Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif
(Diperbarui:
)
-
Posting Komentar
Pada postingan saya yang lain dengan judul Definisi Grup dijelaskan bahwa misalkan G adalah himpunan dengan operasi *, (G,*) adalah grup apabila memenuhi empat syarat, yaitu operasinya tertutup, bersifat asosiatif, memiliki unsur identitas, dan untuk setiap anggota di G memiliki invers terhadap operasi *. Kali ini admin akan membahas sedikit tentang grup komutatif dan bagaimana cara membuktikan grup siklik adalah grup komutatif.
Definisi
Suatu grup (G) dengan operasi $*$ dikatakan grup abelian (grup komutatif) bila dan hanya bila ∀ a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$
Dari definisi di atas, G adalah grup abelian apabila G memenuhi syarat tambahan yaitu untuk setiap a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$. Jadi, untuk menunjukkan bahwa suatu G adalah grup abelian kita harus menunjukkan bahwa G adalah grup yang memenuhi sifat komutatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Buktikan bahwa jika G grup siklik maka G abelian
Untuk membuktikannya, kita harus tahu apa itu grup siklik. Untuk itu kami berikan dulu definisi grup siklik beserta contohnya berikut ini.
G dikatakan grup siklik apabila terdapat $a \in G$ sehingga $G=(a)$={$a^n \ | \ n \in Z$}, yang artinya G dibangun oleh a. Contoh, himpunan bilangan bulat Z dengan operasi penjumlahan biasa (+) adalah grup siklik karena terdapat $1 \in Z$ sehingga Z={$1×n \ | \ n \in Z$}.
Definisi
Suatu grup (G) dengan operasi $*$ dikatakan grup abelian (grup komutatif) bila dan hanya bila ∀ a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$
Dari definisi di atas, G adalah grup abelian apabila G memenuhi syarat tambahan yaitu untuk setiap a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$. Jadi, untuk menunjukkan bahwa suatu G adalah grup abelian kita harus menunjukkan bahwa G adalah grup yang memenuhi sifat komutatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Buktikan bahwa jika G grup siklik maka G abelian
Untuk membuktikannya, kita harus tahu apa itu grup siklik. Untuk itu kami berikan dulu definisi grup siklik beserta contohnya berikut ini.
G dikatakan grup siklik apabila terdapat $a \in G$ sehingga $G=(a)$={$a^n \ | \ n \in Z$}, yang artinya G dibangun oleh a. Contoh, himpunan bilangan bulat Z dengan operasi penjumlahan biasa (+) adalah grup siklik karena terdapat $1 \in Z$ sehingga Z={$1×n \ | \ n \in Z$}.
Sekarang kita lanjutkan pembuktian bahwa apabila G adalah grup siklik maka G abelian berikut ini.
Karena G siklik maka G=(a) untuk suatu $a \in G$. Misalkan G={$a^k \ | \ \in Z$} akan ditunjukkan bahwa $xy=yx$ untuk setiap $x$ dan $y \in G$. Ambil sebarang $x$ dan $y$ dalam G, karena itu kita dapat menuliskan $x=a^m$ dan $y=a^n$ untuk suatu m dan b dalam Z, sehingga $xy=a^ma^n=a^{m+n}=a^{n+m}=a^na^m=yx$. Karena $xy=yx$ untuk setiap $x$ dan $y$ dalam G maka terbukti bahwa grup siklik adalah grup abelian.
Demikian postingan kami yang berjudul Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif, semoga dapat bermanfaat.
Karena G siklik maka G=(a) untuk suatu $a \in G$. Misalkan G={$a^k \ | \ \in Z$} akan ditunjukkan bahwa $xy=yx$ untuk setiap $x$ dan $y \in G$. Ambil sebarang $x$ dan $y$ dalam G, karena itu kita dapat menuliskan $x=a^m$ dan $y=a^n$ untuk suatu m dan b dalam Z, sehingga $xy=a^ma^n=a^{m+n}=a^{n+m}=a^na^m=yx$. Karena $xy=yx$ untuk setiap $x$ dan $y$ dalam G maka terbukti bahwa grup siklik adalah grup abelian.
Demikian postingan kami yang berjudul Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif, semoga dapat bermanfaat.
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
Posting Komentar untuk "Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif"