Cara Mengerjakan Soal Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Kali ini, kita akan mempelajari cara mengerjakan soal persamaan nilai mutlak yang sederhana, yaitu persamaan yang memuat nilai mutlak bentuk linear satu variabel. Untuk dapat mengerjakan soal tersebut, kita harus mampu:
  1. Memahami konsep nilai mutlak.
  2. Mampu menyelesaikan persamaan linier satu variabel.
1. Konsep Nilai Mutlak
Kita mulai membahas konsep nilai mutlak dengan ilustrasi cerita berikut ini.

Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diamnya anak tersebut, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah lagi ke belakang. Secara matematis, ilustrasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
Definisikan lompatan anak tersebut ke arah depan  searah dengan sumbu x positif. Oleh karena itu, lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu  x negatif. Perhatikan sketsa berikut.

Pada gambar di atas, kita misalkan bahwa x=0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +2). Anak panah yang kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau –3) dari posisi akhir langkah pertama. Begitu seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah kelima. Dengan demikian, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = –1 atau $x = (+2) + (–3) + (+2) + (–1) + (–1) = –1)$, tetapi banyak langkah yang dilakukan si anak merupakan konsep nilai mutlak.  Kita hanya menghitung banyak langkah si anak, bukan arah lompatan si anak, sehingga banyak langkah yang dilakukan si anak adalah $|2| + |–3| + |2| + |–1| + |–1| = 9$ (atau 9 langkah).

Perhatikan tabel berikut.
Berdasarkan cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik suatu kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak? Misalnya x adalah variabel pengganti sebarang bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak dari x tersebut?

Perhatikan x anggota himpunan bilangan real (ditulis x∈R). Berdasarkan tabel di atas, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif) dan secara geometris nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Oleh karena itu, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.

Berikut ini beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan.
Catatan:
  • Garis bilangan adalah media yang digunakan untuk menunjukkan nilai mutlak.
  • Tanda panah menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif. 
  • Besar nilai mutlak dilihat seberapa panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.
Penjelasan:
  • Garis bilangan 1 menunjukkan tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai $|3| = 3$ atau bisa dikatakan berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
  • Garis bilangan 5 menunjukkan tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan –3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai $|–3| = 3$ atau  bisa dikatakan berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
Dari dua penjelasan di atas dapat dituliskan konsep nilai mutlak berikut.
Definisi:
Misalkan $x$ bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan sebagai: 
$|x| = \begin{cases} x, & \mbox{jika} \ x \ge 0 \\ -x, & \mbox{jika} \ x  < 0 \end{cases} $
Definisi di atas dapat diungkapkan dengan menggunakan kalimat yaitu nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:

a) $ | \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}$, karena  $ \frac{1}{2} >0$ ($\frac{1}{2}$ adalah bilangan positif).
b) $|5| = 5$, karena $5 > 0$ (atau 5 adalah bilangan positif).
c) $|–3| = –(–3) = 3$, karena –3 < 0 ( atau –3 adalah bilangan negatif).

2. Persamaan Linear Satu Variabel 
Dalam matematika, persamaan adalah kalimat terbuka matematika yang menggunakan relasi sama dengan (=). Contohnya, $x^2 − 1 = 0$ yang secara khusus dikenal dengan persamaan kuadrat. Sedangkan contoh persamaan linier satu variabel (PLSV) adalah $x + 1 = 3$ dimana x merupakan satu-satunya variabel/peubah dan pangkat tertinggi dari variabel itu adalah 1 (satu) sehingga disebut persamaan linier satu variabel (PLSV).

Menyelesaikan PLSV adalah mencari nilai x sehingga ketika disubstitusikan ke PLSV tersebut menjadi kalimat yang benar. Persamaan $x+1=3$ memiliki solusi atau penyelesaian $x=2$ karena (2)+1=3 bernilai benar. Untuk selengkapnya baca Cara Mengerjakan Soal PLSV.

3. Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel 
Pada bagian ini, kita akan mengkaji bentuk persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan strategi menyelesaikannya. Untuk memulainya, mari kita cermati pembahasan masalah berikut ini.

