos \ 2x=1 – 2 \ sin^2 \ x$ untuk mengubah $1 – cos \ x$ agar kita dapat menggunakan rumus $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{sin \ u}=1$.

Karena $cos \ 2x=1 – 2 \ sin^2 \ x$ maka   $cos \ x =1 – 2 \ sin^2 \ (\frac{1}{2}x) \Leftrightarrow 1-cos \ x =2 \ sin^2 \ (\frac{1}{2}x) $, dan dengan memisalkan $u= \frac{1}{2}x$ maka

$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – cos \ x}{x^2} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \ sin^2 \ \frac{1}{2}x}{x^2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \ sin^2 \ \frac{1}{2}x}{x^2} \times \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \ \frac{sin^2 \ \frac{1}{2}x}{(\frac{1}{2}x)^2} \\ &= \lim_{u \rightarrow 0} \frac{1}{2} \ \frac{sin^2 \ u}{u^2} \\ &=\frac{1}{2} \lim_{u \rightarrow 0} (\frac{sin \ u}{u})^2 \\ &=\frac{1}{2} (\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u})^2  \\ & = \frac{1}{2} . (1)^2 \\ &=\frac{1}{2} \end{align}$

Demikianlah Cara Mengerjakan Soal Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri, semoga bermanfaat.