Cara Membuktikan Akar 7 Bukan Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bagian dari bilangan real yang dapat dinyatakan sebagai pembagian dari dua bilangan bulat a dan b dimana $b \neq 0$. Misalnya 0,23 adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan sebagai $\frac{23}{100}$.

Bilangan irasional adalah lawan dari bilangan rasional. Apabila suatu bilangan real tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dari dua bilangan bulat a dan b dimana $b \neq 0$ maka bilangan tersebut adalah bukan bilangan rasional.

Untuk membuktikan akar 7 bukan bilangan rasional sangat sulit jika kita membuktikannya secara langsung, yaitu dengan cara menunjukan bahwa tidak ada dua bilangan bulat a dan b dimana $b \neq 0$ sehingga $\frac{a}{b}$ menghasilkan nilai dari akar 7. Untuk itu, cara yang bisa kita gunakan adalah pembuktian secara tidak langsung dengan menggunakan kontradiksi. Pembuktian secara kontradiksi ini termasuk dalam Cara Membuktikan dalam Matematika.

Bukti dengan kontradiksi bahwa $\sqrt{7}$ bukan bilangan rasional adalah sebagai berikut.

Andaikan $\sqrt{7}$ adalah bilangan rasional maka terdapat p dan q dua bilangan bulat dengan p dan q memiliki FPB sama dengan 1 serta memenuhi $\frac{p^2}{q^2}=7$ atau $p^2=7q^2$.

Karena $7q^2$ dapat dibagi 7 maka $p^2$ juga dapat dibagi 7, akibatnya p dapat dibagi 7. Tulis p=7k maka $\begin{align}(7k)^2 &=7q^2 \\ \Leftrightarrow 49k^2 &=7q^2 \\ \Leftrightarrow 7k^2 &=q^2 \end{align}$

Oleh karena itu, q juga dapat dibagi 7. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa p dan q memiliki faktor persekutuan terbesar sama dengan 1. Dengan demikian terbukti bahwa akar 7 bukan bilangan rasional.