Ξ
×

Ketaksamaan Power Mean

Kita definisikan bentuk ketaksamaan Power Mean, sebagai berikut.

Misalkan $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ bilangan-bilangan real positif. Jika $\displaystyle r\ne 0$
maka $$\displaystyle {{P}_{r}}=\sqrt[r]{\frac{{{x}_{1}}^{r}+{{x}_{2}}^{r}+...+{{x}_{n}}^{r}}{n}}$$
Jika $\displaystyle r\to 0$, maka nilai $$\displaystyle {{P}_{r\to 0}}=\underset{r\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}...{{x}_{n}}}$$
Jika $\displaystyle r\to +\infty$, maka $$\displaystyle {{P}_{r\to \infty }}=maks({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$$
Jika $\displaystyle r\to -\infty $, maka
$$\displaystyle {{P}_{r\to -\infty }}=\min ({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}})$$
Sehingga dari hubungan-hubungan di atas, kita dapat simpulkan bahwa $$\displaystyle r\le s\Rightarrow {{P}_{r}}\le {{P}_{s}}$$ $$\displaystyle r\ge s\Rightarrow {{P}_{r}}\ge {{P}_{s}}$$
CONTOH SOAL: Jika $\displaystyle a,b,c,d$ bilangan-bilangan real positif dengan $\displaystyle abcd=81$, maka buktikan $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge 3$$
Bukti: Karena bentuk pertidaksamaan di atas adalah bentuk ketidaksamaan power mean dengan $r = 3$, maka dari definisi ketaksamaan power mean kita dapat tuliskan sebagai berikut:

Ambil $\displaystyle s = 0, s < r $ sehingga menurut definisi PM berlaku $$\displaystyle {{P}_{r}}\ge {{P}_{s}}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge \sqrt[4]{abcd}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge \sqrt[4]{81}$$ $$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}}}{4}}\ge 3$$
(Terbukti)
Sumber: https://elfdemore.wordpress.com/2018/07/22/ketaksamaan-power-mean

Posting Komentar untuk "Ketaksamaan Power Mean"

Buku Belajar Matematika dari Dasar

Sulit belajar matematika? Ingin belajar matematika tapi bingung mulai dari mana? Dapatkan sekarang Buku Belajar Matematika dari Dasar yang bisa pelajari semua materi matematika yang dibutuhkan, karena stok terbatas dan ada promo gratis ongkir hingga 100% .