Soal No. 10 OSK Matematika SMA 2019
Berikut ini adalah Soal No. 10 OSK Matematika SMA 2019 (Soal No. 10 Kemampuan Dasar)
10. Untuk sebarang bilangan real x, simbol $ \lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada x, sedangkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dibanding x. Interval [a, b) adalah himpunan semua bilangan real x yang memenuhi $\lfloor 2x \rfloor ^2 = \lceil x \rceil +7$. Nilai a · b adalah ...
Jawaban:
Kasus I:
Misalkan, $x=z$ dengan z bilangan bulat, maka:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{(2z)}^{2}}=z+7$
$4{{z}^{2}}-z+7=0$
Uji nilai diskriminan:
$D={{b}^{2}}-4ac$
$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-7)=113$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.
Kasus II:
Misalkan, $x$ bukan bilangan bulat, maka: $x=z+p$ dengan $z\in $ bilangan bulat dan $0 \le p \le \frac{1}{2}$
$x=z+\frac{1}{2}$ substitusi ke:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{\left\lfloor 2\left( z+\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z+\frac{1}{2} \right\rceil +7$
${{(2z)}^{2}}=z+1+7$
$4{{z}^{2}}-z-8=0$
Uji nilai diskriminan:
$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-8)=129$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.
Kasus III:
Misalkan, $x$ bukan bilangan bulat, maka:
$x=z-p$ dengan $z\in $ bilangan bulat dan $0 \le p\le \frac{1}{2}$ $x=z-\frac{1}{2}$ substitusi ke:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{\left\lfloor 2\left( z-\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z-\frac{1}{2} \right\rceil +7$
${{(2z-1)}^{2}}=z+7$
$4{{z}^{2}}-4z+1=z+7$
$4{{z}^{2}}-5z-6=0$
$(4z+3)(z-2)=0$,
karena z bilangan bulat maka yang memenuhi adalah z = 2.
Untuk z = 2 agar x minimum maka:
$x=z-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1,5=a$
Untuk z = 2 agar x maksimum maka:
$x=z-0\Leftrightarrow x=2=b$
Jadi, $a.b=1,5\times 2=3$
Sumber Jawaban: https://www.catatanmatematika.com/2019/03/pembahasan-osk-matematika-sma-tahun-2019.html
Posting Komentar untuk "Soal No. 10 OSK Matematika SMA 2019"