Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi

Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi - Sebelum kita sudah membahas Definisi Formal Limit (Epsilon Delta) yang akan kita gunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi.

Definisi tersebut adalah sebagai berikut.

Definisi Formal Limit. Limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $c$ adalah $L$ ditulis $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$ jika dan hanya jika:

Untuk setiap $\epsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian sehingga jika $0 <|x-c|< \delta$ maka $|f(x)-L|<0$

Berdasarkan definisi tersebut, untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi $f(x)$ adalah L untuk $x$ mendekati suatu titik $c$ dengan menggunakan definisi maka kita harus menunjukan keberadaan $\delta >0$ jika diberikan sebarang $\epsilon >0$ dan menunjukkan bahwa apabila $0<|x-c|< \delta$ maka mengakibatkan $|f(x)-L| < \epsilon$.

Contoh Pembuktian Limit Fungsi

Buktikan $\lim_{x \rightarrow -1}(5x+2) =-3$

Analisis pendahuluan:

Andaikan $\epsilon$ bilangan positif sebarang. Kita harus menghasilkan $\delta >0$ sedemikian sehingga jika $0 <|x-(-1)|< \delta$ maka $|(5x+2)-(-3)| < \epsilon$.

Pandang ketaksamaan di sebelah kiri:

$\begin{align} |(5x+2)-(-3)| < \epsilon ⇔ |5x+5| & < \epsilon \\ |5(x+1)| & < \epsilon \\ |5||x+1|  & < \epsilon \\ |x+1| & < \frac{ \epsilon}{5} \end{align}$

Sekarang kita lihat bagaimana memilih $\delta$, yakni $\delta=  \frac{ \epsilon}{5}$ atau $\delta <  \frac{ \epsilon}{5}$ .

Tentu saja sebarang $\delta$ yang lebih kecil akan memenuhi.

Sekarang kita tulis buktinya secara formal (yang sesungguhnya) berikut ini.

Bukti Formal:

Andaikan diberikan $\epsilon >0$ pilih $\delta =  \frac{ \epsilon}{5}$ sedemikian hingga jika $0 <|x+1|< \delta$ maka:

$\begin{align} |(3x-7)-5| &= |3x-12| \\ &=|3(x-4)| \\ &= 3|x-4| \\ & < 3 \delta = \epsilon \end{align}$

Atau bisa juga seperti di bawah ini.

Andaikan diberikan $\epsilon >0$ pilih $\delta <  \frac{ \epsilon}{3}$ sedemikian hingga jika $0 <|x-4|< \delta$ maka:

$\begin{align} |(5x+2)-(-3)| &= |5x+5| \\ &=|5(x+1)| \\ &= 5|x+1| \\ & < 5 \delta < \epsilon \end{align}$

Jadi, terbukti bahwa $\lim_{x \rightarrow -1}(5x+2) =-3$.

Referensi: Kalkulus 1 Purcell

Demikian tentang Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi, semoga bermanfaat.