Persamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya

Persamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya - Persamaan kuadrat merupakan materi aljabar dasar yang dipelajari pada materi matematika kelas 9 dengan materi sebagai berikut.

  • Bentuk persamaan kuadrat.
  • Pemfaktoran persamaan kuadrat.
  • Akar persamaan kuadrat.
  • Penyelesaian persamaan kuadrat.
  • Pemecahan masalah yang melibatkan persamaan kuadrat.

Bentuk Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan persamaan dalam matematika yang memiliki satu variabel x dengan pangkat tertingginya adalah dua. Persamaan kuadarat memiliki bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$.

Penyelesaian Persamaan Kuadrat

RUMUS ABC DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
RUMUS ABC DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan 5 cara berikut ini.

Tapi, yang umum digunakan adalah memfaktorkan dan rumus ABC. Rumus ABC digunakan ketika cara memfaktorkan tidak bisa dilakukan dengan mudah.

Perhatikan satu contoh berikut ini yang dapat diselesaikan dengan 5 cara berikut ini.

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada 5 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu:

  1. Memfaktorkan
  2. Melengkapkan kuadrat sempurna;
  3. Rumus ABC
  4. Substitusi
  5. Selisih 2 kuadrat

Contoh soal:

Tentukan penyelesaian persamaan $x^2 +4x – 5 = 0$

Jawab:

Cara 1: Memfaktorkan

$\begin{align} x^2 +4x - 5 &= 0 \\ (x - 1)(x + 5) &= 0 \\ x – 1 = 0 \ atau \ & x + 5 = 0 \\ x = 1 \ atau \ & x = -5 \end{align}$  

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, -5}.

Untuk mengetahui bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat seperti di atas, silahkan baca materi Bentuk Aljabar.

Cara 2: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

$\begin{align} x^2+ 4x -5 &= 0 \\ x^2 +4x &=5  \\ x^2 +4x + (\frac{b}{2})^2 &= 5+ (\frac{b}{2})^2 \\ x^2 +4x + (\frac{4}{2})^2 &= 5+ (\frac{4}{2})^2 \\ x^2 +4x + 2^2 &= 5+ 2^2 \\ (x +2)^2 &= 9 \\ x +2 &= \pm \sqrt{9} \\ x +2 &= \pm 3 \\ x &= -2 \pm 3 \\ x_1 &= -2 +3 =1 \\ x_2 &= –2 - 3 = -5 \end{align}$ 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, -5}

Cara 3: Rumus ABC

$x_{1;2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x^2 +4x – 5 = 0; \ \ \ a=1, \ b=4, \ c=-5$

$\begin{align} x_{1;2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4.1.(-5)}}{2.1} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4.1.(-5)}}{2.1} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{16+20}}{2} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \\ &= \frac{-4 \pm 6}{2} \\ x_1 &=\frac{-4+6}{2} \\ &=\frac{2}{2} \\ &=1 \\ x_2 &=\frac{-4-6}{2} \\ &=\frac{-10}{2} \\ &=-5 \end{align}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, -5}

Cara 4: Substitusi $x=y- \frac{b}{2a}$

Substitusi $\begin{align} x &= y- \frac{b}{2a} \\ &= y- \frac{4}{2.1} \\ &=y-2 \end{align}$

ke PK $x^2 +4x - 5 = 0$ diperoleh: 

$\begin{align} (y-2)^2 +4(y-2) - 5 &= 0 \\ y^2-4y+4+4y-8-5 &= 0 \\ y^2-9 &=0 \\ y^2 &=9 \\ y &= \pm 3 \end{align}$

sehingga, $\begin{align} x_1 &= 3 – 2 \\ &= 1 \\ x_2 & = –3 – 2 \\ &= –5 \end{align}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, -5}.

Cara 5: Selisih 2 Kuadrat

Setiap persamaan kuadrat dapat diubah menjadi selisih 2 kuadrat sebagai berikut.

$\begin{align} (x + p)^2  -q^2  &= 0 \\ x^2 + 2px + p^2  - q^2  &= 0 \\ x^2 +4x –5 &= 0 \end{align}$

Diperoleh:

$\begin{align} 2p &= 4 \\ p &=2 \end{align}$

$\begin{align} p^2-q^2 &= –5 \\ 4 - q^2 &= –5 \\ q^2 &= 9 \Rightarrow & q = 3 \end{align}$

Sehingga,

$\begin{align} (x + p)^2  - q^2  &= 0 \\ (x + p +q)(x + p – q) &= 0 \\ (x +2+3)(x +2-3) &= 0 \\ (x + 5)(x -1) &= 0 \\ x = –5 \ atau \  x &= 1 \end{align}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, -5}.

Demikianlah Persamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya, semoga bermanfaat.

Posting Komentar untuk "Persamaan Kuadrat dan Cara Menyelesaikannya"


Jangan Lewatkan Kaos Matematika Keren & Unik di👇



Dapatkan panduan Belajar Matematika dari Nol GRATIS di👇