Ξ
×

Ketaksamaan QM AM GM HM

Dalam banyak kompetisi matematika, sering ditemui soal-soal ketaksamaan dimana Anda diminta untuk membuktikan apakah ketaksamaan dalam soal yang diberikan adalah benar. Maka pada kesempatan ini, kita akan membahas kataksamaan-ketaksamaan dalam matematika yang penting untuk digunakan dalam porses pembuktian.

# Ketaksamaan QM AM GM HM

Berikut ini adalah kepanjangannya masing-masing dari QM, AM, GM, dan HM.

  • QM adalah Qudatratic Mean (Rataan Kuadrat)
  • AM adalah Arithmetic Mean (Rataan Aritmatik / Rataan Hitung)
  • GM adalah Geometric Mean (Rataan Geometrik / Rataan Ukur)
  • HM adalah Harmonic Mean (Rataan Harmonik)

Berikut ini adalah bentuk dari dari QM, AM, GM, dan HM.

$QM = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{n}}$

$AM = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

$GM = \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

$HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$

dan ketaksmaan yang berlaku di antara mereka adalah $$QM \ge AM \ge GM \ge HM$$
Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $x_1=x_2=...=x_n $

# Bukti Ketaksamaan QM AM GM HM

Sebagai ilustrasi, kita ambil n=2, yaitu jika $x_1=a, \ x_2=b$ bilangan real positif, maka $$\sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}}$$
Karena kuadrat setiap bilangan real tak negatif, maka: $$\begin{align} (a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2 & \ge 0 \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 & \ge 2ab \end{align}$$
Kedua ruas ditambah $a^2 + b^2$ lalu dikalikan $2$ diperoleh:
\begin{align} 4(a^2 + b^2) & \ge 2(a^2 + 2ab + b^2) \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge \frac {a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge \frac{(a+b)^2}{2^2} \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge (\frac{a+b}{2})^2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} & \ge \frac{a+b}{2} \end{align}
Terbukti $QM \ge AM$

Karena kuadrat setiap bilangan real tak negatif maka:
\begin{align} ( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2 = a - 2 \sqrt{ab} + b & \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{a+b}{2} & \ge \sqrt{ab} \end{align}
Terbukti $AM \ge GM$

Jika kedua ruas ketaksamaan di atas kita kalikan $\sqrt{ab}$ dan dibagi $(a+b)$ maka diperoleh:
\begin{align} \frac{\sqrt{ab}}{2} & \ge \frac{ab}{a+b} \\ \sqrt{ab} & \ge \frac{2ab}{a+b} \\
\sqrt{ab} & \ge \frac{2}{\frac{a+b}{ab}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{ab} & \ge \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \end{align}
Terbukti $GM \ge HM $

Catatan: Untuk $n > 2$, kita buktikan dengan cara induksi matematika. Bagi Anda yang belum tahu caranya, silahkan baca pada Cara Mengerjakan Soal Induksi Matematika.

# Contoh Soal Ketaksamaan

Soal 1: Jika a, b, c bilangan-bilangan positif, tunjukkan bahwa $(a+b+c)^3 \ge 27abc$

Jawab: Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh: $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \\ (a+b+c)^3 \ge 27abc$$
Soal 2: Buktikan bahwa setiap bilangan real positif $x, \ y$ berlaku $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$

Jawab: Misalkan $a= \frac{x}{y}$ dan $b= \frac{y}{x}$ pada ketaksamaan AM-GM maka diperoleh:
$$ \begin{align} \frac{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} & \ge \sqrt{ \frac{x}{y} . \frac{y}{x} } \\ \frac{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} & \ge 1 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & \ge 2 \end{align}$$
(SELESAI)

Posting Komentar untuk "Ketaksamaan QM AM GM HM"

Buku Belajar Matematika dari Dasar

Sulit belajar matematika? Ingin belajar matematika tapi bingung mulai dari mana? Dapatkan sekarang Buku Belajar Matematika dari Dasar yang bisa pelajari semua materi matematika yang dibutuhkan, karena stok terbatas dan ada promo gratis ongkir hingga 100% .