Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Menentukan Persamaan Kuadrat Baru merupakan materi aljabar dasar yang dipelajar pada materi matematika kelas 10.

Persamaan kuadrat baru disusun atau dibentuk dari hubungannya dengan persamaan kuadrat lama.

Soal-soal seperti ini, sering muncul dalam Ujian Nasional SMA/sederajat. Sehingga, untuk keperluan tersebut, rumus-rumus cepat berikut ini dapat digunakan.

Namun, apabila tidak mau menghapal beberapa rumus berikut ini, akan diberikan pada akhir pembahasan bagaimana menyusun persamaan kuadrat baru tanpa menggunakan rumus.

Hal ini bermanfaat jika kita lupa rumusnya.

Rumus Cepat Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, kita dapat menggunakan rumus cepat sbb.

1. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya k kali akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$ax^2 + kbx + k2c = 0$$

2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan (¹/x₁ dan ¹/x₂ ) dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$cx^2 + bx + a = 0$$

3. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$ax^2 - bx +c = 0$$

4. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya  kuadrat dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$a^2x^2 + ( b^2 - 2ac ) x + c^2 = 0$$

5. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya pangkat 3 dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$a^3x^2 + ( b^3 - 3ac ) x + c^3 = 0$$

6. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya k lebih dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$a( x - k)^2 + b( x - k) +c = 0$$

7. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya k kurang  dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$a( x + k)^2 + b( x + k) +c = 0$$ 8. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ¹/x₁² dan ¹/x₂² dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$c^2x^2 - ( b^2 - 2ac ) x + a^2 = 0$$

9. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁.x₂ dari akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ adalah: $$a^2x^2 + ( ab - ac ) x - bc = 0$$

Contoh soal:

1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali dari akar $x^2 - 5x + 3 = 0$

Jawab:

Dari persamaan $x^2 - 5x + 3 = 0$ diketahui a=1; b=-5; c=3; k=2.

Rumus cepat: $ax^2 + kbx +k2c = 0$

$\begin{align} (1)x^2 + (2)(-5)x + (2)2 (3) &= 0 \\ x^2 + (-10)x + 4(3) &= 0 \\ x^2 - 10x + 12 &= 0 \end{align}$

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan dari akar $2x^2 - 8x + 6 = 0$

Jawab:

Dari persamaan $2x^2 - 8x + 6 = 0$ diketahui : a=2; b=-8; c=6;

Rumus cepat: $cx^2 + bx + a = 0$

$\begin{align} (6)x^2 + (-8)x + 2 &= 0 \\ 6x^2 - 8x + 2 &= 0 \end{align}$

Adapun jika kita lupa rumus-rumus di atas, kita cukup mengetahui bahwa apabila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah:

$(x-x_1)(x-x_2)=0 \Leftrightarrow x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$

Sehingga, kita hanya perlu mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya.

Perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini!

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 4.

Jawab:

$\begin{align} x^2-(x_1+x_2)x+(x_1.x_2) &=0 \\  x^2-(-3+4)x+((-3) \times 4) &=0 \\ x^2-x-12 &=0 \end{align}$

2. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya tiga kali akar-akar $x^2-5x-6=0$

Jawab:

Dari persamaan $x^2-5x-6=0$, diketahui a=1, b=-5, c=-6 sehingga

$\begin{align} 3x_1+3x_2 &=3(x_1+x_2) \\ &=3(5) \\ &=15 \\ 3x_1 . 3x_2 &=9(x_1.x_2) \\ &=9(-6) \\ &=-54 \end{align}$

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah $x^2-15x-54=0$.

3.  Akar-akar persamaan $3x^2+6x-1=0$ adalah p dan q. Persamaan kuadrat (1-2p) dan (1-2q) adalah…

Jawab:

Dari persamaan $3x^2+6x-1=0$, diketahui a=3, b=6, dan c=-1 sehingga

$\begin{align} (1-2p)+(1-2q) &=2-2(p+q) \\ &=2-2(\frac{-6}{3}) &=2-2(-2) \\ &=2+4 \\ &=6 \end{align}$ dan

$\begin{align} (1-2p)(1-2q) &=1-2(p+q)+4pq \\ &=1-2( \frac{-6}{3})+4( \frac{-1}{3}) \\ &=1-2(-2)- \frac{4}{3} \\ &=5-\frac{4}{3} \\ &=\frac{11}{3} \end{align}$

Jadi, PK barunya adalah $x^2-6x+ \frac{11}{3}=0$ atau $3x^2-18x+11=0$.

Jika m dan n adalah akar-akar persamaan $x^2-5x-1=0$ maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2m+1 dan 2n+1 adalah…

Jawab:

Dari persaman $x^2-5x-1=0$, diketahui a=1, b=-5, c=-1 sehingga

$\begin{align} (2m+1)+(2n+1) &=2(m+n)+2 \\ &=2(5)+2 \\ &=12 \\  (2m+1)(2n+1) &=4mn+2(m+n)+1 \\ &=4(-1)+2(5)+1 \\ &=7 \end{align}$

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah $x^2-12x+7=0$

Demikian dulu pemabahasan tentang persamaan kuadrat, semoga bermanfaat.