Tentukan nilai x jika ada yang memenuhi jika diberikan persamaan berikut ini.
1. |2x – 1| = 7
2. |x + 5| = –6
3. |(4x –8)| = 0
4. –5|3x – 7| + 4 = 14
5. |2x – 1| = |x + 3|

Jawab:
1. Kita ubah bentuk |2x – 1| menggunakan definisi nilai mutlak. Pembuat nol dari 2x – 1 adalah $\frac{1}{2} $ sehingga:
$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \mbox{jika} \ x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x-1), & \mbox{jika} \ x  < \frac{1}{2} \end{cases} $
Akibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu sebagai berikut.
Untuk $x ≥ \frac{1}{2}$
$\begin{align} 2x – 1 &= 7 \\ 2x &= 7 + 1, \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{align} $
Untuk $x < \frac{1}{2}$
$\begin{align} -(2x – 1) &= 7 \\ -2x+1 &=7 \\ -2x &= 7 - 1, \\ -2x &= 6 \\ x &= -3 \end{align} $
Jadi, nilai x = 4 atau x = –3 memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7.

2. Tidak ada $x \in R $ yang memenuhi persamaan |x+5|=-6.

3. Persamaan $|(4x – 8)| = 0$ berlaku untuk $4x – 8 = 0$  sehingga $x = 2 $ memenuhi persamaan $|4x – 8| = 0$.

4. Persamaan $–5|3x – 7|+ 4=14$ yang ekuivalen dengan $|3x – 7|= –2$ dimana bentuk $|3x – 7|=–2$ bukan suatu persamaan. Karena itu tidak ada $x$ bilangan real sedemikian sehingga $|3x – 7| = –2$.

5. Ubah bentuk $|2x – 1|$ dan $|x + 3|$ dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, sehingga diperoleh:

$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \mbox{jika} \ x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x-1), & \mbox{jika} \ x  < \frac{1}{2} \end{cases} \ \ \ \  (1.1 )$

$|x+3| = \begin{cases} x+3, & \mbox{jika} \ x \ge -3 \\ -(x+3), & \mbox{jika} \ x  < -3 \end{cases}  \ \ \ \ (1.2)$

Berdasarkan sifat persamaan, bentuk $|2x – 1| = |x + 3|$, dapat dinyatakan menjadi $|2x –1| – |x + 3| = 0$. Artinya, sesuai dengan konsep dasar “mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat $x$ sama. Sekarang, kita harus memikirkan strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama. Syarat tersebut kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.



Akibatnya, untuk menyelesaikan persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0$, kita fokus pada tiga kemungkinan syarat x, yaitu $x ≥ \frac{1}{2} $ atau $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ atau   $x < –3$.

Oleh karena itu, bentuk (1.1) dan (1.2) dapat disederhanakan menjadi: 



➢ Kemungkinan 1, untuk $x ≥ \frac{1}{2} $ maka persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0 $ menjadi $(2x – 1) – (x + 3) = 0$ atau $x = 4$. Karena $x ≥ \frac{1}{2} $, maka $x = 4$ memenuhi persamaan.

➢ Kemungkinan 2, untuk $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ maka persamaan  $|2x – 1| – |x + 3| = 0$ menjadi $–2x + 1 – (x + 3) = 0$ atau $x = - \frac {2}{3}$. Karena $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ maka $x = – \frac{2}{3}$ memenuhi persamaan.

➢ Kemungkinan 3,   $x < –3$ maka persamaan  $|2x – 1| – |x + 3| = 0$ menjadi $–2x + 1 – (–x – 3) = 0$ atau $x = 4$. Karena $x < –3$, maka tidak ada nilai $x$ yang memenuhi persamaan.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x – 1| = |x + 3|$ adalah $x = 4$ atau $x = – \frac{2}{3} $.

Demikian pembahasan cara mengerjakan soal persamaan nilai mutlak linier satu variabel. 

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel "

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel


PESAN DI SINI
Mau gabung Grup WA Matematika Ku Bisa? Join Di Sini!