Ketaksamaan QM AM GM HM

Dalam banyak kompetisi matematika, sering ditemui soal-soal ketaksamaan dimana Anda diminta untuk membuktikan apakah ketaksamaan dalam soal yang diberikan adalah benar. Maka pada kesempatan ini, kita akan membahas kataksamaan-ketaksamaan dalam matematika yang penting untuk digunakan dalam porses pembuktian.

# Ketaksamaan QM AM GM HM

Berikut ini adalah kepanjangannya masing-masing dari QM, AM, GM, dan HM.

  • QM adalah Qudatratic Mean (Rataan Kuadrat)
  • AM adalah Arithmetic Mean (Rataan Aritmatik / Rataan Hitung)
  • GM adalah Geometric Mean (Rataan Geometrik / Rataan Ukur)
  • HM adalah Harmonic Mean (Rataan Harmonik)

Berikut ini adalah bentuk dari dari QM, AM, GM, dan HM.

$QM = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{n}}$

$AM = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$

$GM = \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

$HM = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$

dan ketaksmaan yang berlaku di antara mereka adalah $$QM \ge AM \ge GM \ge HM$$
Kesamaan terjadi jika dan hanya jika $x_1=x_2=...=x_n $

# Bukti Ketaksamaan QM AM GM HM

Sebagai ilustrasi, kita ambil n=2, yaitu jika $x_1=a, \ x_2=b$ bilangan real positif, maka $$\sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}}$$
Karena kuadrat setiap bilangan real tak negatif, maka: $$\begin{align} (a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2 & \ge 0 \\ \Leftrightarrow a^2 + b^2 & \ge 2ab \end{align}$$
Kedua ruas ditambah $a^2 + b^2$ lalu dikalikan $2$ diperoleh:
\begin{align} 4(a^2 + b^2) & \ge 2(a^2 + 2ab + b^2) \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge \frac {a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge \frac{(a+b)^2}{2^2} \\ \frac{a^2 + b^2}{2} & \ge (\frac{a+b}{2})^2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} & \ge \frac{a+b}{2} \end{align}
Terbukti $QM \ge AM$

Karena kuadrat setiap bilangan real tak negatif maka:
\begin{align} ( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2 = a - 2 \sqrt{ab} + b & \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{a+b}{2} & \ge \sqrt{ab} \end{align}
Terbukti $AM \ge GM$

Jika kedua ruas ketaksamaan di atas kita kalikan $\sqrt{ab}$ dan dibagi $(a+b)$ maka diperoleh:
\begin{align} \frac{\sqrt{ab}}{2} & \ge \frac{ab}{a+b} \\ \sqrt{ab} & \ge \frac{2ab}{a+b} \\
\sqrt{ab} & \ge \frac{2}{\frac{a+b}{ab}} \\ \Leftrightarrow \sqrt{ab} & \ge \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \end{align}
Terbukti $GM \ge HM $

Catatan: Untuk $n > 2$, kita buktikan dengan cara induksi matematika. Bagi Anda yang belum tahu caranya, silahkan baca pada Cara Mengerjakan Soal Induksi Matematika.

# Contoh Soal Ketaksamaan

Soal 1: Jika a, b, c bilangan-bilangan positif, tunjukkan bahwa $(a+b+c)^3 \ge 27abc$

Jawab: Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, diperoleh: $$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} \\ (a+b+c)^3 \ge 27abc$$
Soal 2: Buktikan bahwa setiap bilangan real positif $x, \ y$ berlaku $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2$

Jawab: Misalkan $a= \frac{x}{y}$ dan $b= \frac{y}{x}$ pada ketaksamaan AM-GM maka diperoleh:
$$ \begin{align} \frac{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} & \ge \sqrt{ \frac{x}{y} . \frac{y}{x} } \\ \frac{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{2} & \ge 1 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & \ge 2 \end{align}$$
(SELESAI)

Berlangganan update artikel terbaru via email:

0 Response to "Ketaksamaan QM AM GM HM"

Post a Comment

Komentar yang tidak baik atau menampilkan segala hal yang tidak baik, tidak akan kami setujui atau akan kami hapus!

Iklan Atas Artikel

Buku Belajar Matematika dari Dasar
Cara Pintar & Mudah Belajar Matematika untuk SMP, SMA, Mahasiswa, atau Umum.
https://buku.matematikakubisa.biz.id
Tumbler Termos Bisa Cek Suhu Air
Cocok untuk Minuman Kopi dan Teh. Bisa Custom Nama Anda.
https://tumbler.fradsyastore.web.id
PASANG IKLAN DI SINI
Cuma 50Rb/bulan, Iklan Anda Bisa Tayang ke 100 Orang Lebih dalam Sehari.
Url Iklan Anda

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Kaos Rumus Matematika
Jangan Ngaku Pencinta Matematika, Kalau Belum Punya Kaos Keren Ini!!!
https://cp.matematikakubisa.biz.id
Hoodie Kopi Glow In The Dark
JANGAN NGAKU sebagai Tukang Ngopi kalo belum punya hoodie sekeren ini ya!!! Hasil sablonnya bisa menyala dalam gelap.
https://hoodie.fradsyastore.web.id
PASANG IKLAN DI SINI
Cuma 40Rb/bulan, Iklan Anda Bisa Tayang ke 100 Orang Lebih dalam Sehari.
Url Iklan Anda
Buku Belajar Matematika dari Dasar
"Matematika merupakan pelajaran yang membutuhkan pemahaman konsep yang baik, berjenjang, saling berkaitan, dan berkelanjutan. ... [Read More]
https://buku.matematikakubisa.biz.id


Buku Belajar Matematika dari Dasar

Buku ini direkomendasikan untuk orang yang ingin pintar Matematika yang mengalami kesulitan belajar Matematika. Berisi rangkuman rumus Matematika SMP dan SMA, hingga materi pengantar Matematika Dasar di Perguruan Tinggi. Sangat direkomendasikan untuk Anda gunakan saat mengajar karena bukunya ringkas dan padat, sehingga mudah digunakan dan dibawa kemana-mana.

STOK TERBATAS. PESAN SEKARANG
Order Di Sini