Penyelesaian SPLTV dengan Determinan Matriks

Penyelesaian Sistem persamaan Linear dengan Determinan matriks - Kita telah mempelajari bagaimana "Cara Mengerjakan Soal SPLDV" dan juga "Cara Mengerjakan Soal SPL Tiga Variabel", dengan metode substitusi dan eliminasi yang biasa kita gunakan.

Kali ini kita akan mempelajari bagaimana cara mengerjakan soal menentukan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel dan tiga variabel dengan metode determinan.

Untuk dapat memahami pembahasan kali ini, kalian harus belajar tentang matriks dan determinan matriks karena sebuah sistem persamaan linier dapat dinyatakan dalam bentuk matriks.

Bentuk Matriks SPLDV

Bentuk SPLDV:

$\begin{align} ax + by = c \\ px + qy = r \end{align}$

dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\begin{pmatrix} a & b \\ p & q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ r \end{pmatrix} $

Bentuk Matriks SPLTV

Bentuk SPLTV:

$\begin{align} a_1x + b_1y +c_1z = p \\ a_2x + b_2y +c_2z = q \\ a_3x + b_3y +c_3z = r \end{align}$

dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Aturan Cramer

Penyelesaian SPL yang dibahas ini didasarkan pada Aturan Cramer berikut ini.

Misalkan $A$ matriks tak-singular $n×n $ dan misalkan $B$ $\in R^n$. Misalkan $A_i$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i dari $A$ dengan $B$. Jika $X$ adalah penyelesaian tunggal dari $AX=B$ maka:

$x_i = \frac{det (A_i)}{det (A)} $ untuk i=1, 2, 3, ..., n.

Dengan aturan Cramer di atas, dengan menganggap

$A= \begin{pmatrix} a & b \\ p & q \end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, dan $B = \begin{pmatrix} c \\ r \end{pmatrix}$

Maka kita dapat menentukan penyelesaian dari SPL:

$\begin{align} ax + by = c \\ px + qy = r \end{align}$

yaitu,

$\begin{align} x &= \frac{det(A_1)}{det (A)} \end{align}$ dan $\begin{align} y &= \frac{det(A_2)}{det (A)} \end{align}$

dimana:

• $det(A) = det \begin{pmatrix} a & b \\ p & q \end{pmatrix} = aq - bp $
• $det(A_1) = det \begin{pmatrix} c & b \\ r & q \end{pmatrix} = cq - br $
• $det(A_2) = det \begin{pmatrix} a & c \\ p & r \end{pmatrix} = ar - cp $

Sama halnya untuk menemukan penyelesaian dari SPLTV:

$\begin{align} a_1x + b_1y +c_1z = p \\ a_2x + b_2y +c_2z = q \\ a_3x + b_3y +c_3z = r \end{align}$

dengan menggunakan aturan Cramer, yaitu:

$\begin{align} x &= \frac{det(A_1)}{det (A)} \end{align}$,

$\begin{align} y &= \frac{det(A_2)}{det (A)} \end{align}$,

dan $\begin{align} z &= \frac{det(A_3)}{det (A)} \end{align}$

dimana

• $det(A) = det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}  $
• $det(A_1) = det \begin{pmatrix} p & b_1 & c_1 \\ q & b_2 & c_2 \\ r & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$
• $det(A_2) = det \begin{pmatrix} a_1 & p & c_1 \\ a_2 & q & c_2 \\ a_3 & r & c_3 \end{pmatrix}$
• $det(A_3) = det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & p \\ a_2 & b_2 & q \\ a_3 & b_3 & r \end{pmatrix}  $

Penyelesaian Persamaan Linear 3 Variabel dengan Matriks

Contoh Soal:

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan

$\begin{align} x+2y+z=5 \\ 2x+2y+z=6 \\ x+2y+3z=9 \end{align}$

Penyelesaian:

• $det(A) = det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}=-4  $
• $det(A_1) = det \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 \\ 6 & 2 & 1 \\ 9 & 2 & 3 \end{pmatrix}=-4  $
• $det(A_2) = det \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 2 & 6 & 1 \\ 1 & 9 & 3 \end{pmatrix}=-4  $
• $det(A_3) = det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 6 \\ 1 & 2 & 9 \end{pmatrix}  =-8$

Oleh karena itu, $x= \frac{-4}{-4} =1$ , $y= \frac{-4}{-4} =1$, dan $z= \frac{-8}{-4} =2$

Demikianlah pembahasan tentang "Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Determinan Matriks", semoga bermanfaat.